In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Disequazioni Esponenziali di Grado 2, che si risolvono riconducendo l’espressione a una disequazione quadratica in una variabile ausiliaria $y$. Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.
INDICE
- 1 Ripasso: Il Metodo Ibrido (Sostituzione + Disequazione)
- 2 Esercizi Svolti (Disequazioni di Grado 2)
- 3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche
Ripasso: Il Metodo Ibrido (Sostituzione + Disequazione)
La risoluzione di $A a^{2f(x)} + B a^{f(x)} + C \lessgtr 0$ avviene in tre fasi:
1. Sostituzione e Condizione:
- Si pone $y = a^{f(x)}$.
- Si impone la Condizione Cruciale: $y > 0$.
- Si risolve la disequazione quadratica in $y$: $A y^2 + B y + C \lessgtr 0$.
2. Intersezione:
- Si interseca l’intervallo soluzione trovato per $y$ con la condizione $y > 0$. Ad esempio, se la soluzione è $y_1 < y < y_2$, l’intersezione diventa $0 < y < y_2$ (se $y_1 \le 0$).
3. Contro-Sostituzione e Verso:
- Si torna alla $x$ ponendo $a^{f(x)} \lessgtr y_{\text{finale}}$.
- Si applica la Regola del Cambio Verso:
- Se base $a > 1$: si mantiene il verso della disuguaglianza.
- Se base $0 < a < 1$: si inverte il verso della disuguaglianza.
Esercizi Svolti (Disequazioni di Grado 2)
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.
Livello Semplice (Base $a>1$)
Esercizio 1: Soluzione Interna
Domanda: Risolvi $9^x – 4 \cdot 3^x + 3 < 0$.
Risposta Corretta: $0 < x < 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Sostituzione: $y = 3^x$. Disequazione in $y$: $y^2 – 4y + 3 < 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_1=1, y_2=3$. Parabola con concavità verso l’alto, quindi $< 0$ per valori interni: $1 < y < 3$.
- Intersezione ($y>0$): Poiché $1 > 0$, l’intervallo rimane $1 < y < 3$.
- Contro-Sostituzione (Base $3>1$, verso mantenuto):
- $3^x > 1 \rightarrow 3^x > 3^0 \rightarrow x > 0$.
- $3^x < 3 \rightarrow 3^x < 3^1 \rightarrow x < 1$.
- Soluzione: $0 < x < 1$.
Esercizio 2: Soluzione Esterna
Domanda: Risolvi $4^x – 2^x – 20 > 0$.
Risposta Corretta: $x > \log_2(5)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Sostituzione: $y = 2^x$. Disequazione in $y$: $y^2 – y – 20 > 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_1=-4, y_2=5$. Parabola concava verso l’alto, quindi $> 0$ per valori esterni: $y < -4 \lor y > 5$.
- Intersezione ($y>0$): Scartiamo $y < -4$. Resta $y > 5$.
- Contro-Sostituzione (Base $2>1$, verso mantenuto): $2^x > 5$.
- Soluzione: $x > \log_2(5)$.
Livello Intermedio (Base $a<1$)
Esercizio 3: Base $a < 1$ (Cambio Verso finale)
Domanda: Risolvi $\left(\frac{1}{4}\right)^x – 5\left(\frac{1}{2}\right)^x + 4 < 0$.
Risposta Corretta: $0 < x < 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Riconoscimento: $(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^x)^2$.
- Sostituzione: $y = (\frac{1}{2})^x$. Disequazione: $y^2 – 5y + 4 < 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_1=1, y_2=4$. Soluzione $1 < y < 4$.
- Intersezione ($y>0$): $1 < y < 4$ è tutto nell’intervallo $y>0$.
- Contro-Sostituzione (Base $1/2 < 1$, verso invertito!):
- 1) $(\frac{1}{2})^x > 1 \rightarrow (\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^0 \rightarrow x < 0$.
- 2) $(\frac{1}{2})^x < 4 \rightarrow (\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{2})^{-2} \rightarrow x > -2$.
- Soluzione: $-2 < x < 0$.
Esercizio 4: Separazione Esplicita e Soluzione singola
Domanda: Risolvi $3 \cdot e^{2x} – 4e^x + 1 \le 0$.
Risposta Corretta: $x \le \ln(1/3) \lor 0 \le x \le \ln(1)$ -> $x \le -\ln(3) \lor x \le 0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Sostituzione: $y = e^x$. Disequazione: $3y^2 – 4y + 1 \le 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
- $y_1 = 1/3, y_2 = 1$.
- Soluzione $1/3 \le y \le 1$.
- Intersezione ($y>0$): L’intervallo è valido.
- Contro-Sostituzione (Base $e>1$):
- $e^x \ge 1/3 \rightarrow x \ge \ln(1/3)$ (o $x \ge -\ln(3)$).
- $e^x \le 1 \rightarrow e^x \le e^0 \rightarrow x \le 0$.
- Soluzione: $-\ln(3) \le x \le 0$.
Livello Avanzato (Fattorizzazione / Zero / Impossibile)
Esercizio 5: Fattorizzazione (Semplice)
Domanda: Risolvi $2^{x+2} – 4^x > 0$.
Risposta Corretta: $x < 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Separazione: $4 \cdot 2^x – (2^x)^2 > 0$.
- Sostituzione: $y = 2^x$. Disequazione: $4y – y^2 > 0 \rightarrow y^2 – 4y < 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y(y-4)=0 \rightarrow y_1=0, y_2=4$. Parabola verso l’alto, $< 0$ per valori interni: $0 < y < 4$.
- Intersezione ($y>0$): $0 < y < 4$. (La condizione $y>0$ è già soddisfatta).
- Contro-Sostituzione: $2^x < 4 \rightarrow 2^x < 2^2$.
- Soluzione: $x < 2$.
Esercizio 6: Soluzione Impossibile o Puntuale
Domanda: Risolvi $5^{2x} + 2 \cdot 5^x + 1 \le 0$.
Risposta Corretta: Impossibile
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Riconoscimento: L’espressione è un quadrato perfetto: $(5^x + 1)^2 \le 0$.
- Sostituzione: $y = 5^x$. Disequazione: $(y+1)^2 \le 0$.
- Analisi: Un quadrato è sempre $\ge 0$. L’unica possibilità è che sia $0$. $(y+1)^2 = 0 \rightarrow y = -1$.
- Condizione ($y>0$): $y=-1$ deve essere scartata.
- Soluzione: Impossibile.
Livello Molto Avanzato (Esponenti Complessi e Frazionaria in $y$)
Esercizio 7: Esponente Complesso
Domanda: Risolvi $9^x – 3^{x+1} – 10 \le 0$.
Risposta Corretta: $x \le \log_3(5)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Separazione: $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$.
- Sostituzione: $y = 3^x$. Disequazione: $y^2 – 3y – 10 \le 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_1=-2, y_2=5$. Soluzione $-2 \le y \le 5$.
- Intersezione ($y>0$): $0 < y \le 5$.
- Contro-Sostituzione (Base $3>1$): $3^x \le 5$.
- Soluzione: $x \le \log_3(5)$.
Esercizio 8: Potenze Negative (Fratte)
Domanda: Risolvi $\frac{1}{e^{2x}} – \frac{6}{e^x} + 8 > 0$.
Risposta Corretta: $x < \ln(1/4) \lor x > \ln(1/2)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Riconoscimento: Riscriviamo con esponenti negativi. $(e^{-x})^2 – 6e^{-x} + 8 > 0$.
- Sostituzione: $y = e^{-x}$. Disequazione: $y^2 – 6y + 8 > 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_1=2, y_2=4$. Soluzione $y < 2 \lor y > 4$.
- Intersezione ($y>0$): Poiché $y$ (cioè $e^{-x}$) è sempre positivo, l’intervallo è $0 < y < 2 \lor y > 4$.
- Contro-Sostituzione (Base $e>1$):
- 1) $e^{-x} < 2 \rightarrow -x < \ln(2) \rightarrow x > -\ln(2)$ (o $x > \ln(1/2)$).
- 2) $e^{-x} > 4 \rightarrow -x > \ln(4) \rightarrow x < -\ln(4)$ (o $x < \ln(1/4)$).
- Soluzione: $x < \ln(1/4) \lor x > \ln(1/2)$.
Livello Molto Molto Avanzato (Frazionarie e Delta Negativo)
Esercizio 9: Disequazione Fratta con Sostituzione
Domanda: Risolvi $4^x + \frac{1}{4^x} \le \frac{10}{3}$.
Risposta Corretta: $-1 \le x \le 1/2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Sostituzione: $y = 4^x$. Disequazione fratta: $y + \frac{1}{y} \le \frac{10}{3}$.
- Risoluzione Fratta: M.C.M. ($3y$): $3y^2 + 3 \le 10y \rightarrow 3y^2 – 10y + 3 \le 0$.
- Soluzione $y$: Radici $y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$.
- $y_1 = 2/6 = 1/3, y_2 = 18/6 = 3$.
- Soluzione $1/3 \le y \le 3$.
- Intersezione ($y>0$): L’intervallo è valido.
- Contro-Sostituzione (Base $4>1$):
- 1) $4^x \ge 1/3 \rightarrow x \ge \log_4(1/3)$ (o $x \ge -\log_4(3)$).
- 2) $4^x \le 3 \rightarrow x \le \log_4(3)$.
- Soluzione: $-\log_4(3) \le x \le \log_4(3)$.
Esercizio 10: Delta Negativo / Impossibile
Domanda: Risolvi $3^{2x} – 5 \cdot 3^x + 7 < 0$.
Risposta Corretta: Impossibile
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Sostituzione: $y = 3^x$. Disequazione: $y^2 – 5y + 7 < 0$.
- Risoluzione: $\Delta = (-5)^2 – 4(1)(7) = 25 – 28 = -3$.
- Conclusione: Poiché $\Delta < 0$ e la parabola ($a=1$) è rivolta verso l’alto, l’espressione $y^2 – 5y + 7$ è sempre positiva.
- Soluzione: Mai $< 0$. Impossibile.
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