Il fattore $\mathbf{a_{\overline{n}|i}}$, che si legge “a figurato n al tasso i”, è il valore attuale di una rendita immediata, posticipata, periodica di $n$ rate costanti e unitarie, calcolato con il tasso $i$ composto.
Rappresenta la somma necessaria oggi (all’istante $t=0$) per finanziare il pagamento di $n$ rate unitarie esigibili alla fine di ogni periodo.
INDICE
1. Impostazione della Serie di Valori Attuali
Il fattore $a_{\overline{n}|i}$ è ottenuto sommando il valore attuale scontato all’istante iniziale ($t=0$) di ciascuna delle $n$ rate unitarie.
Sia $v = (1+i)^{-1}$ il fattore di sconto per un singolo periodo. Il valore attuale ($VA$) della rendita è dato da:
$$\mathbf{a_{\overline{n}|i}} = \sum_{t=1}^{n} 1 \cdot v^t$$
Espandendo la somma, otteniamo una progressione geometrica di $n$ termini:
$$a_{\overline{n}|i} = v + v^2 + v^3 + \dots + v^n$$
2. Somma della Progressione Geometrica
Utilizziamo la formula per la somma parziale ($S_n$) di una progressione geometrica con primo termine $a=v$ e ragione $r=v$:
$$S_n = a \frac{1 – r^n}{1 – r}$$
Sostituendo i termini della rendita:
$$a_{\overline{n}|i} = v \frac{1 – v^n}{1 – v}$$
3. Semplificazione del Denominatore
Semplifichiamo il denominatore $(1-v)$ sostituendo $v = \frac{1}{1+i}$:
$$1 – v = 1 – \frac{1}{1+i} = \frac{(1+i) – 1}{1+i} = \frac{i}{1+i}$$
Poiché $\frac{1}{1+i} = v$, possiamo esprimere la semplificazione come:
$$1 – v = i \cdot v$$
4. Conclusione della Dimostrazione
Sostituendo l’espressione semplificata del denominatore $i \cdot v$ nell’equazione di $a_{\overline{n}|i}$:
$$a_{\overline{n}|i} = v \frac{1 – v^n}{i \cdot v}$$
Il fattore di sconto $v$ si annulla a numeratore e denominatore:
$$a_{\overline{n}|i} = \frac{1 – v^n}{i}$$
Infine, sostituendo $v^n = (1+i)^{-n}$, otteniamo la formula standard per il fattore “a figurato n al tasso i”:
$$\mathbf{a_{\overline{n}|i} = \frac{1 – (1+i)^{-n}}{i}}$$
Nota Finale Importante sulla Periodicità
Nella formula $\mathbf{a_{\overline{n}|i}}$, è essenziale che il tasso di interesse utilizzato ($i$) sia commisurato alla periodicità della rata.
- Se le rate sono mensili, $i$ deve essere il tasso mensile effettivo.
- Se le rate sono trimestrali, $i$ deve essere il tasso trimestrale effettivo.
Inoltre, il processo di attualizzazione, essendo basato sul valore della prima rata scontata di un periodo ($v^1$), presuppone che la rendita sia posticipata. Questo significa che il valore attuale ($a_{\overline{n}|i}$) viene calcolato un periodo prima del pagamento della prima rata. Se la prima rata è al tempo $t=1$, il Valore Attuale è calcolato al tempo $t=0$.
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