Oggi vediamo come si calcolano l’equazione del piano tangente e dell’iperpiano tangente nelle funzioni a due o più variabili.
Per una questione di formalità prima trattiamo prima il piano tangente per funzioni a due variabili.
Successivamente ampliamo il ragionamento a funzioni con più di due variabili con la teoria dell’iperpiano tangente.
PIANO TANGENTE NELLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
L’equazione del piano tangente in un punto P (x0, y0) per funzioni a due variabili è:
$$\pi:\quad z=f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot\begin{pmatrix} x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}$$
dove in particolare
$$\begin{aligned}&\text{$f(x_0,y_0)$ è il valore della funzione nel punto $P$}\\&\text{$\nabla f(x_0,y_0)$ è il vettore gradiente della funzione nel punto $P$}\\&\text{$\begin{pmatrix} x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}$ è il vettore del differenziale delle variabili nel punto $P$}\end{aligned}$$
Scritto in maniera più estesa risulta essere
$$\pi:\quad z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$$
dove:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ \text{sono le componenti del gradiente nel punto $P$}$$
Vediamo ora qualche esempio pratico.
ESEMPIO 1 – PIANO TANGENTE IN FUNZIONE A DUE VARIABILI
Calcoliamo il piano tangente alla seguente funzione a due variabili nel punto P indicato
$$f(x,y)=\sin\left(x\log y\right)\quad\text{in $P(\pi,e)$}$$
Calcoliamo in primo luogo il valore della funzione nel punto P
$$f(\pi,e)=\sin(\pi\log e)=\sin\pi=0$$
Passiamo ora al calcolo del vettore gradiente
$$\nabla f=\begin{pmatrix} \cos(x\log y)\log y&\cos(x\log y)\frac{x}{y}\end{pmatrix}$$
Ora calcoliamo il vettore gradiente nel punto P(π,e)
$$\begin{aligned}&\nabla f(\pi,e)=\begin{pmatrix} \cos(\pi\log e)\log e&\cos(\pi\log e)\frac{\pi}{e}\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f(\pi,e)=\begin{pmatrix}\cos(\pi)&\cos(\pi)\log e \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&-\frac{\pi}{e}\end{pmatrix}\end{aligned}$$
Ora non ci resta che calcolare l’equazione del piano tangente
$$\begin{aligned}&\pi:\quad z=f(\pi,e)+\nabla f(\pi,e)\cdot\begin{pmatrix}x-\pi\\y-e \end{pmatrix}\\&\pi:\quad z=f(\pi,e)+\begin{pmatrix} -1&-\frac{\pi}{e}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-\pi\\y-e\end{pmatrix}\\&\pi:\quad z=0-(x-\pi)-\frac{\pi}{e}(y-e)\\&\pi:\quad z=0-x+\pi-\frac{\pi}{e}y+\pi\\&\pi:\quad z=-x-\frac{\pi}{e}y+2\pi\end{aligned}$$
ESEMPIO 2 – PIANO TANGENTE FUNZIONE A DUE VARIABILI
Calcoliamo il piano tangente alla seguente funzione a due variabili nel punto P indicato
$$f(x,y)=e^{2x}\sin y\quad\text{in $P\left(0,\frac{\pi}{6}\right)$}$$
Calcoliamo in primo luogo il valore della funzione nel punto P
$$f\left(0,\frac{\pi}{6}\right)=e^{2\cdot0}\sin\frac{\pi}{6}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
Passiamo ora al calcolo del vettore gradiente
$$\nabla f=\begin{pmatrix}2e^{2x}\sin y&e^{2x}\cos y \end{pmatrix}$$
Ora calcoliamo il vettore gradiente nel punto P(π,e)
$$\nabla f\left(0,\frac{\pi}{6}\right)=\begin{pmatrix}2e^{2\cdot0}\sin\frac{\pi}{6}&e^{2\cdot0}\cos\frac{\pi}{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$
Ora non ci resta che calcolare l’equazione del piano tangente
$$\begin{aligned}&\pi_\quad z= f\left(0,\frac{\pi}{6}\right)+\nabla f f\left(0,\frac{\pi}{6}\right)\cdot\begin{pmatrix}x-0\\y-\frac{\pi}{6} \end{pmatrix}\\&\pi_\quad z=\frac{1}{2}+\begin{pmatrix} \&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-0\\y-\frac{\pi}{6}\end{pmatrix}\\&\pi_\quad z=\frac{1}{2}+x+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y-\frac{\pi}{6}\right)\\&\pi_\quad z=\frac{1}{2}+x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{12}\pi\end{aligned}$$
Riordiniamo meglio
$$\pi:\quad z=x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{12}+\frac{1}{2}$$
ESEMPIO 3 – PIANO TANGENTE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Calcoliamo il piano tangente alla seguente funzione a due variabili nel punto P indicato
$$f(x,y)=\log(x^2+y^4)\quad\text{in $P(1,-1)$}$$
Calcoliamo in primo luogo il valore della funzione nel punto P
$$f(1,-1)=\log\left(1^2+(-1)^4\right)=\log2$$
Passiamo ora al calcolo del vettore gradiente
$$\nabla f=\begin{pmatrix}\frac{2x}{x^2+y^4}&\frac{4y^3}{x^2+y^4} \end{pmatrix}$$
Ora calcoliamo il vettore gradiente nel punto P(π,e)
$$\nabla f(1,-1)=\begin{pmatrix} \frac{2\cdot1}{1^2+(-1)^4}&\frac{4(-1)^4}{1^2+(-1)^4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix}$$
Ora non ci resta che calcolare l’equazione del piano tangente
$$\begin{aligned}&\pi:\quad z=f(1,-1)+\nabla f(1,-1)\cdot\begin{pmatrix}x-1\\y+1 \end{pmatrix}\\&\pi:\quad z=\log2+\begin{pmatrix}1&-2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-1\\y+1\end{pmatrix}\\&\pi:\quad z=\log2+(x-1)-2(y+1)\\&\pi:\quad z=\log2+x-1-2y-2\end{aligned}$$
Riordiniamo meglio
$$\pi:\quad z=\log2+x-2y-3$$
ESEMPIO 4 – PIANO TANGENTE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Calcoliamo il piano tangente alla seguente funzione a due variabili nel punto P indicato
$$f(x,y)=x\cos(xy)\quad\text{in $P(2,\pi)$}$$
Calcoliamo in primo luogo il valore della funzione nel punto P
$$f(2,\pi)=2\cos(2\pi)=2$$
Passiamo ora al calcolo del vettore gradiente
$$\begin{aligned}&\nabla f=\begin{pmatrix}1\cdot\cos(xy)+x(-\sin(xy)y)&x(-\sin(xy)x) \end{pmatrix}\\&\\&\nabla f=\begin{pmatrix} \cos(xy)-xy\sin(xy)&-x^2\sin(x,y)\end{pmatrix}\end{aligned}$$
Ora calcoliamo il vettore gradiente nel punto P(π,e)
$$\nabla(2,\pi)=\begin{pmatrix} \cos(2\pi)-2\pi\sin(2\pi)&-2^2\sin(2\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix}$$
Ora non ci resta che calcolare l’equazione del piano tangente
$$\begin{aligned}&\pi:\quad z=f(2,\pi)+\nabla f(2,\pi)\cdot\begin{pmatrix} x-2\\y-\pi\end{pmatrix}\\&\pi:\quad z=2+\begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-2\\y-\pi\end{pmatrix}\\&\pi:\quad z=2+(x-2)+0(y-\pi)\\&\pi:\quad z=2+x-2+0\end{aligned}$$
Riordiniamo meglio
$$\pi:\quad z=x$$
IPERPIANO TANGENTE FUNZIONI CON PIU’ DI DUE VARIABILI
La teoria del piano tangente può essere estesa a funzioni a più di due variabili per il calcolo dell’iperpiano tangente.
Ipotizziamo di avere a che fare con una funzione con n variabili
$$f:\ \mathbb{R^n}\to\mathbb{R}:\quad f(x_1,x_2,\dots, x_n)$$
L’equazione del l’iperpiano tangente risulta essere
$$\pi:\quad z=f(P_0)+\nabla f(P_0)\cdot(x-x_0)$$
Dove P0, x e x0 sono vettori n-dimensionali
$$\begin{aligned}&P_0=\begin{pmatrix}x_{01}&x_{02}&\cdots&x_{0m} \end{pmatrix}\\&(x-x_0)=\begin{pmatrix} x_1-x_{01}\\x_2-x_{02}\\\cdots\\x_n-x_{0n}\end{pmatrix} \end{aligned}$$
Ovviamente (per ora) non è possibile visualizzare l’iperpiano tangente dal punto di vista grafico.
Dobbiamo immaginarlo come una generalizzazione del piano tangente nelle funzioni a due variabili reali
Vediamo qualche esempio per il calcolo dell’iperpiano tangente.
ESEMPIO 1 – IPERPIANO TANGENTE
Calcoliamo l’equazione dell’iperpiano tangente alla funzione di tre variabili
$$f(x,y,z)=\frac{x}{y}+z^2y\quad\text{in $P(1,1,2)$}$$
Calcoliamo in primis il valore della funzione nel punto P
$$f(1,1,2)=\frac{1}{1}+4\cdot1=5$$
Passiamo ora al vettore gradiente
$$\nabla f=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}&\frac{\partial f}{\partial y}&\frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{y}&-\frac{x}{y^2}+z^2&2zy \end{pmatrix}$$
Calcoliamo il valore del vettore gradiente nel punto P
$$\nabla f(1,1,2)=\begin{pmatrix} 1&3&4\end{pmatrix}$$
Infine calcoliamo l’equazione dell’iperpiano tangente (usiamo come quarta dimensione la lettera t)
$$\begin{aligned}&\pi:\quad t=f(1,1,2)+\nabla f(1,1,2)\cdot\begin{pmatrix} x-1\\y-1\\z-2\end{pmatrix}\\&\pi:\quad t=f(1,1,2)+\begin{pmatrix} 1&3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-1\\y-1\\z-2\end{pmatrix}\\&\pi:\quad t=5+1(x-1)+3(y-1)+4(z-2)\\&\pi:\quad t=5+x-1+3y-3+4z-8\end{aligned}$$
Otteniamo quindi il risultato finale:
$$\pi:\quad t=x+3y+4z-7$$
ESEMPIO 2 – IPERPIANO TANGENTE
Calcoliamo l’equazione dell’iperpiano tangente alla funzione di tre variabili
$$f(x,y,z)=e^x\sin(yz)\quad\text{in $P\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)$}$$
Calcoliamo in primis il valore della funzione nel punto P
$$f\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)=e^0\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$
Passiamo ora al vettore gradiente
$$\begin{aligned}&\nabla f=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}&\frac{\partial f}{\partial y}&\frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}=\\&\\&\nabla f=\begin{pmatrix}e^x\sin(yz)&e^xz\cos(yz)&e^xy\cos(yz) \end{pmatrix}\end{aligned}$$
Calcoliamo il valore del vettore gradiente nel punto P
$$\begin{aligned}&\nabla f\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} e^0\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)&e^0\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)&e^0\cdot1\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix}1&0&0 \end{pmatrix}\end{aligned}$$
Infine calcoliamo l’equazione dell’iperpiano tangente (usiamo come quarta dimensione la lettera t)
$$\begin{aligned}&\pi:\quad t=f\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)+\nabla f\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)\cdot \begin{pmatrix}x-0\\y-1\\z-\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}\\&\pi:\quad t=1+\begin{pmatrix} 1&0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x-0\\y-1\\z-\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}\\&\pi:\quad t=1+1(z-0)+0(y-1)+0\left(z-\frac{\pi}{2}\right)\end{aligned}$$
Quindi il nostro iperpiano tangente risulta:
$$\pi:\quad t=x+1$$
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