Integrali di Fratte con Denominatore di Secondo Grado e Delta Negativo ($\Delta < 0$)

Hai calcolato il $\Delta$ del tuo denominatore ($ax^2+bx+c$) e hai scoperto che è rigorosamente minore di zero. Ottima notizia: puoi salutare i fratti semplici. Nessuna scomposizione in parentesi $(x-x_1)(x-x_2)$ è possibile.

La strada da seguire si divide in due in base a cosa trovi al numeratore.

Caso 1: A numeratore c’è un numero (Costante)

Il tuo obiettivo è far assomigliare l’integrale alla formula base dell’arcotangente:

$$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + c$$

Per farlo, dovrai applicare il completamento del quadrato al denominatore. Trasformerai il tuo trinomio in una forma del tipo $(x+k)^2 + a^2$. A quel punto, applichi la formula diretta dell’arcotangente!

Caso 2: A numeratore c’è un polinomio di primo grado ($mx + n$)

Questo è il caso più lungo e completo. Richiede due step fondamentali:

1. La Regola d’Oro: Manipola il numeratore (“aggiungi e togli” costanti o moltiplica/dividi) per far comparire l’esatta derivata del denominatore.
2. Lo Spezzettamento: Dividi la frazione in due integrali separati. Il primo diventerà immediatamente un logaritmo (perché ha la derivata sopra). Il secondo avrà solo un numero a numeratore e diventerà un’arcotangente (tramite completamento del quadrato).

Risultato tipico? Una combo perfetta: $\ln(…) + \arctan(…) + c$.

Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Fai attenzione ai calcoli!

I 15 Quiz: Integrali con $\Delta < 0$

Livello Base: Arcotangenti Immediate e Completamento del Quadrato

1. Quanto vale il $\Delta$ del denominatore di $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} dx$?

• A) $\Delta = 24$
• B) $\Delta = 0$
• C) $\Delta = -16$
• D) $\Delta = -20$

2. Qual è l’integrale di $\int \frac{1}{x^2 + 9} dx$?

• A) $\arctan(x) + c$
• B) $\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$
• C) $3\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$
• D) $\ln(x^2+9) + c$

3. Completa il quadrato del denominatore: $x^2 + 2x + 2$. A cosa è uguale?

• A) $(x+1)^2 + 1$
• B) $(x+2)^2 – 2$
• C) $(x+1)^2 + 2$
• D) $(x-1)^2 + 1$

4. Calcola l’integrale $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx$

• A) $\ln(x^2+2x+2) + c$
• B) $\frac{1}{2}\arctan(x+1) + c$
• C) $\arctan(x+1) + c$
• D) $\arctan(x^2) + c$

5. Calcola $\int \frac{1}{x^2 – 4x + 5} dx$

• A) $\arctan(x-2) + c$
• B) $\arctan(x-4) + c$
• C) $\frac{1}{2}\arctan(x-2) + c$
• D) $\ln(x^2-4x+5) + c$

Livello Intermedio: Coefficienti di Arcotangente e Logaritmi Puri

6. Calcola $\int \frac{1}{x^2 + 4x + 8} dx$ (Suggerimento: completa il quadrato!)

• A) $\arctan\left(\frac{x+2}{4}\right) + c$
• B) $\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right) + c$
• C) $\frac{1}{4}\arctan(x+2) + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln(x^2+4x+8) + c$

7. Calcola $\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5} dx$ (Osserva bene il numeratore…)

• A) $\arctan(x+1) + c$
• B) $2\ln(x^2+2x+5) + c$
• C) $\ln(x^2+2x+5) + c$
• D) $\ln(x+1) + \arctan(2) + c$

8. Calcola $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$

• A) $\arctan x + c$
• B) $\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + c$
• C) $\ln(x^2+1) + c$
• D) $x\arctan x + c$

9. Calcola $\int \frac{1}{4x^2 + 1} dx$ (Suggerimento: vedilo come $(2x)^2+1$)

• A) $\arctan(2x) + c$
• B) $\frac{1}{4}\arctan x + c$
• C) $2\arctan(2x) + c$
• D) $\frac{1}{2}\arctan(2x) + c$

10. Calcola $\int \frac{x + 1}{x^2 + 1} dx$ (Suggerimento: spezza la frazione in due!)

• A) $\ln(x^2+1) + \arctan x + c$
• B) $\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + \arctan x + c$
• C) $\arctan x + x + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln(x^2+1) – \arctan x + c$

Livello Avanzato: Combo Logaritmo + Arcotangente

11. Calcola $\int \frac{2x}{x^2 + 2x + 2} dx$ (Aggiungi e togli 2 al numeratore)

• A) $\ln(x^2+2x+2) – 2\arctan(x+1) + c$
• B) $\ln(x^2+2x+2) + \arctan(x+1) + c$
• C) $\ln(x^2+2x+2) – \arctan(x+1) + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) – 2\arctan(x+1) + c$

12. Calcola $\int \frac{x}{x^2 – 2x + 2} dx$ (Moltiplica/dividi per 2, poi manipola)

• A) $\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2) – \arctan(x-1) + c$
• B) $\ln(x^2-2x+2) + \arctan(x-1) + c$
• C) $\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2) + \arctan(x-1) + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2) + 2\arctan(x-1) + c$

13. Calcola $\int \frac{3x + 1}{x^2 + 9} dx$

• A) $3\ln(x^2+9) + \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$
• B) $\frac{3}{2}\ln(x^2+9) + \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$
• C) $\frac{3}{2}\ln(x^2+9) + \arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln(x^2+9) + \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$

14. Calcola $\int \frac{2x – 1}{x^2 – 4x + 13} dx$

• A) $\ln(x^2-4x+13) + \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$
• B) $\ln(x^2-4x+13) + \arctan\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$
• C) $\ln(x^2-4x+13) + 3\arctan\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln(x^2-4x+13) + \arctan\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$

15. [SFIDA] Calcola $\int \frac{x – 3}{x^2 + 2x + 5} dx$

• A) $\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) – 2\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + c$
• B) $\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) – \arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + c$
• C) $\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) – \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + c$
• D) $\ln(x^2+2x+5) – 4\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + c$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

La precisione algebrica nel creare le derivate e i completamenti di quadrato è tutto. Verifica i tuoi calcoli!

1. Risposta C ($\Delta = -16$)

La formula è $b^2 – 4ac$. Abbiamo $2^2 – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16$. Essendo negativo, dovremo usare l’arcotangente.

2. Risposta B ($\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$)

Usa la formula dell’arcotangente generalizzata: $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan(x/a)$. Qui $a^2 = 9$, quindi $a=3$.

3. Risposta A ($(x+1)^2 + 1$)

Il trinomio “ideale” sarebbe $x^2 + 2x + 1$ (che è il quadrato di $x+1$). Siccome noi abbiamo $+2$, lo scriviamo come $+1+1$. Risultato: $(x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.

4. Risposta C ($\arctan(x+1) + c$)

Avendo completato il quadrato (quiz precedente), l’integrale è $\int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx$. Poiché la derivata di $x+1$ è $1$, applichiamo direttamente l’arcotangente. Non c’è alcun coefficiente esterno perché $a^2=1$.

5. Risposta A ($\arctan(x-2) + c$)

Il quadrato di $(x-2)$ è $x^2-4x+4$. Il nostro denominatore è $+5$, quindi lo scriviamo come $+4+1$. L’integrale diventa $\int \frac{1}{(x-2)^2 + 1} dx = \arctan(x-2)$.

6. Risposta B ($\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right) + c$)

Completiamo il quadrato: $x^2+4x+8 = (x^2+4x+4) + 4 = (x+2)^2 + 4$.

La costante esterna $a^2 = 4$, quindi $a=2$. La formula prevede $\frac{1}{a}\arctan(…)$, da cui $\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)$.

7. Risposta C ($\ln(x^2+2x+5) + c$)

Regola d’Oro! La derivata di $x^2+2x+5$ è $2x+2$, che si trova esattamente al numeratore. È un logaritmo purissimo. Non farti ingannare dal $\Delta<0$. (N.B. Niente valore assoluto perché il trinomio con $\Delta<0$ è sempre strettamente positivo!).

8. Risposta B ($\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + c$)

Derivata del denominatore: $2x$. A numeratore hai $x$. Moltiplica/dividi per 2. È la regola della costante.

9. Risposta D ($\frac{1}{2}\arctan(2x) + c$)

Riscriviamo come $\int \frac{1}{(2x)^2+1} dx$. La derivata interna della base è $2$. Dobbiamo moltiplicare e dividere per 2. $\frac{1}{2}\int \frac{2}{(2x)^2+1} dx = \frac{1}{2}\arctan(2x)$.

10. Risposta B ($\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + \arctan x + c$)

Spezza la frazione: $\int \frac{x}{x^2+1} dx + \int \frac{1}{x^2+1} dx$. Il primo si risolve col logaritmo (quiz 8), il secondo è l’arcotangente base.

11. Risposta A ($\ln(x^2+2x+2) – 2\arctan(x+1) + c$)

Derivata denominatore: $2x+2$.

Numeratore: $2x$. Facciamolo diventare la derivata aggiungendo e togliendo 2: $\frac{2x+2-2}{x^2+2x+2}$.

Spezzo: $\int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} dx – \int \frac{2}{(x+1)^2+1} dx$.

Il primo è il logaritmo. Dal secondo porto fuori il $2$ e ottengo $2\arctan(x+1)$.

12. Risposta C ($\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2) + \arctan(x-1) + c$)

Derivata del denominatore: $2x-2$. Numeratore: $x$.

Moltiplico/divido per 2: $\frac{1}{2} \int \frac{2x}{…} dx$.

Aggiungo e tolgo 2: $\frac{1}{2} \int \frac{2x-2+2}{…} dx$.

Spezzo e distribuisco il $1/2$: $\frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{…} dx + \frac{1}{2} \int \frac{2}{(x-1)^2+1} dx$.

La prima parte fa $\frac{1}{2}\ln(…)$. Nella seconda, il $\frac{1}{2}$ si semplifica col $2$ a numeratore, restando solo l’arcotangente.

13. Risposta B ($\frac{3}{2}\ln(x^2+9) + \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c$)

Spezzo subito: $\int \frac{3x}{x^2+9} dx + \int \frac{1}{x^2+9} dx$.

Per la prima porto fuori il 3, moltiplico/divido per 2: $\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2}\ln(x^2+9)$.

La seconda è l’arcotangente con $a=3$: $\frac{1}{3}\arctan(x/3)$.

14. Risposta B ($\ln(x^2-4x+13) + \arctan\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$)

Derivata denominatore: $2x-4$. Numeratore: $2x-1$.

Manipolo: $2x-1 = 2x-4+3$.

Spezzo: $\int \frac{2x-4}{…} dx + \int \frac{3}{x^2-4x+13} dx$.

Primo: $\ln(x^2-4x+13)$.

Secondo: il quadrato è $(x-2)^2+9$. Ho $\int \frac{3}{(x-2)^2+9} dx$. La costante $a=3$. La formula vuole $\frac{1}{3}$ fuori, che si moltiplica col $3$ del numeratore annullandosi! Rimane $\arctan(\frac{x-2}{3})$.

15. Risposta A ($\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) – 2\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + c$)

Derivata: $2x+2$. Numeratore: $x-3$.

Moltiplico per 2 e metto $1/2$ fuori: $\frac{1}{2} \int \frac{2x-6}{x^2+2x+5} dx$.

Voglio $+2$, quindi aggiungo/tolgo: $2x-6 = 2x+2-2-6 = 2x+2-8$.

Spezzo: $\frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{…} dx – \frac{1}{2}\int \frac{8}{(x+1)^2+4} dx$.

Primo pezzo: $\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5)$.

Secondo pezzo: $-\frac{8}{2} \int \frac{1}{(x+1)^2+4} dx = -4 \cdot \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) = -2\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)$. Spettacolo!

💡 Padroneggia l’Integrazione e supera l’esame

La manipolazione algebrica vista negli esercizi avanzati (il moltiplicare/dividere e poi aggiungere/togliere costanti) è una tecnica standard che si ripete identica in centinaia di integrali universitari. Se l’hai trovata difficile, significa solo che ti manca ancora l’automatismo. Nei miei corsi, smontiamo queste “combo” passo passo finché non impari a risolverle letteralmente a mente, come se fossero un puzzle.