Esercizi sulle scomposizioni: soluzione

La scomposizione dei polinomi (o fattorizzazione) è una delle abilità fondamentali della matematica. Significa “rompere” un polinomio complesso in un prodotto di fattori più semplici.

Questa guida serve come spiegazione dettagliata per il nostro Quiz sulle Scomposizioni. Qui troverai ogni domanda del quiz, risolta e commentata passo dopo passo.

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Esercizio 1: Raccoglimento a Fattor Comune (MCD)

Domanda: Qual è la scomposizione di $3a^2b – 6ab^2$?

Risposta Corretta: $3ab(a – 2b)$

Svolgimento e Commento:

Il Raccoglimento a Fattor Comune Totale è sempre il primo metodo da tentare.

1. Analisi dei Coefficienti (Numeri): Tra 3 e 6, il Massimo Comun Divisore (MCD) è 3.
2. Analisi delle Lettere:
   • Per la lettera ‘a’, abbiamo $a^2$ e $a$. Prendiamo l’esponente più basso: $a$.
   • Per la lettera ‘b’, abbiamo $b$ e $b^2$. Prendiamo l’esponente più basso: $b$.
3. MCD Totale: L’MCD completo è $3ab$.
4. Divisione: Ora dividiamo ogni termine del polinomio originale per l’MCD:
   • $(3a^2b) \div (3ab) = a$
   • $(-6ab^2) \div (3ab) = -2b$
5. Risultato: Scriviamo l’MCD fuori dalla parentesi e i risultati della divisione all’interno: $3ab(a – 2b)$.

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Esercizio 2: Differenza di Quadrati

Domanda: Come si scompone $9x^2 – 1$?

Risposta Corretta: $(3x – 1)(3x + 1)$

Svolgimento e Commento:

Questo è un prodotto notevole chiamato Differenza di Quadrati. La formula è:

$$A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$$

1. Identifica A e B: Dobbiamo riconoscere che entrambi i termini sono dei quadrati perfetti.
   • $9x^2$ è il quadrato di $A = 3x$.
   • $1$ è il quadrato di $B = 1$.
2. Applica la Formula: Sostituiamo $A$ e $B$ nella formula:
   • $(3x – 1)(3x + 1)$

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Esercizio 3: Quadrato di Binomio

Domanda: Qual è la scomposizione del trinomio $x^2 + 10x + 25$?

Risposta Corretta: $(x + 5)^2$

Svolgimento e Commento:

Questo è un altro prodotto notevole, il Quadrato di un Binomio. La formula è:

$$A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$$

1. Identifica i Quadrati (A e B): Controlliamo se il primo e l’ultimo termine sono quadrati perfetti.
   • $x^2$ è il quadrato di $A = x$.
   • $25$ è il quadrato di $B = 5$.
2. Verifica il Doppio Prodotto (2AB): Ora verifichiamo se il termine centrale ($10x$) corrisponde al doppio prodotto $2 \cdot A \cdot B$.
   • $2 \cdot (x) \cdot (5) = 10x$
3. Conferma: Poiché i quadrati e il doppio prodotto corrispondono (e i segni sono tutti positivi), la scomposizione è $(x + 5)^2$.

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Esercizio 4: Raccoglimento Parziale (a Gruppi)

Domanda: Scomponi $ax + 2a + bx + 2b$.

Risposta Corretta: $(a + b)(x + 2)$

Svolgimento e Commento:

Usiamo il Raccoglimento Parziale quando non c’è un MCD comune a tutti i termini, ma possiamo “raggruppare” i termini.

1. Raggruppa i Primi Due: Raccogliamo la ‘a’ dai primi due termini:
   • $ax + 2a = a(x + 2)$
2. Raggruppa gli Ultimi Due: Raccogliamo la ‘b’ dagli ultimi due termini:
   • $bx + 2b = b(x + 2)$
3. Raccoglimento Finale: Il polinomio ora è $a(x + 2) + b(x + 2)$. Notiamo che $(x + 2)$ è diventato un fattore comune. Raccogliamo $(x + 2)$:
   • $(x + 2)(a + b)$

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Esercizio 5: Trinomio Speciale (Somma e Prodotto)

Domanda: Come si scompone il trinomio speciale $x^2 + 7x + 12$?

Risposta Corretta: $(x + 3)(x + 4)$

Svolgimento e Commento:

Questo trinomio (noto come “trinomio caratteristico”) si scompone cercando due numeri che soddisfino due condizioni:

• La loro Somma deve essere il coefficiente di x (cioè +7).
• Il loro Prodotto deve essere il termine noto (cioè +12).

1. Cerca i Numeri: Elenchiamo le coppie che danno prodotto +12:
   • (1, 12) $\rightarrow$ Somma 13 (No)
   • (2, 6) $\rightarrow$ Somma 8 (No)
   • (3, 4) $\rightarrow$ Somma 7 (Sì!)
   • (-1, -12) $\rightarrow$ Somma -13 (No)
   • (-2, -6) $\rightarrow$ Somma -8 (No)
   • (-3, -4) $\rightarrow$ Somma -7 (No)
2. Risultato: I numeri sono +3 e +4. La scomposizione è $(x + 3)(x + 4)$.

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Esercizio 6: Somma di Cubi

Domanda: Qual è la scomposizione di $8a^3 + 1$?

Risposta Corretta: $(2a + 1)(4a^2 – 2a + 1)$

Svolgimento e Commento:

Questa è una Somma di Cubi. La formula è:

$$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$$

(Attenzione al “$A^2 – AB + B^2$”, è chiamato “falso quadrato” perché manca il 2 nel doppio prodotto e il segno centrale è opposto).

1. Identifica A e B: Troviamo le basi dei cubi.
   • $8a^3$ è il cubo di $A = 2a$.
   • $1$ è il cubo di $B = 1$.
2. Applica la Formula: Sostituiamo $A$ e $B$:
   • $(2a + 1)((2a)^2 – (2a)(1) + (1)^2)$
   • $(2a + 1)(4a^2 – 2a + 1)$

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Esercizio 7: Differenza di Cubi

Domanda: Come si scompone $y^3 – 27$?

Risposta Corretta: $(y – 3)(y^2 + 3y + 9)$

Svolgimento e Commento:

Questa è una Differenza di Cubi. La formula è molto simile alla precedente:

$$A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$$

1. Identifica A e B:
   • $y^3$ è il cubo di $A = y$.
   • $27$ è il cubo di $B = 3$.
2. Applica la Formula: Sostituiamo $A$ e $B$:
   • $(y – 3)((y)^2 + (y)(3) + (3)^2)$
   • $(y – 3)(y^2 + 3y + 9)$

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Esercizio 8: Scomposizione Completa (Multi-passaggio)

Domanda: Qual è la scomposizione completa di $2x^4 – 32$?

Risposta Corretta: $2(x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

Svolgimento e Commento:

Per una scomposizione “completa” bisogna continuare finché i fattori non sono più scomponibili (irriducibili).

1. Passo 1: MCD Totale: Iniziamo sempre da qui. Raccogliamo il 2.
   • $2(x^4 – 16)$
2. Passo 2: Differenza di Quadrati: Ora guardiamo dentro la parentesi. $x^4 – 16$ è una differenza di quadrati, dove $A = x^2$ e $B = 4$.
   • $2(x^2 – 4)(x^2 + 4)$
3. Passo 3: Ancora Differenza di Quadrati: La scomposizione non è finita! Il fattore $(x^2 + 4)$ è una somma di quadrati, che (nei numeri reali) è irriducibile. Ma $(x^2 – 4)$ è un’altra differenza di quadrati! ($A=x$, $B=2$).
   • $2(x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)$
4. Risultato: Ora tutti i fattori sono irriducibili.

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Esercizio 9: Scomposizione con Ruffini

Domanda: Scomponi il polinomio $P(x) = x^3 – 2x^2 – x + 2$.

Risposta Corretta: $(x – 1)(x + 1)(x – 2)$

Svolgimento e Commento:

Quando nessun raccoglimento o prodotto notevole funziona, usiamo la Regola di Ruffini.

1. Cerca gli Zeri (Radici): Cerchiamo un numero (tra i divisori del termine noto, 2) che, sostituito alla $x$, renda il polinomio uguale a zero. I divisori di 2 sono $\pm 1$ e $\pm 2$.
   • Proviamo $x = 1$: $P(1) = (1)^3 – 2(1)^2 – (1) + 2 = 1 – 2 – 1 + 2 = 0$. Trovato!
   • Se $x = 1$ è una radice, allora $(x – 1)$ è un divisore.
2. Applica Ruffini (Divisione): Dividiamo il polinomio $P(x)$ per $(x – 1)$ usando la tabella di Ruffini (o il raccoglimento parziale, che in questo caso era anche più veloce).
   • (Omettiamo la tabella per brevità) Il risultato della divisione è $x^2 – x – 2$.
3. Scomponi il Quoziente: La scomposizione finora è $(x – 1)(x^2 – x – 2)$. Ora scomponiamo il trinomio speciale $x^2 – x – 2$ (Somma = -1, Prodotto = -2). I numeri sono -2 e +1.
   • Quindi: $(x – 1)(x – 2)(x + 1)$

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Esercizio 10: Cubo di Binomio

Domanda: A quale scomposizione corrisponde lo sviluppo $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$?

Risposta Corretta: $(x + 2)^3$

Svolgimento e Commento:

Questo quadrinomio ha la struttura di un Cubo di Binomio. La formula è:

$$A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3$$

1. Identifica i Cubi (A e B): Controlliamo il primo e l’ultimo termine.
   • $x^3$ è il cubo di $A = x$.
   • $8$ è il cubo di $B = 2$.
2. Verifica i Tripli Prodotti: Ora verifichiamo i termini centrali.
   • Primo triplo prodotto ($3A^2B$): $3 \cdot (x)^2 \cdot (2) = 6x^2$. (Corrisponde!)
   • Secondo triplo prodotto ($3AB^2$): $3 \cdot (x) \cdot (2)^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$. (Corrisponde!)
3. Conferma: Poiché tutti e quattro i termini corrispondono perfettamente allo sviluppo, la scomposizione è $(x + 2)^3$.

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