Nel precedente articolo abbiamo esplorato la Serie Geometrica, uno dei pochi casi in cui riusciamo a determinare esattamente il valore della somma. Oggi analizziamo un’altra categoria speciale che permette il calcolo esatto: la serie di Mengoli e, più in generale, le serie telescopiche.
Spesso, quando ci troviamo di fronte a una serie $\sum a_n$, il nostro obiettivo è solo capire se converge. Ma con la serie di Mengoli, grazie a un’intelligente manipolazione algebrica, possiamo vedere i termini “elidersi” a vicenda fino a ottenere un risultato pulito e finito. Questo meccanismo di cancellazione è il cuore delle serie telescopiche.
INDICE
La Serie di Mengoli: Definizione e Trucco Algebrico
La classica serie di Mengoli è definita dal termine generale:
$$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$$
A prima vista sembra una frazione complessa da sommare. Tuttavia, possiamo usare la scomposizione in fratti semplici per riscrivere il termine generale come differenza di due frazioni più semplici:
$$a_n = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}$$
Se proviamo a scrivere la somma parziale $S_n$ usando questa nuova forma, accade qualcosa di magico. I termini intermedi si cancellano a due a due:
$$S_n = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right)$$
Notiamo che $-1/2$ si cancella con $+1/2$, $-1/3$ con $+1/3$, e così via. Rimangono vivi solo il primo termine ($1$) e l’ultimo termine ($-\frac{1}{n+1}$).
La somma parziale diventa quindi:
$$S_n = 1 – \frac{1}{n+1}$$
Il Limite e la Somma Finale
Una volta trovata l’espressione semplificata della somma parziale $S_n$, determinare il carattere della serie di Mengoli è immediato. Basta calcolare il limite per $n \to +\infty$:
$$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right) = 1 – 0 = 1$$
Quindi, la serie di Mengoli converge e la sua somma è 1.
Generalizzazione: Le Serie Telescopiche
La serie di Mengoli è l’esempio più famoso di una famiglia più ampia chiamata Serie Telescopiche.
Una serie si dice telescopica se il suo termine generale $a_k$ può essere scritto come la differenza tra due termini consecutivi di un’altra successione $b_k$:
$$a_k = b_k – b_{k+1}$$
Il nome “telescopica” deriva dai vecchi cannocchiali da marinaio che si richiudevano su se stessi: allo stesso modo, nella somma parziale di queste serie, tutti i termini intermedi collassano e spariscono.
La somma parziale di una serie telescopica è sempre data da:
$$S_n = b_0 – b_{n+1}$$
(dove $b_0$ è il primo termine e $b_{n+1}$ è il termine residuo).
Il carattere della serie dipende quindi esclusivamente dal limite della successione $b_n$. Se $b_n$ tende a un numero finito $l$, la serie converge; se tende a infinito, la serie diverge.
Trafiletto Storico
Pietro Mengoli (1626–1686) fu un matematico e presbitero italiano, allievo di Bonaventura Cavalieri a Bologna. Ben prima della formalizzazione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz, Mengoli lavorò sulle serie infinite e sui limiti.
Nel 1650, nella sua opera Novae quadraturae arithmeticae, presentò la serie che oggi porta il suo nome, dimostrando con eleganza che la somma dei reciproci dei numeri oblunghi converge a 1.
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