Il fattore $\mathbf{s_{\overline{n}|i}}$, che si legge “s figurato n al tasso i”, è il montante di una rendita periodica di $n$ rate costanti e unitarie, immediata e posticipata, calcolato con il tasso $i$ composto.
In termini operativi, $s_{\overline{n}|i}$ rappresenta il valore accumulato (montante) all’istante $t=n$ di una serie di $n$ pagamenti unitari, dove ciascun pagamento genera interesse composto fino al termine dell’operazione. Poiché la rendita è posticipata, il primo pagamento avviene al tempo $t=1$, e immediata in quanto inizia il primo periodo.
INDICE
1. Impostazione della Serie di Montanti
Il fattore $s_{\overline{n}|i}$ è ottenuto sommando il valore futuro (montante) di ciascuna rata, capitalizzato fino all’istante finale dell’operazione ($t=n$).
Sia $m = (1+i)$ il fattore di capitalizzazione per un singolo periodo.
Il Montante ($M$) della rendita è dato dalla somma dei montanti capitalizzati di ciascuna rata:
$$\mathbf{s_{\overline{n}|i}} = \sum_{t=1}^{n} 1 \cdot (1+i)^{n-t}$$
Espandendo la somma, otteniamo una progressione geometrica di $n$ termini:
$$s_{\overline{n}|i} = 1 \cdot (1+i)^{n-1} + 1 \cdot (1+i)^{n-2} + \dots + 1 \cdot (1+i)^1 + 1 \cdot (1+i)^0$$
Riscrivendo i termini in ordine crescente per facilitare la somma:
$$s_{\overline{n}|i} = 1 + (1+i) + (1+i)^2 + \dots + (1+i)^{n-1}$$
2. Somma della Progressione Geometrica
Questa è una progressione geometrica con:
- Primo termine ($a$): $1$
- Ragione ($r$): $(1+i)$
- Numero di termini: $n$
La formula generale per la somma parziale ($S_n$) è:
$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$
3. Applicazione e Semplificazione del Denominatore
Sostituendo i valori della nostra serie, il fattore $s_{\overline{n}|i}$ diventa:
$$s_{\overline{n}|i} = 1 \cdot \frac{(1+i)^n – 1}{(1+i) – 1}$$
Semplificando il denominatore $(1+i) – 1$:
$$(1+i) – 1 = i$$
4. Conclusione della Dimostrazione
Sostituendo il denominatore semplificato ($i$), otteniamo la formula standard per il fattore “s figurato n al tasso i”:
$$\mathbf{s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n – 1}{i}}$$
Nota Finale Importante sulla Periodicità
Nella formula $\mathbf{s_{\overline{n}|i}}$, è indispensabile che il tasso di interesse periodale ($i$) sia commisurato alla periodicità della rata.
Inoltre, poiché la rendita è posticipata, il calcolo del montante è effettuato esattamente all’istante dell’ultimo pagamento, $t=n$. La rata finale, non avendo tempo per generare interesse, è inclusa nella somma con un fattore di capitalizzazione pari a $1$ (ovvero $(1+i)^0$).
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