Nel cuore del Seicento, mentre l’Europa si preparava alla rivoluzione di Newton, Bologna era ancora uno dei centri matematici più vibranti del mondo. Lì, all’ombra delle due torri, viveva e lavorava Pietro Mengoli (1626 – 1686).
Allievo prediletto di Bonaventura Cavalieri, Mengoli non si limitò a custodire l’eredità del maestro. Egli trasformò la geometria degli indivisibili in pura aritmetica, diventando uno dei padri fondatori della teoria delle serie numeriche.
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La Magia delle Somme Infinite
Il contributo più straordinario di Mengoli riguarda lo studio di somme con infiniti termini. Fino ad allora, l’infinito era trattato con sospetto. Mengoli, invece, lo manipolava con un rigore sorprendente.
Nella sua opera Novae quadraturae arithmeticae (1650), ottenne risultati che anticiparono di decenni i matematici europei:
- La Serie Armonica: Mengoli dimostrò rigorosamente che la somma dei reciproci dei numeri naturali ($1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$) diverge, ovvero cresce all’infinito, anche se molto lentamente.
- La Serie Armonica Alternata: Riuscì a sommare la serie a segni alterni:$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \dots = \ln 2$$
- I Numeri Triangolari: Trovò la somma dei reciproci dei numeri triangolari, dimostrando che converge a 2. Utilizzò un metodo ingegnoso (che oggi chiamiamo “serie telescopica”) per mostrare che:$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = 2$$
La Sfida Lanciata al Mondo: Il Problema di Basilea
Mengoli non si limitò a risolvere problemi; ne creò di nuovi che tormentarono i matematici per quasi un secolo.
Fu lui il primo a porre il famoso Problema di Basilea: chiese quale fosse la somma esatta dei reciproci dei quadrati perfetti:
$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
Mengoli sapeva che la somma era finita (convergeva), ma non riuscì a calcolarne il valore esatto. La sua sfida rimase aperta, resistendo agli attacchi dei fratelli Bernoulli, finché non fu risolta nel 1735 dal genio di Eulero (che scoprì, con stupore di tutti, che la somma è $\pi^2/6$).
Verso il Concetto di Limite
Oltre alle serie, Mengoli perfezionò il metodo di integrazione di Cavalieri. Mentre il suo maestro usava concetti geometrici (“linee”), Mengoli cercò di fondare il calcolo su basi puramente numeriche e logiche.
Introdusse il concetto di “quasi-limite”: approssimava l’area sotto una curva usando rettangoli inscritti e circoscritti, dimostrando che la differenza tra le due aree poteva essere resa “piccola a piacere”. Questo approccio, basato sulle disuguaglianze ($\epsilon$), anticipa incredibilmente la definizione rigorosa di integrale definito che Cauchy e Riemann avrebbero formulato solo nell’Ottocento.
Eredità: Il Maestro Letto da Leibniz
Perché Mengoli è meno famoso di Newton? Purtroppo, scrisse in un latino ostico e pesante, che rese difficile la diffusione delle sue idee.
Tuttavia, la sua influenza fu sotterranea ma potente. Il giovane Gottfried Wilhelm Leibniz, durante i suoi studi matematici, lesse Mengoli con grande attenzione. L’idea di utilizzare serie infinite per calcolare aree e la manipolazione delle somme furono lezioni che Leibniz assorbì e trasformò nel suo Calcolo. Mengoli è il ponte solido che collega l’intuizione italiana al formalismo tedesco.
Curiosità sul Parroco Matematico
- La Doppia Vita: Mengoli non era solo un professore universitario (succedette alla cattedra di Cavalieri a Bologna), ma anche un sacerdote attivo. Fu parroco della chiesa di Santa Maria Maddalena a Bologna per ben 26 anni, conciliando la cura delle anime con quella dei numeri.
- Il Logaritmo Musicale: Appassionato di musica e acustica (come Mersenne), Mengoli usò i logaritmi per studiare gli intervalli musicali, scrivendo un trattato in cui cercava di unificare l’armonia sonora con la struttura anatomica dell’orecchio umano.
- L’Oscurità Linguistica: Si dice che uno dei motivi per cui il suo nome fu oscurato sia il suo stile di scrittura. Mentre Galileo scriveva in un italiano limpido e brillante, Mengoli usava un latino così contorto e una notazione così personale che persino i matematici contemporanei faticavano a decifrarlo, definendo i suoi libri “oscuri come la notte”.
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