Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali (Caso $\sqrt[n]{x} = k$)

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali per il caso elementare $\sqrt[n]{x} = k$, che ti permetteranno di prepararti al quiz dedicato [(Nota per te: qui puoi inserire il link al quiz se l’articolo è visto prima, o semplicemente “presenti nel quiz correlato”)].

Ripasso: Come Risolvere l’Equazione $\sqrt[n]{x} = k$

Un’equazione irrazionale è un’equazione in cui l’incognita $x$ compare sotto il segno di radice. Il caso fondamentale è $\sqrt[n]{x} = k$, dove $k$ è un numero (un termine noto).

La strategia di risoluzione dipende in modo cruciale dall’indice della radice ($n$): dobbiamo distinguere se $n$ è pari o dispari.

1. Caso Indice $n$ DISPARI (es. $\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[5]{x}$, …)

Questo è il caso più semplice.

• Una radice con indice dispari esiste sempre, sia per numeri positivi che negativi (es. $\sqrt[3]{8} = 2$ e $\sqrt[3]{-8} = -2$).
• Il termine $k$ può essere positivo, negativo o nullo.
• Metodo: Si eleva semplicemente a potenza $n$ entrambi i membri.
• $\sqrt[n]{x} = k \rightarrow x = k^n$ (Soluzione sempre accettabile).

Esempio A (Dispari): $\sqrt[3]{x} = 2 \rightarrow x = 2^3 \rightarrow x = 8$.

Esempio B (Dispari): $\sqrt[3]{x} = -2 \rightarrow x = (-2)^3 \rightarrow x = -8$.

2. Caso Indice $n$ PARI (es. $\sqrt{x}$, $\sqrt[4]{x}$, …)

Questo caso richiede attenzione.

• La Condizione di Esistenza (C.E.) della radice impone che il radicando non sia negativo: $x \ge 0$.
• Per definizione, una radice con indice pari (es. $\sqrt{x}$) produce sempre un risultato non-negativo (positivo o nullo).
• Di conseguenza, l’equazione può avere senso solo se $k \ge 0$.
• Metodo (Concordanza Segno):
  1. Si controlla $k$.
  2. Se $k < 0$ (es. $\sqrt{x} = -5$): L’equazione è IMPOSSIBILE. Una radice quadrata non può dare un risultato negativo.
  3. Se $k \ge 0$ (es. $\sqrt{x} = 5$): L’equazione è valida. Si può elevare a potenza $n$ entrambi i membri per trovare la soluzione.
  4. $\sqrt[n]{x} = k \rightarrow x = k^n$. (La C.E. $x \ge 0$ sarà automaticamente verificata, dato che $k^n$ con $n$ pari è sempre $\ge 0$).

Esempio C (Pari): $\sqrt{x} = 3 \rightarrow (k=3 \ge 0$, OK) $\rightarrow x = 3^2 \rightarrow x = 9$.

Esempio D (Pari): $\sqrt{x} = -3 \rightarrow (k=-3 < 0$) $\rightarrow$ Impossibile.

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Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali (Caso $\sqrt[n]{x} = k$)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Casi Base) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali

Esercizio 1: Indice Pari, $k > 0$

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} = 7$.

Risposta Corretta: $x = 49$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Equazione con indice $n=2$ (pari).
• Controllo $k$: Il termine noto è $k = 7$. Poiché $k \ge 0$, l’equazione è possibile.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri al quadrato.
• $(\sqrt{x})^2 = 7^2$
• $x = 49$.

Esercizio 2: Indice Dispari, $k > 0$

Domanda: Risolvi $\sqrt[3]{x} = 2$.

Risposta Corretta: $x = 8$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Analisi: Equazione con indice $n=3$ (dispari).
• Controllo $k$: Non è necessario controllare $k$. Si eleva direttamente.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri al cubo.
• $(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$
• $x = 8$.

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Livello Intermedio (Casi Negativi) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali

Esercizio 3: Indice Pari, $k < 0$

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} = -9$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Analisi: Equazione con indice $n=2$ (pari).
• Controllo $k$: Il termine noto è $k = -9$.
• Risoluzione: Poiché $k < 0$, l’equazione è impossibile. Una radice con indice pari non può mai essere uguale a un numero negativo.
• $S = \emptyset$.

Esercizio 4: Indice Dispari, $k < 0$

Domanda: Risolvi $\sqrt[3]{x} = -1$.

Risposta Corretta: $x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: Equazione con indice $n=3$ (dispari).
• Controllo $k$: Non è necessario controllare $k$. Le radici dispari possono avere risultati negativi.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri al cubo.
• $(\sqrt[3]{x})^3 = (-1)^3$
• $x = -1$.

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Livello Avanzato (Casi con Zero e Frazioni) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali

Esercizio 5: Indice Pari, $k = 0$

Domanda: Risolvi $\sqrt[6]{x} = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi: Equazione con indice $n=6$ (pari).
• Controllo $k$: Il termine noto è $k = 0$. Poiché $k \ge 0$, l’equazione è possibile.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri alla sesta.
• $(\sqrt[6]{x})^6 = 0^6$
• $x = 0$.

Esercizio 6: Indice Pari, $k$ frazionario

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} = \frac{3}{2}$.

Risposta Corretta: $x = 9/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Analisi: Equazione con indice $n=2$ (pari).
• Controllo $k$: Il termine noto è $k = 3/2$. Poiché $k \ge 0$, l’equazione è possibile.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri al quadrato.
• $(\sqrt{x})^2 = (\frac{3}{2})^2$
• $x = \frac{9}{4}$.

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Livello Molto Avanzato (Casi con Frazioni Negative e $k$ irrazionale)

Esercizio 7: Indice Dispari, $k$ frazionario

Domanda: Risolvi $\sqrt[3]{x} = -\frac{2}{5}$.

Risposta Corretta: $x = -8/125$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Analisi: Equazione con indice $n=3$ (dispari).
• Controllo $k$: Non necessario, si eleva direttamente.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri al cubo.
• $(\sqrt[3]{x})^3 = (-\frac{2}{5})^3$
• $x = -\frac{8}{125}$.

Esercizio 8: Indice Pari, $k$ irrazionale

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} = \sqrt{7}$.

Risposta Corretta: $x = 7$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Analisi: Equazione con indice $n=2$ (pari).
• Controllo $k$: Il termine noto è $k = \sqrt{7}$. Questo è un numero positivo (circa 2.64), quindi $k > 0$. L’equazione è possibile.
• Risoluzione: Eleviamo entrambi i membri al quadrato.
• $(\sqrt{x})^2 = (\sqrt{7})^2$
• $x = 7$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Equazioni da Isolare e Sostituzione)

Esercizio 9: Equazione da Isolare (Indice Pari)

Domanda: Risolvi $4\sqrt{x} – 1 = 11$.

Risposta Corretta: $x = 9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Analisi: L’equazione non è in forma base. Dobbiamo prima isolare $\sqrt{x}$.
• Isolamento: $4\sqrt{x} = 11 + 1$
• $4\sqrt{x} = 12$
• $\sqrt{x} = \frac{12}{4}$
• $\sqrt{x} = 3$.
• Risoluzione: Ora siamo nel caso base $\sqrt{x} = k$.
• $k = 3 \ge 0$, OK. Eleviamo al quadrato.
• $x = 3^2 \rightarrow x = 9$.

Esercizio 10: Equazione con Sostituzione (Forma Quadratica)

Domanda: Risolvi $x – 2\sqrt{x} – 3 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Analisi: Questa equazione non è elementare, ma può essere ricondotta a una equazione di secondo grado con una sostituzione.
• Sostituzione: Poniamo $y = \sqrt{x}$. Di conseguenza, $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$.
• Equazione in $y$: Sostituendo, l’equazione diventa $y^2 – 2y – 3 = 0$.
• Risolvi in $y$: Usiamo la formula risolutiva per $y$:
  • $\Delta/4 = (-1)^2 – (1)(-3) = 1 + 3 = 4$.
  • $y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{4}}{1} = 1 \pm 2$.
  • Otteniamo due soluzioni: $y_1 = 3$ e $y_2 = -1$.
• Contro-Sostituzione: Dobbiamo tornare alla $x$, risolvendo due equazioni elementari:
  • Caso 1: $\sqrt{x} = y_1 \rightarrow \sqrt{x} = 3$.
    • (Indice pari, $k=3 \ge 0$). Soluzione possibile.
    • Elevando al quadrato: $x = 9$.
  • Caso 2: $\sqrt{x} = y_2 \rightarrow \sqrt{x} = -1$.
    • (Indice pari, $k=-1 < 0$). L’equazione è impossibile.
• Soluzione: L’unica soluzione reale dell’equazione originale è quella trovata nel Caso 1.
• $S = \{9\}$.

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