Integrali con le Sostituzioni di Eulero

Le sostituzioni di Eulero sono tre metodi per razionalizzare un integrale contenente la radice $\sqrt{ax^2+bx+c}$. La scelta del metodo dipende dai coefficienti $a$, $b$, e $c$.

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1. Prima Sostituzione di Eulero (Caso $a > 0$)

Questo metodo si usa quando il coefficiente di $x^2$ è positivo.

La Sostituzione: Si pone la radice uguale a $\pm \sqrt{a}x + t$. Scegliamo il segno positivo per semplicità:

$$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a}x + t$$

Come funziona: Elevando al quadrato, i termini in $x^2$ si cancelleranno, lasciando un’equazione di primo grado che permette di esprimere $x$ (e $dx$) in funzione di $t$ in modo razionale.

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Esempio Svolto (Prima Sostituzione) – Integrali con le Sostituzioni di Eulero

Problema:

Calcoliamo $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$.

(Nota: Sappiamo che questo integrale dà $\text{arsinh}(x)$ o $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$. Vediamo se Eulero ci porta lì).

1. Analisi:

Qui $a=1$, $b=0$, $c=1$. Poiché $a=1 > 0$, usiamo la Prima Sostituzione.

2. Sostituzione:

$$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{1}x + t \implies \sqrt{x^2+1} = x + t$$

3. Isoliamo $x$ (L’Algebra):

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$$(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+t)^2$$

$$x^2+1 = x^2 + 2xt + t^2$$

I termini $x^2$ si elidono:

$$1 = 2xt + t^2$$

Ora isoliamo $x$:

$$1 – t^2 = 2xt$$

$$x = \frac{1 – t^2}{2t}$$

4. Troviamo $dx$ (Derivata del Quoziente):

$$dx = \frac{(-2t)(2t) – (1 – t^2)(2)}{(2t)^2} dt\\
dx = \frac{-4t^2 – 2 + 2t^2}{4t^2} dt = \frac{-2t^2 – 2}{4t^2} dt\\
dx = \frac{-2(t^2 + 1)}{4t^2} dt = \frac{-(t^2 + 1)}{2t^2} dt$$

5. Troviamo la Radice in termini di $t$:

Sostituiamo la $x$ trovata al passo 3 nella nostra sostituzione (passo 2):

$$\sqrt{x^2+1} = x + t = \left( \frac{1 – t^2}{2t} \right) + t
\\\sqrt{x^2+1} = \frac{(1 – t^2) + 2t^2}{2t} = \frac{1 + t^2}{2t}$$

6. Sostituiamo nell’Integrale (La Magia):

Ora sostituiamo la radice (passo 5) e $dx$ (passo 4) nell’integrale originale:

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\left( \frac{1 + t^2}{2t} \right)} \cdot \left( \frac{-(t^2 + 1)}{2t^2} \right) dt$$

L’integrale è ora razionale. Semplifichiamolo:

$$= \int \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) \cdot \left( \frac{-(t^2 + 1)}{2t^2} \right) dt$$

I termini $(1 + t^2)$ si elidono. I termini $2t$ e $2t^2$ si semplificano:

$$= \int \frac{-1}{t} dt$$

7. Risolviamo e Torniamo a $x$:

$$= -\ln|t| + C$$

Ora sostituiamo $t$. Dal passo 2, $t = \sqrt{x^2+1} – x$:

$$= -\ln|\sqrt{x^2+1} – x| + C$$

(Questo risultato è corretto e, tramite razionalizzazione, si può dimostrare che è identico a $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$).

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2. Seconda Sostituzione di Eulero (Caso $c > 0$)

Questo metodo si usa quando il termine noto $c$ è positivo.

La Sostituzione:

$$\sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c}$$

Come funziona: Elevando al quadrato, i termini noti $c$ si cancelleranno. Tutta l’equazione avrà un fattore $x$ che può essere diviso, lasciando un’equazione di primo grado per $x$ in termini di $t$.

Esempio Svolto (Seconda Sostituzione: Caso $c > 0$) – Integrali con le Sostituzioni di Eulero

Questo metodo si usa quando il termine noto $c$ è positivo.

La Sostituzione: $\sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt{c}$ (usiamo il segno $+$ per $\sqrt{c}$)

Problema:

Calcoliamo $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$.

(Nota: Lo abbiamo già risolto con la Prima Sostituzione. Questo è solo per mostrare come funziona il secondo metodo).

1. Analisi:

Qui $a=1$, $b=0$, $c=1$. Poiché $c=1 > 0$, usiamo la Seconda Sostituzione.

2. Sostituzione:

$$\sqrt{x^2+1} = xt + \sqrt{1} \implies \sqrt{x^2+1} = xt + 1$$

3. Isoliamo $x$ (L’Algebra):

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$$(\sqrt{x^2+1})^2 = (xt+1)^2$$

$$x^2+1 = x^2t^2 + 2xt + 1$$

I termini $x^2$ (a sinistra) e $1$ (termini noti) si elidono:

$$x^2 = x^2t^2 + 2xt$$

Dividiamo entrambi i membri per $x$ (supponendo $x \neq 0$):

$$x = xt^2 + 2t$$

Ora isoliamo $x$:

$$x – xt^2 = 2t \implies x(1 – t^2) = 2t$$

$$x = \frac{2t}{1 – t^2}$$

4. Troviamo $dx$ (Derivata del Quoziente):

$$dx = \frac{(2)(1 – t^2) – (2t)(-2t)}{(1 – t^2)^2} dt\\
dx = \frac{2 – 2t^2 + 4t^2}{(1 – t^2)^2} dt = \frac{2t^2 + 2}{(1 – t^2)^2} dt\\
dx = \frac{2(t^2 + 1)}{(1 – t^2)^2} dt$$

5. Troviamo la Radice in termini di $t$:

Sostituiamo la $x$ trovata (passo 3) nella nostra sostituzione (passo 2):

$$\sqrt{x^2+1} = x t + 1 = \left( \frac{2t}{1 – t^2} \right) t + 1\\
\sqrt{x^2+1} = \frac{2t^2}{1 – t^2} + \frac{1 – t^2}{1 – t^2} = \frac{2t^2 + 1 – t^2}{1 – t^2}\\
\sqrt{x^2+1} = \frac{t^2 + 1}{1 – t^2}$$

6. Sostituiamo nell’Integrale (La Magia):

Sostituiamo la radice (passo 5) e $dx$ (passo 4) nell’integrale originale:

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\left( \frac{t^2 + 1}{1 – t^2} \right)} \cdot \left( \frac{2(t^2 + 1)}{(1 – t^2)^2} \right) dt$$

L’integrale è ora razionale. Semplifichiamolo:

$$= \int \left( \frac{1 – t^2}{t^2 + 1} \right) \cdot \left( \frac{2(t^2 + 1)}{(1 – t^2)^2} \right) dt$$

Il termine $(t^2 + 1)$ si elide. Il termine $(1 – t^2)$ si semplifica (uno al numeratore e due al denominatore):

$$= \int \frac{2}{1 – t^2} dt$$

7. Risolviamo e Torniamo a $x$:

Questo è un integrale razionale standard che si risolve con i fratti semplici:

$$\frac{2}{1 – t^2} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} \implies A=1, B=1$$

$$= \int \left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right) dt = -\ln|1-t| + \ln|1+t| + C$$

$$= \ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C$$

Dal passo 2, $t = \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}$. Sostituire questo valore porta a un risultato algebricamente complesso ma corretto.

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3. Terza Sostituzione di Eulero (Caso con Radici Reali)

Questo metodo si usa quando il polinomio $ax^2+bx+c$ ha due radici reali distinte, $\alpha$ e $\beta$. (Cioè, $b^2-4ac > 0$).

Possiamo quindi scrivere $\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}$.

La Sostituzione:

$$\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\alpha)t$$

Come funziona: Elevando al quadrato, i termini $(x-\alpha)$ si semplificheranno, lasciando ancora una volta un’equazione di primo grado per $x$ in termini di $t$.

Esempio Svolto (Terza Sostituzione: Caso con Radici Reali) – Integrali con le Sostituzioni di Eulero

Questo metodo si usa quando il polinomio $ax^2+bx+c$ ha due radici reali distinte, $\alpha$ e $\beta$.

La Sostituzione: $\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\alpha)t$

Problema:

Calcoliamo $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 – 1}} dx$.

1. Analisi:

Il polinomio $x^2 – 1$ ha due radici reali: $\alpha = 1$ e $\beta = -1$.

Possiamo scrivere $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{(x-1)(x+1)}$.

2. Sostituzione:

Usiamo $\alpha = 1$:

$$\sqrt{(x-1)(x+1)} = (x-1)t$$

3. Isolare $x$ (L’Algebra):

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$$(x-1)(x+1) = (x-1)^2 t^2$$

Dividiamo entrambi i membri per $(x-1)$:

$$(x+1) = (x-1) t^2$$

Ora isoliamo $x$:

$$x+1 = xt^2 – t^2$$

$$1 + t^2 = xt^2 – x$$

$$1 + t^2 = x(t^2 – 1) \implies x = \frac{t^2 + 1}{t^2 – 1}$$

4. Trovare $dx$ (Derivata del Quoziente):

$$dx = \frac{(2t)(t^2 – 1) – (t^2 + 1)(2t)}{(t^2 – 1)^2} dt$$

$$dx = \frac{2t^3 – 2t – 2t^3 – 2t}{(t^2 – 1)^2} dt = \frac{-4t}{(t^2 – 1)^2} dt$$

5. Trovare la Radice in termini di $t$:

Sostituiamo la $x$ trovata (passo 3) nella nostra sostituzione (passo 2):

$$\sqrt{x^2-1} = (x-1)t = \left( \frac{t^2 + 1}{t^2 – 1} – 1 \right) t\\

\sqrt{x^2-1} = \left( \frac{t^2 + 1 – (t^2 – 1)}{t^2 – 1} \right) t = \left( \frac{2}{t^2 – 1} \right) t\\

\sqrt{x^2-1} = \frac{2t}{t^2 – 1}$$

6. Sostituire nell’Integrale (La Magia):

Sostituiamo la radice (passo 5) e $dx$ (passo 4) nell’integrale originale:

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \frac{1}{\left( \frac{2t}{t^2 – 1} \right)} \cdot \left( \frac{-4t}{(t^2 – 1)^2} \right) dt$$

L’integrale è ora razionale. Semplifichiamolo:

$$= \int \left( \frac{t^2 – 1}{2t} \right) \cdot \left( \frac{-4t}{(t^2 – 1)^2} \right) dt$$

Il termine $(t^2 – 1)$ si semplifica. Il termine $t$ si elide:

$$= \int \frac{-4t}{2t(t^2 – 1)} dt = \int \frac{-2}{t^2 – 1} dt$$

$$= \int \frac{2}{1 – t^2} dt$$

7. Risolvere e Tornare a $x$:

Questo è lo stesso integrale razionale dell’esempio precedente:

$$= \ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C$$

Dal passo 2, $t = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$.

$$= \ln\left|\frac{1 + \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}}{1 – \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}}\right| + C$$

Come si può notare, i metodi di Eulero sono infallibili per razionalizzare l’integrale, ma l’algebra necessaria (specialmente nei passaggi 3, 4 e 7) è spesso molto più complessa rispetto alle sostituzioni trigonometriche o iperboliche.

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Conclusione

Le Sostituzioni di Eulero sono un apparato algebrico potente e universale. Sebbene le sostituzioni trigonometriche o iperboliche siano spesso più veloci (quando applicabili), i metodi di Eulero sono la garanzia che qualsiasi integrale con una radice quadratica può, con sufficiente pazienza algebrica, essere domato e trasformato in un integrale di una funzione razionale.

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