Esercizi Svolti sul Raccoglimento a Fattor Parziale

Il raccoglimento a fattor parziale è il secondo passo da tentare se il raccoglimento totale non è possibile. La strategia consiste nel:

1. Raggruppare i termini del polinomio (es. a coppie).
2. Eseguire un raccoglimento a fattor comune all’interno di ciascun gruppo.
3. Se i raggruppamenti sono corretti, emergerà un nuovo fattore comune (spesso un binomio) tra i gruppi.
4. Eseguire un secondo raccoglimento (il raccoglimento finale) di questo fattore comune.

Vengono presentati 6 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base

Esercizio 1: raccoglimento a fattor parziale – Caso Classico (4 Termini)

Domanda: Scomponi il polinomio $ax + ay + bx + by$.

Risposta Corretta: $(a + b)(x + y)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Gruppi: Raggruppiamo i primi due termini (che hanno ‘a’ in comune) e gli ultimi due (che hanno ‘b’ in comune).$$(ax + ay) + (bx + by)$$
2. Raccoglimento 1 (Parziale): Raccogliamo ‘a’ dal primo gruppo e ‘b’ dal secondo.$$a(x + y) + b(x + y)$$
3. Raccoglimento 2 (Finale): Ora il binomio $(x + y)$ è il nuovo fattore comune. Lo raccogliamo.$$(x + y)(a + b)$$

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Esercizio 2: raccoglimento a fattor parziale Con Coefficienti Numerici

Domanda: Scomponi $3x + 6y + ax + 2ay$.

Risposta Corretta: $(x + 2y)(3 + a)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Gruppi: $(3x + 6y) + (ax + 2ay)$.
2. Raccoglimento 1 (Parziale):
   • Dal primo gruppo, l’MCD è 3: $3(x + 2y)$
   • Dal secondo gruppo, l’MCD è ‘a’: $a(x + 2y)$
3. Raccoglimento 2 (Finale): L’espressione è $3(x + 2y) + a(x + 2y)$. Il fattore comune è $(x + 2y)$.$$(x + 2y)(3 + a)$$

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Livello Intermedio

Esercizio 3: Gestione del Segno Negativo

Domanda: Scomponi $x^2 – xy – 2x + 2y$.

Risposta Corretta: $(x – y)(x – 2)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Questo esercizio richiede attenzione ai segni.

1. Gruppi: $(x^2 – xy) + (-2x + 2y)$.
2. Raccoglimento 1 (Parziale):
   • Dal primo gruppo, raccogliamo $x$: $x(x – y)$
   • Dal secondo gruppo, per far emergere un $(x – y)$, dobbiamo raccogliere $-2$.
   • $-2(x – y)$ (Infatti: $-2 \cdot x = -2x$; e $-2 \cdot (-y) = +2y$).
3. Raccoglimento 2 (Finale): L’espressione è $x(x – y) – 2(x – y)$. Raccogliamo $(x – y)$.$$(x – y)(x – 2)$$

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Esercizio 4: Termini da Riorganizzare

Domanda: Scomponi $a^2 + 2b – 2a – ab$.

Risposta Corretta: $(a – 2)(a – b)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Se proviamo a raggruppare i primi due termini $(a^2 + 2b)$, non troviamo un fattore comune utile. Dobbiamo riorganizzare il polinomio.

1. Riorganizza: Spostiamo i termini con ‘a’ vicini: $(a^2 – 2a) + (-ab + 2b)$.
2. Raccoglimento 1 (Parziale):
   • Dal primo gruppo, raccogliamo $a$: $a(a – 2)$
   • Dal secondo gruppo, raccogliamo $-b$: $-b(a – 2)$
3. Raccoglimento 2 (Finale): $a(a – 2) – b(a – 2)$.$$(a – 2)(a – b)$$

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Livello Avanzato

Esercizio 5: Scomposizione a 6 Termini (Tre Gruppi)

Domanda: Scomponi $ax – ay + bx – by + cx – cy$.

Risposta Corretta: $(x – y)(a + b + c)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Possiamo raggruppare a coppie (3 gruppi).

1. Gruppi: $(ax – ay) + (bx – by) + (cx – cy)$.
2. Raccoglimento 1 (Parziale):
   • $a(x – y)$
   • $b(x – y)$
   • $c(x – y)$
3. Raccoglimento 2 (Finale): L’espressione è $a(x – y) + b(x – y) + c(x – y)$. Il fattore comune è $(x – y)$.$$(x – y)(a + b + c)$$

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Esercizio 6: Raccoglimento con Prodotto Notevole Nascosto

Domanda: Scomponi $x^2 – y^2 + ax + ay$.

Risposta Corretta: $(x + y)(x – y + a)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Questo è un raccoglimento parziale avanzato dove uno dei “gruppi” è un prodotto notevole.

1. Gruppi: Riconosciamo la differenza di quadrati nei primi due termini.$$(x^2 – y^2) + (ax + ay)$$
2. Raccoglimento 1 (Parziale / Scomposizione):
   • Scomponiamo il primo gruppo: $(x – y)(x + y)$
   • Raccogliamo ‘a’ dal secondo gruppo: $a(x + y)$
3. Raccoglimento 2 (Finale): L’espressione è $(x – y)(x + y) + a(x + y)$. Il fattore comune è $(x + y)$.$$(x + y)[(x – y) + a]$$
4. Risultato Finale: $(x + y)(x – y + a)$.

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