Esercizi Svolti sulle Equazioni Esponenziali di Grado 2 (con Sostituzione)

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Esponenziali di Grado 2, ovvero quelle equazioni che, pur non essendo immediatamente risolvibili con l’uguaglianza delle basi, possono essere ricondotte a una classica equazione quadratica tramite la sostituzione di variabile.

Questi esercizi ti prepareranno per il quiz correlato

Ripasso: Il Metodo della Sostituzione

Riconosciamo la forma quadratica quando l’equazione è del tipo:

$$A a^{2f(x)} + B a^{f(x)} + C = 0$$

Fasi di Risoluzione:

1. Algebra (Separazione): Usare le proprietà delle potenze per separare tutti i termini in modo che contengano solo $a^{f(x)}$. Ad esempio, $a^{x+k} = a^k \cdot a^x$.
2. Sostituzione: Porre una variabile ausiliaria $y$ uguale al termine esponenziale:$$y = a^{f(x)}$$Di conseguenza, l’equazione diventa una normale quadratica in $y$:$$A y^2 + B y + C = 0$$
3. Condizione Cruciale: Poiché la funzione esponenziale è sempre positiva, è necessario che $y$ sia strettamente maggiore di zero ($y > 0$). Qualsiasi soluzione $y \le 0$ va scartata.
4. Contro-Sostituzione: Per ogni soluzione $y_{\text{accettabile}}$, si risolve l’equazione esponenziale elementare: $a^{f(x)} = y_{\text{accettabile}}$.

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Esercizi Svolti (Equazioni di Grado 2)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Sostituzione Diretta)

Esercizio 1: Sostituzione Base 3

Domanda: Risolvi $9^x – 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Riconoscimento: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
• Sostituzione: Poniamo $y = 3^x$ ($y > 0$).
• Equazione in $y$: $y^2 – 4y + 3 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-3)(y-1) = 0 \rightarrow y_1 = 3, y_2 = 1$. (Entrambe $> 0$).
• Contro-Sostituzione:
  • 1) $3^x = 3 \rightarrow x = 1$.
  • 2) $3^x = 1 \rightarrow x = 0$.
• Soluzione: $S = \{0, 1\}$.

Esercizio 2: Sostituzione Base $e$

Domanda: Risolvi $e^{2x} – 2e^x – 8 = 0$.

Risposta Corretta: $x = \ln(4)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Sostituzione: Poniamo $y = e^x$ ($y > 0$).
• Equazione in $y$: $y^2 – 2y – 8 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-4)(y+2) = 0 \rightarrow y_1 = 4, y_2 = -2$.
• Scarto: Scartiamo $y_2 = -2$ perché $y > 0$.
• Contro-Sostituzione: $e^x = 4$.
• Soluzione: $x = \ln(4)$ (o $x = 2 \ln(2)$).

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Livello Intermedio (Separazione Algebrica e Soluzioni Negative)

Esercizio 3: Separazione Algebrica

Domanda: Risolvi $4^x + 2^{x+2} – 32 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Separazione: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.
• Riconoscimento: $4^x = (2^x)^2$.
• Sostituzione: $y = 2^x$.
• Equazione in $y$: $y^2 + 4y – 32 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y+8)(y-4) = 0 \rightarrow y_1 = -8, y_2 = 4$.
• Scarto: Scartiamo $y_1 = -8$.
• Contro-Sostituzione: $2^x = 4 \rightarrow 2^x = 2^2$.
• Soluzione: $x = 2$.

Esercizio 4: Due Soluzioni Finali

Domanda: Risolvi $2^{2x} – 10 \cdot 2^x + 16 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Sostituzione: $y = 2^x$.
• Equazione in $y$: $y^2 – 10y + 16 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-8)(y-2) = 0 \rightarrow y_1 = 8, y_2 = 2$. (Entrambe $> 0$).
• Contro-Sostituzione:
  • 1) $2^x = 8 \rightarrow x = 3$.
  • 2) $2^x = 2 \rightarrow x = 1$.
• Soluzione: $S = \{1, 3\}$.

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Livello Avanzato (Sostituzioni Mascherate e Impossibili)

Esercizio 5: Scarto della Radice Negativa

Domanda: Risolvi $4^x – 2^x = 2$.

Risposta Corretta: $x = 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Equazione: $4^x – 2^x – 2 = 0$.
• Sostituzione: $y = 2^x$.
• Equazione in $y$: $y^2 – y – 2 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-2)(y+1) = 0 \rightarrow y_1 = 2, y_2 = -1$.
• Scarto: Scartiamo $y_2 = -1$.
• Contro-Sostituzione: $2^x = 2 \rightarrow x = 1$.
• Soluzione: $x = 1$.

Esercizio 6: Impossibile (Delta $y < 0$)

Domanda: Risolvi $3^{2x} + 2 \cdot 3^x + 5 = 0$.

Risposta Corretta: Impossibile

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Sostituzione: $y = 3^x$.
• Equazione in $y$: $y^2 + 2y + 5 = 0$.
• Risoluzione: Calcoliamo il Discriminante $\Delta = 2^2 – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16$.
• Conclusione: Poiché $\Delta < 0$, non esistono soluzioni reali per $y$. Non esistono soluzioni neanche per $x$.
• Soluzione: Impossibile.

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Livello Molto Avanzato (Esponenti Complessi e Funzioni Fratte)

Esercizio 7: Esponente Funzione

Domanda: Risolvi $e^{2x^2} – e^{x^2} – 6 = 0$.

Risposta Corretta: $x = \pm \sqrt{\ln(3)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Sostituzione: Poniamo $y = e^{x^2}$ ($y > 0$).
• Equazione in $y$: $y^2 – y – 6 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-3)(y+2) = 0 \rightarrow y_1 = 3, y_2 = -2$.
• Scarto: Scartiamo $y_2 = -2$.
• Contro-Sostituzione: $e^{x^2} = 3$.
• Risoluzione: $x^2 = \ln(3)$. Poiché $\ln(3)$ è positivo, l’equazione $x^2 = \text{costante}$ ha due soluzioni opposte.
• Soluzione: $x = \pm \sqrt{\ln(3)}$.

Esercizio 8: Denominatore (Potenza Negativa)

Domanda: Risolvi $9^{-x} – 8 \cdot 3^{-x} – 9 = 0$.

Risposta Corretta: $x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Riconoscimento: $9^{-x} = (3^2)^{-x} = (3^{-x})^2$.
• Sostituzione: Poniamo $y = 3^{-x}$ ($y > 0$).
• Equazione in $y$: $y^2 – 8y – 9 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-9)(y+1) = 0 \rightarrow y_1 = 9, y_2 = -1$.
• Scarto: Scartiamo $y_2 = -1$.
• Contro-Sostituzione: $3^{-x} = 9 \rightarrow 3^{-x} = 3^2$.
• Soluzione: $-x = 2 \rightarrow x = -2$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Manipolazione Complessa e Fratte)

Esercizio 9: Manipolazione con Prodotto

Domanda: Risolvi $2^{2x} – 5 \cdot 2^{x+1} + 16 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Separazione: $5 \cdot 2^{x+1} = 5 \cdot 2^x \cdot 2^1 = 10 \cdot 2^x$.
• Sostituzione: $y = 2^x$.
• Equazione in $y$: $y^2 – 10y + 16 = 0$.
• Soluzioni $y$: $(y-8)(y-2) = 0 \rightarrow y_1 = 8, y_2 = 2$.
• Contro-Sostituzione:
  • 1) $2^x = 8 \rightarrow x = 3$.
  • 2) $2^x = 2 \rightarrow x = 1$.
• Soluzione: $S = \{1, 3\}$.

Esercizio 10: Equazione Fratta con Sostituzione

Domanda: Risolvi $4^x + \frac{1}{4^x} = \frac{17}{4}$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Sostituzione: $y = 4^x$.
• Equazione in $y$ (Fratta): $y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4}$.
• Moltiplica per $4y$ (m.c.m.): $4y^2 + 4 = 17y$.
• Forma Standard: $4y^2 – 17y + 4 = 0$.
• Risoluzione $y$: $\Delta = (-17)^2 – 4(4)(4) = 289 – 64 = 225$.$y_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8}$.
  • $y_1 = 32/8 = 4$.
  • $y_2 = 2/8 = 1/4$.
• Contro-Sostituzione:
  • 1) $4^x = 4 \rightarrow x = 1$.
  • 2) $4^x = 1/4 \rightarrow 4^x = 4^{-1} \rightarrow x = -1$.
• Soluzione: $S = \{1, -1\}$.

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