Il Test F (o ANOVA della Regressione) è il primo test di ipotesi da eseguire nel modello di regressione lineare multipla. Il suo scopo è valutare la significatività globale del modello, determinando se l’intero set di variabili esplicative ($X_1, X_2, \ldots, X_k$) fornisce un potere predittivo significativo sulla variabile dipendente ($Y$).
Il Test di Ipotesi $F$
Il Test $F$ verifica se l’introduzione dei predittori fornisce un miglioramento statisticamente significativo rispetto a un modello “nullo” (che stima $Y$ solo con la sua media $\bar{Y}$).
Ipotesi del Test
Il test verifica se tutti i coefficienti angolari (beta) del modello sono contemporaneamente pari a zero.
- Ipotesi Nulla ($H_0$): Nessuna delle variabili esplicative ha un effetto significativo su $Y$.
$$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \ldots = \beta_k = 0$$ - Ipotesi Alternativa ($H_1$): Almeno un coefficiente è diverso da zero.
$$H_1: \text{Almeno un } \beta_j \neq 0$$
La Funzione $F$ e la Varianza
La statistica $F$ si basa sulla decomposizione della varianza totale ($SQT = SQR + SQE$). La statistica $F$ è il rapporto tra la varianza media spiegata ($MQR$) e la varianza media residua ($MQE$).
$$\mathbf{F} = \frac{\text{Varianza Spiegata}}{\text{Varianza Non Spiegata}} = \frac{MQR}{MQE}$$
La Formula Completa
Assumendo $n$ osservazioni e $k$ variabili esplicative, la formula è:
$$\mathbf{F} = \frac{SQR / k}{SQE / (n – k – 1)}$$
- Gradi di Libertà: $k$ (numeratore) e $n – k – 1$ (denominatore).
Un valore elevato di $F$ (molto maggiore di 1) indica che la varianza spiegata è significativamente superiore a quella residua.
Criteri di Decisione e Esempio Concreto
La statistica $F$ calcolata viene confrontata con la distribuzione $F$ di Snedecor.
Esempio Concreto (Spesa per Consumi)
Facciamo riferimento al modello di regressione analizzato nell’articolo precedente sulla stima e inferenza sui beta, che prevede la Spesa annuale per consumi ($Y$) usando Popolazione ($X_1$) e Tasso di Disoccupazione ($X_2$).
Dati Chiave di Riferimento:
- Osservazioni ($n$): $\mathbf{41}$
- Variabili esplicative ($k$): $\mathbf{2}$
- Statistica test $F$ calcolata: $\mathbf{37.5}$
- $p$-value associato: $\mathbf{0.000}$
Analisi del Test F ($\alpha = 0.05$):
- Ipotesi Nullà: $H_0: \beta_{\text{Popolazione}} = \beta_{\text{Disoccupazione}} = 0$.
- Criterio del $p$-value: Poiché il $p$-value ($0.000$) è molto inferiore a $\alpha=0.05$, si rifiuta l’ipotesi nulla $H_0$.
Conclusione
La conclusione statistica è che il modello di regressione è globalmente significativo. Le variabili Popolazione e Tasso di Disoccupazione, prese congiuntamente, hanno un’influenza significativa sulla variabile risposta $Y$.