in questo articolo rispondiamo alle domande del quiz sulle rendite (1)
INDICE
DOMANDA 1- QUIZ SULLE RENDITE
Calcoliamo il valore attuale nel regime semplice:
$$V=\frac{100}{1+0,05\cdot1}+\frac{200}{1+0,05\cdot3}+\frac{300}{1+0,05\cdot6}=499,92$$
Per quanto riguarda il regime composto abbiamo:
$$V=100\cdot(1+0,05)^{-1}+200\cdot(1+0,05)^{-3}+300\cdot(1+0,05)^{-6}=665,53$$
Per calcolare infine il valore attuale nel regime anticipato dobbiamo prima di tutto calcolare il tasso di sconto annuo corrispondente al tasso di interesse del 5%:
$$d=\frac{i}{1+i}=\frac{0,05}{1+0,05}=0,0476219$$
Dunque possiamo applicare la formula per il calcolo del valore attuale:
$$V=100\cdot(1-0,0476219\cdot1)+200\cdot(1-0,0476219\cdot3)+300\cdot(1-0,0476219\cdot6)=480,95$$
DOMANDA 2- QUIZ SULLE RENDITE
Per calcolare il montante della rendita al tempo 6 dobbiamo capitalizzare con i fattori di attualizzazione nei tre regimi i flussi di cassa.
Il flusso al tempo 0 lo capitalizziamo di 6 anni, quello al tempo 3 di tre anni, mentre lasciamo inalterato il flusso di cassa che si trova già al tempo 6.
Nel regime semplice il valore del montante vale:
$$M(6)=100\cdot(1+0,05\cdot6)+200\cdot(1+0,05\cdot3)+300=655,00$$
Quando operiamo nel regime composto impostiamo il seguente calcolo:
$$M(6)=100\cdot(1+0,05)^6+200\cdot(1+0,05)^3+300=665,53$$
Nel regime anticipato abbiamo bisogno del tasso di sconto ed utilizziamo lo stesso tasso che abbiamo calcolato nella domanda precedente 0,0476219, ovvero il 4,76219%. Dunque scriviamo:
$$M(6)=\frac{100}{1-0,0476219\cdot6}+\frac{200}{1-0,0476219\cdot3}+\frac{100}{1-0,0476219\cdot0}=673,33$$
(da notare che l’ultimo termine della somma è proprio pari a 300.
DOMANDA 3- QUIZ SULLE RENDITE
Per calcolare la rata impostiamo l’equazione del valore attuale, e da qui attraverso gli opportuni passaggi inversi ricaviamo il valore della x:
Nel regime semplice abbiamo:
$$\frac{x}{1+0,10\cdot1}+\frac{200}{1+0,10\cdot2}+\frac{300}{1+0,10\cdot3}=600$$
Invertendo l’equazione di primo grado otteniamo:
$$x=\left(600-\left(\frac{200}{1+0,10\cdot2}+\frac{300}{1+0,10\cdot3}\right)\right)\cdot(1+0,10\cdot1)=222,82$$
Facciamo la stessa cosa nel regime composto, impostando l’equazione iniziale:
$$x\cdot(1+0,10)^{-1}+200\cdot(1+0,10)^{-2}+300\cdot(1+0,10)^{-3}=600$$
Invertendo l’equazione abbiamo:
$$x=\frac{600-200\cdot(1+0,10)^{-2}-300\cdot(1+0,10)^{-3}}{(1+0,10)^{-1}}=230,24$$
Adottiamo lo stesso metodo per il regime anticipato, calcolando per prima cosa il tasso di sconto equivalente al tasso di interesse del 10%.
$$d=\frac{0,10}{1+0,10}=0,09090909$$
Dunque l’equazione del valore attuale risulta:
$$x\cdot(1-0,09090909\cdot1)+200\cdot(1-0,09090909\cdot2)+300\cdot(1-0,09090909\cdot3)=600$$
Dunque la nostra x risulta:
$$x=\frac{600-200\cdot(1-0,09090909\cdot2)-300\cdot(1-0,09090909\cdot3)}{1-0,09090909\cdot1}=240,00$$
DOMANDA 4
In modo analogo alla domanda precedente dovremo per prima cosa impostare l’equazione del valore attuale, per poi ricavare l’incognita t dei tempi:
Partiamo dal regime semplice:
$$\frac{100}{1+0,07\cdot 1}+\frac{200}{1+0,07\cdot t}+\frac{100}{1+0,07\cdot 5}=500$$
Isoliamo sulla sinistra la frazione che presenta l’incognita t:
$$\frac{200}{1+0,07\cdot t}=500-\frac{100}{1+0,07\cdot 1}-\frac{100}{1+0,07\cdot 5}$$
Ribaltiamo la frazione a destra e a sinistra (attenzione non le frazioni della somma):
$$\frac{1+0,07\cdot t}{200}=\frac{1}{500-\frac{100}{1+0,07\cdot 1}-\frac{100}{1+0,07\cdot 5}}$$
Moltiplichiamo per 200, sottraiamo 1, e dividiamo per 0,07 di modo da ottenere il tempo t:
$$t=\frac{\frac{200}{500-\frac{100}{1+0,07\cdot 1}-\frac{100}{1+0,07\cdot 5}}-1}{0,07}=1,2$$
Impostiamo anche nel regime composto l’equazione di partenza del valore attuale:
$$100\cdot(1+0,07)^{-1}+200\cdot(1+0,07)^{-t}+300\cdot(1+0,07)^{-3}=500$$
Isoliamo il termine esponenziale con l’incognita e dividiamo per 200:
$$(1+0,07)^{-t}=\frac{500-100\cdot(1+0,07)^{-1}-300\cdot(1+0,07)^{-3}}{200}$$
Trattandosi di un’equazione esponenziale ricaviamo il tempo introducendo i logaritmi:
$$t=-\frac{\log\left(\frac{500-100\cdot(1+0,07)^{-1}-300\cdot(1+0,07)^{-3}}{200}\right)}{\log(1+0,07)}=4,8$$
Nel regime anticipato facciamo la stessa cosa utilizzando il tasso di sconto del 5%
Impostiamo dunque l’equazione del valore attuale:
$$100\cdot(1-0,05\cdot1)+200\cdot(1-0,05\cdot t)+300\cdot(1-0,05\cdot3)=500$$
Spostiamo a destra i termini senza incognita e dividiamo per 200:
$$1-0,05\cdot t=\frac{500-100\cdot(1-0,05\cdot1)-300\cdot(1-0,05\cdot3)}{200}$$
Sottraiamo 1, cambiamo i segni e dividiamo per 0,0752688:
$$t=\frac{1-\left(\frac{500-100\cdot(1-0,05\cdot1)-300\cdot(1-0,05\cdot3)}{200}\right)}{0,05}=5,0$$
DOMANDA 5
Questa domanda è forse la più complessa e ci chiede di calcolare il tasso di interesse, che noi chiamiamo tasso interno di rendimento (TIR). Quello che ci interessa è comunque la procedura matematica.
L’impostazione è identica a quella delle domande precedenti e dobbiamo impostare per prima cosa la condizione del valore attuale.
Partiamo dal regime ad interesse semplice:
$$\frac{100}{1+i}+\frac{150}{1+2i}=200$$
Per una questione di comodità di calcolo dividiamo subito tutto per 100:
$$\frac{1}{1+i}+\frac{1,5}{1+2i}=2$$
Moltiplichiamo a destra e sinistra per il denominatore comune (1+i)(1+2i):
$$(1+2i)+1,5(1+i)=2(1+i)(1+2i)$$
Sviluppiamo quindi i calcoli fino ad arrivare ad una equazione di secondo grado:
$$\begin{aligned}&1+2i+1,5+1,5i=2+6i+4i^2\\&\\&4i^2+2,5i-0,5=0\end{aligned}$$
Risolviamo l’equazione con la formula risolutiva “salvando” solamente la soluzione positiva (ricordiamo che economicamente e finanziariamente riconosciamo solamente i tassi di interesse positivi):
$$i=\frac{-2,5+\sqrt{2,5^2+4\cdot4\cdot0,5}}{2}=0,159364$$
Dunque nella soluzione finale scriviamo 0,1593.
Anche nel regime composto cominciamo impostando l’equazione del valore attuale:
$$100\cdot(1+i)^{-1}+150\cdot(1+i)^{-2}=200$$
Dividiamo tutto per 100 e introduciamo il termine v che è il fattore attuale unitario del regime composto:
$$v=(1+i)^{-1}$$
In questo modo riordinando opportunamente i termini perveniamo ad una equazione di secondo grado con incognita v:
$$1,5v^2+v-2=0$$
Come nel caso precedente accettiamo solamente la soluzione positiva:
$$v=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot1,5\cdot2}}{3}=0,86851709$$
Trovato quindi il fattore attualizzante unitario determiniamo il tasso di interesse annuo invertendo la formula:
$$i=v^{-1}-1=0,86851709^{-1}-1=0,1513$$
Passiamo ora al regime anticipato ed impostiamo l’equazione del valore attuale:
$$100\cdot(1-d)+150\cdot(1-2d)=200$$
Anche in questo caso ci conviene dividere tutti i valori per 100:
$$(1-d)+1,5(1-2d)=2$$
Sviluppiamo i conti:
$$1-d+1,5-3d=2$$
Risolviamo quindi l’equazione di primo grado per trovare il tasos annuo di sconto:
$$-4d=-0,5\ \to\ d=\frac{0,5}{4}=0,1250$$
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