In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Disequazioni Esponenziali del tipo $a^{f(x)} \lessgtr k$, dove $k$ è un numero positivo qualsiasi (non necessariamente una potenza perfetta di $a$).
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.
INDICE
- 1 Ripasso: Il Metodo Logaritmico e il “Cambio Verso”
- 2 Esercizi Svolti (Vario Tipo)
- 3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche
Ripasso: Il Metodo Logaritmico e il “Cambio Verso”
Per risolvere $a^{f(x)} \lessgtr k$, applichiamo il logaritmo in base $a$ a entrambi i membri per “far scendere” l’esponente.
$$a^{f(x)} \lessgtr k \implies \log_a(a^{f(x)}) \dots \log_a(k)$$
Il passaggio cruciale riguarda il verso della disuguaglianza ($\dots$), che dipende dalla base $a$:
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- Base $a > 1$ (Es. 2, 3, $e$): La funzione è crescente.
- Manteniamo il verso: $f(x) \lessgtr \log_a k$.
- Base $0 < a < 1$ (Es. 1/2, 0.5): La funzione è decrescente.
- Invertiamo il verso: $f(x) \gtrless \log_a k$.
Nota sui casi limite:
- Se $k \le 0$ e cerchiamo $a^{f(x)} > k$: La disequazione è Sempre Vera (nel dominio di $f(x)$).
- Se $k \le 0$ e cerchiamo $a^{f(x)} < k$: La disequazione è Impossibile.
Esercizi Svolti (Vario Tipo)
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.
Livello Semplice (Base $a > 1$)
Esercizio 1: Base 2 Maggiore
Domanda: Risolvi $2^x > 5$.
Risposta Corretta: $x > \log_2 5$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Analisi: Base $2 > 1$. Manteniamo il verso.
- Passaggio ai Logaritmi: $\log_2(2^x) > \log_2 5$.
- Soluzione: $x > \log_2 5$.
Esercizio 2: Base 3 Minore
Domanda: Risolvi $3^{x-1} \le 4$.
Risposta Corretta: $x \le 1 + \log_3 4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Analisi: Base $3 > 1$. Manteniamo il verso.
- Passaggio ai Logaritmi: $x – 1 \le \log_3 4$.
- Isolamento: $x \le 1 + \log_3 4$.(Nota: $1 + \log_3 4 = \log_3 3 + \log_3 4 = \log_3 12$, entrambe le forme sono corrette).
Livello Intermedio (Base $0 < a < 1$ e Base $e$)
Esercizio 3: Base Frazionaria (Cambio Verso)
Domanda: Risolvi $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 3$.
Risposta Corretta: $x < \log_{1/2} 3$ (oppure $x < -\log_2 3$)
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Analisi: Base $1/2 < 1$. Invertiamo il verso ($> \to <$).
- Passaggio ai Logaritmi: $x < \log_{1/2} 3$.
- Conversione Base 2 (Opzionale): $\log_{2^{-1}} 3 = -\log_2 3$. Quindi $x < -\log_2 3$.
Esercizio 4: Base $e$ (Nepero)
Domanda: Risolvi $e^{2x} \ge 7$.
Risposta Corretta: $x \ge \frac{\ln 7}{2}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Analisi: Base $e \approx 2.71 > 1$. Manteniamo il verso.
- Passaggio al Logaritmo Naturale ($\ln$): $2x \ge \ln 7$.
- Isolamento: $x \ge \frac{\ln 7}{2}$ (o $x \ge \ln \sqrt{7}$).
Livello Avanzato (Esponenti Quadratici e Fratti)
Esercizio 5: Esponente Quadratico Semplice
Domanda: Risolvi $2^{x^2} < 3$.
Risposta Corretta: $-\sqrt{\log_2 3} < x < \sqrt{\log_2 3}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Analisi: Base $2 > 1$. Verso mantenuto.
- Disequazione: $x^2 < \log_2 3$.
- Nota: $\log_2 3$ è un numero positivo ($>1$).
- Risoluzione Quadratica: Valori interni alle radici.
- Soluzione: $-\sqrt{\log_2 3} < x < \sqrt{\log_2 3}$.
Esercizio 6: Base Frazionaria e Quadrato
Domanda: Risolvi $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 – 1} \ge 2$.
Risposta Corretta: $-\sqrt{1 – \log_3 2} \le x \le \sqrt{1 – \log_3 2}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Analisi: Base $1/3 < 1$. Invertiamo il verso ($\ge \to \le$).
- Disequazione: $x^2 – 1 \le \log_{1/3} 2$.
- Conversione: $\log_{1/3} 2 = -\log_3 2$.
- Calcolo: $x^2 \le 1 – \log_3 2$.
- Nota: $1 – \log_3 2 = \log_3 3 – \log_3 2 = \log_3(1.5) > 0$. Il termine a destra è positivo.
- Soluzione: Valori interni. $-\sqrt{1 – \log_3 2} \le x \le \sqrt{1 – \log_3 2}$.
Livello Molto Avanzato (Fratte con Incognita al Denominatore)
Esercizio 7: Esponente Fratto
Domanda: Risolvi $5^{\frac{1}{x}} \le 2$.
Risposta Corretta: $x < 0 \lor x \ge \log_2 5$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Analisi: Base $5 > 1$. Manteniamo il verso.
- Disequazione: $\frac{1}{x} \le \log_5 2$.
- Posto $K = \log_5 2$ (che è un numero positivo), abbiamo $\frac{1}{x} – K \le 0 \rightarrow \frac{1 – Kx}{x} \le 0$.
- Studio del Segno:
- Num: $1 – Kx \ge 0 \rightarrow -Kx \ge -1 \rightarrow x \le \frac{1}{K}$.
- Den: $x > 0$.
- Nota: $\frac{1}{K} = \frac{1}{\log_5 2} = \log_2 5$.
- Grafico Segni: La frazione è $\le 0$ per $x < 0 \lor x \ge \frac{1}{K}$.
- Soluzione: $x < 0 \lor x \ge \log_2 5$.
Esercizio 8: Esponente Radice e Base $< 1$
Domanda: Risolvi $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{x}} > \frac{1}{5}$.
Risposta Corretta: $0 \le x < (\log_2 5)^2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Analisi: Base $1/2 < 1$. Invertiamo il verso ($> \to <$).
- Disequazione: $\sqrt{x} < \log_{1/2} (1/5)$.
- Conversione: $\log_{1/2} (1/5) = \frac{\ln(1/5)}{\ln(1/2)} = \frac{-\ln 5}{-\ln 2} = \frac{\ln 5}{\ln 2} = \log_2 5$.
- Nuova Disequazione: $\sqrt{x} < \log_2 5$.
- Sistema Irrazionale (Minore):$\begin{cases} x \ge 0 \quad (\text{C.E.}) \\ \log_2 5 > 0 \quad (\text{Vero}) \\ x < (\log_2 5)^2 \end{cases}$
- Soluzione: $0 \le x < (\log_2 5)^2$.
Livello Molto Molto Avanzato (Casi “Trick” e Valore Assoluto)
Esercizio 9: Termine Noto Negativo (Caso Facile)
Domanda: Risolvi $3^{|x^2 – 4|} > -5$.
Risposta Corretta: Sempre Vera ($\forall x \in \mathbb{R}$)
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Analisi: Un esponenziale è sempre strettamente positivo ($> 0$).
- Confronto: Ci chiediamo quando un numero positivo è maggiore di un numero negativo ($-5$).
- Risposta: Sempre. Non servono logaritmi.
- Soluzione: $\forall x \in \mathbb{R}$.
Esercizio 10: Valore Assoluto all’Esponente
Domanda: Risolvi $2^{|x-1|} < 5$.
Risposta Corretta: $1 – \log_2 5 < x < 1 + \log_2 5$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Analisi: Base $2 > 1$. Manteniamo il verso.
- Passaggio: $|x – 1| < \log_2 5$.
- Disequazione con Modulo: Una disuguaglianza del tipo $|A| < k$ (con $k>0$) si risolve come $-k < A < k$.
- Calcolo: $-\log_2 5 < x – 1 < \log_2 5$.
- Isolamento $x$: Aggiungiamo 1 a tutti i membri.$1 – \log_2 5 < x < 1 + \log_2 5$.
💡 Approfondisci le Basi Matematiche
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