Esercizi Svolti sulle Disequazioni Fratte

Risolvere una disequazione fratta richiede uno Studio del Segno (come per le disequazioni fattorizzate).

NON SI PUÒ ELIMINARE IL DENOMINATORE. Non conoscendo il segno della $x$, moltiplicare per il denominatore potrebbe costringerci a invertire il verso della disequazione.

La strategia rigorosa è:

1. Portare tutto a Sinistra: Raggiungere la forma $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$ (o $<, \ge, \le 0$). Questo spesso richiede una somma algebrica (m.c.m.).
2. Scomposizione: Scomporre in fattori il Numeratore finale $N(x)$ e il Denominatore $D(x)$.
3. Studio dei Fattori: Studiare ogni singolo fattore (sia del N che del D) ponendolo SEMPRE > 0 (o $\ge 0$ per i fattori del Numeratore, se la traccia include l’uguale).
4. Schema dei Segni: Costruire una tabella (schema) dove si riportano le soluzioni di ogni fattore (linee continue per il +, tratteggiate per il -).
5. Prodotto/Quoziente dei Segni: Calcolare il segno della frazione riga per riga.
6. Confronto: Confrontare lo schema finale con la richiesta della traccia (es. “Dove la frazione è > 0?”).
7. Soluzione: Scrivere l’intervallo, ricordando che i valori che annullano il denominatore (C.E.) sono sempre esclusi (pallino vuoto).

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base (Già Scomposte) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni Fratte

Esercizio 1: Caso Base (Maggiore)

Domanda: Risolvi $\frac{x-1}{x+2} > 0$.

Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Studio Num (N>0): $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
2. Studio Den (D>0): $x + 2 > 0 \rightarrow x > -2$
3. Schema Segni:

	(-∞, -2)	(-2, 1)	(1, +∞)
N (x>1)	–	–	+
D (x>-2)	–	+	+
Totale (N/D)	+	–	+

4. Confronto: La traccia chiede $> 0$ (Positivo).
5. Soluzione: $x < -2 \lor x > 1$.

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Esercizio 2: Caso Base (Minore o Uguale)

Domanda: Risolvi $\frac{x-5}{x} \le 0$.

Risposta Corretta: $0 < x \le 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Studio Num (N$\ge$0): $x – 5 \ge 0 \rightarrow x \ge 5$. (Pallino pieno sul 5).
2. Studio Den (D>0): $x > 0$. (Pallino vuoto sullo 0, è un denominatore).
3. Schema Segni:

	(-∞, 0)	(0, 5]	[5, +∞)
N (x>=5)	–	–	+
D (x>0)	–	+	+
Totale (N/D)	+	–	+

4. Confronto: La traccia chiede $\le 0$ (Negativo o Zero).
5. Soluzione: $0 < x \le 5$.

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Livello Intermedio (Scomposizione Semplice)

Esercizio 3: Differenza di Quadrati

Domanda: Risolvi $\frac{x^2 – 9}{x-1} < 0$.

Risposta Corretta: $x < -3 \lor 1 < x < 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Scomposizione: $\frac{(x – 3)(x + 3)}{x-1} < 0$.
2. Studio Fattori (> 0):
   • F1 (N): $x – 3 > 0 \rightarrow x > 3$
   • F2 (N): $x + 3 > 0 \rightarrow x > -3$
   • F3 (D): $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
3. Schema Segni:

	(-∞, -3)	(-3, 1)	(1, 3)	(3, +∞)
F1 (x>3)	–	–	–	+
F2 (x>-3)	–	+	+	+
F3 (x>1)	–	–	+	+
Totale	–	+	–	+

4. Confronto: La traccia chiede $< 0$ (Negativo).
5. Soluzione: $x < -3 \lor 1 < x < 3$.

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Esercizio 4: Trinomio Speciale

Domanda: Risolvi $\frac{x^2 – 4x + 3}{x+2} \ge 0$.

Risposta Corretta: $-2 < x \le 1 \lor x \ge 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Scomposizione (Num): $(x – 1)(x – 3)$.
2. Studio Fattori ($\ge$ 0 / > 0):
   • F1 (N): $x – 1 \ge 0 \rightarrow x \ge 1$
   • F2 (N): $x – 3 \ge 0 \rightarrow x \ge 3$
   • F3 (D): $x + 2 > 0 \rightarrow x > -2$
3. Schema Segni:

	(-∞, -2)	(-2, 1]	[1, 3]	[3, +∞)
F1 (x>=1)	–	–	+	+
F2 (x>=3)	–	–	–	+
F3 (x>-2)	–	+	+	+
Totale	–	+	–	+

4. Confronto: La traccia chiede $\ge 0$ (Positivo o Zero).
5. Soluzione: $-2 < x \le 1 \lor x \ge 3$. (Pallino vuoto su -2 perché è il denominatore).

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Esercizio 5: Raccoglimento Parziale

Domanda: Risolvi $\frac{x^3 + x^2 – 4x – 4}{x-1} < 0$.

Risposta Corretta: $-2 < x < -1 \lor 1 < x < 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Scomposizione (Num): $x^2(x+1) – 4(x+1) \rightarrow (x+1)(x^2-4) \rightarrow (x+1)(x-2)(x+2)$.
2. Riscrivi: $\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{x-1} < 0$.
3. Studio Fattori (> 0):
   • F1 (N): $x+1 > 0 \rightarrow x > -1$
   • F2 (N): $x-2 > 0 \rightarrow x > 2$
   • F3 (N): $x+2 > 0 \rightarrow x > -2$
   • F4 (D): $x-1 > 0 \rightarrow x > 1$
4. Schema Segni:

	(-∞, -2)	(-2, -1)	(-1, 1)	(1, 2)	(2, +∞)
F1 (x>-1)	–	–	+	+	+
F2 (x>2)	–	–	–	–	+
F3 (x>-2)	–	+	+	+	+
F4 (x>1)	–	–	–	+	+
Totale	+	–	+	–	+

5. Confronto: La traccia chiede $< 0$ (Negativo).
6. Soluzione: $-2 < x < -1 \lor 1 < x < 2$.

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Livello Avanzato (Portare a Frazione Unica) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni Fratte

Esercizio 6: Spostamento (Falso Positivo)

Domanda: Risolvi $\frac{6}{x-1} > 0$.

Risposta Corretta: $x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Studio Fattori (> 0):
   • N: $6 > 0$. (Sempre Positivo).
   • D: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$.
2. Schema Segni:

	(-∞, 1)	(1, +∞)
N (Sempre +)	+	+
D (x>1)	–	+
Totale	–	+

3. Confronto: La traccia chiede $> 0$ (Positivo).
4. Soluzione: $x > 1$.

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Esercizio 7: m.c.m. Semplice (Ricalcolato)

Domanda: Risolvi $\frac{2}{x-1} \le \frac{1}{x+2}$.

Risposta Corretta: $x \le -5 \lor -2 < x < 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Porta a Sinistra: $\frac{2}{x-1} – \frac{1}{x+2} \le 0$.
2. m.c.m. e Calcolo: $\frac{2(x+2) – 1(x-1)}{(x-1)(x+2)} \le 0$.
3. Riduci Num: $\frac{2x+4 – x+1}{(x-1)(x+2)} \le 0 \rightarrow \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} \le 0$.
4. Studio Fattori ($\ge$ 0 / > 0):
   • N: $x + 5 \ge 0 \rightarrow x \ge -5$
   • D1: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
   • D2: $x + 2 > 0 \rightarrow x > -2$
5. Schema Segni:

	(-∞, -5]	[-5, -2)	(-2, 1)	(1, +∞)
N (x>=-5)	–	+	+	+
D1 (x>1)	–	–	–	+
D2 (x>-2)	–	–	+	+
Totale	–	+	–	+

6. Confronto: La traccia chiede $\le 0$ (Negativo o Zero).
7. Soluzione: $x \le -5 \lor -2 < x < 1$.

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Livello Molto Avanzato (Scomposizione del Numeratore Finale) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni Fratte

Esercizio 8: Semplificazione Finale (Valori Esterni)

Domanda: Risolvi $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} \ge 2$.

Risposta Corretta: $x < -1 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Porta a Sinistra: $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} – 2 \ge 0$.
2. m.c.m.: $(x+1)(x-1) = x^2-1$.
3. Calcolo: $\frac{x(x-1) + x(x+1) – 2(x^2-1)}{x^2-1} \ge 0$.
4. Riduci Num: $\frac{x^2-x + x^2+x – 2x^2+2}{x^2-1} \ge 0 \rightarrow \frac{2}{x^2-1} \ge 0$.
5. Scomposizione: $\frac{2}{(x-1)(x+1)} \ge 0$.
6. Studio Fattori (> 0):
   • N: $2 > 0$ (Sempre Positivo).
   • D1: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$.
   • D2: $x + 1 > 0 \rightarrow x > -1$.
7. Schema Segni:

	(-∞, -1)	(-1, 1)	(1, +∞)
N (Sempre +)	+	+	+
D1 (x>1)	–	–	+
D2 (x>-1)	–	+	+
Totale	+	–	+

8. Confronto: La traccia chiede $\ge 0$ (Positivo).
9. Soluzione: $x < -1 \lor x > 1$.

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Esercizio 9: Scomposizione Finale (Trinomio)

Domanda: Risolvi $\frac{x^2-x-2}{x^3-1} \ge 0$.

Risposta Corretta: $-1 \le x < 1 \lor x \ge 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Scomposizione Num: Trinomio (S=-1, P=-2 $\rightarrow$ +1, -2) $\rightarrow (x+1)(x-2)$.
2. Scomposizione Den: Diff. Cubi $\rightarrow (x-1)(x^2+x+1)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x^2+x+1)} \ge 0$.
4. Studio Fattori ($\ge$ 0 / > 0):
   • N1: $x+1 \ge 0 \rightarrow x \ge -1$
   • N2: $x-2 \ge 0 \rightarrow x \ge 2$
   • D1: $x-1 > 0 \rightarrow x > 1$
   • D2: $x^2+x+1 > 0$ (Falso quadrato, Sempre Positivo).
5. Schema Segni:

	(-∞, -1]	[-1, 1)	(1, 2]	[2, +∞)
N1 (x>=-1)	–	+	+	+
N2 (x>=2)	–	–	–	+
D1 (x>1)	–	–	+	+
D2 (Sempre +)	+	+	+	+
Totale	–	+	–	+

6. Confronto: La traccia chiede $\ge 0$ (Positivo o Zero).
7. Soluzione: $-1 \le x < 1 \lor x \ge 2$.

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Esercizio 10: Ruffini e Semplificazione con C.E.

Domanda: Risolvi $\frac{x^2-1}{x^3-7x+6} \le 0$.

Risposta Corretta: $x < -3 \lor -1 \le x < 1 \lor 1 < x < 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Scomposizione Num: $(x-1)(x+1)$.
2. Scomposizione Den (Ruffini P(1)): $P(1)=1-7+6=0 \rightarrow (x-1)$.
   • Quoziente $x^2+x-6 \rightarrow (x+3)(x-2)$.
   • Denominatore: $(x-1)(x+3)(x-2)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)(x-2)} \le 0$.
4. Semplifica (e C.E.): Semplifichiamo $(x-1)$ ma ricordiamo che $x \neq 1$.
   • $\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} \le 0$.
5. Studio Fattori ($\ge$ 0 / > 0):
   • N: $x+1 \ge 0 \rightarrow x \ge -1$
   • D1: $x+3 > 0 \rightarrow x > -3$
   • D2: $x-2 > 0 \rightarrow x > 2$
6. Schema Segni:

	(-∞, -3)	(-3, -1]	[-1, 2)	(2, +∞)
N (x>=-1)	–	–	+	+
D1 (x>-3)	–	+	+	+
D2 (x>2)	–	–	–	+
Totale	–	+	–	+

7. Confronto: La traccia chiede $\le 0$ (Negativo o Zero).
8. Soluzione Parziale: $x < -3 \lor -1 \le x < 2$.
9. Confronto con C.E.: Dobbiamo escludere $x=1$ dalla soluzione.
10. Soluzione Finale: $x < -3 \lor -1 \le x < 1 \lor 1 < x < 2$.

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