La Media Geometrica ($M_G$) è la misura di tendenza centrale appropriata per i tassi di crescita e i rendimenti. La sua formula classica per $n$ valori positivi è:
$$\mathbf{M_G} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$$
Questa formula è un caso limite della teoria unificante delle Medie Potenziate ($M_p$) quando il parametro di potenza $\mathbf{p}$ tende a zero.
1. La Formula Potenziata e l’Indeterminazione
La Media Potenziata di ordine $\mathbf{p}$ è definita come:
$$\mathbf{M_p} = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^p \right)^{\frac{1}{p}}$$
L’obiettivo è calcolare $\mathbf{M_G} = \lim_{p \to 0} \mathbf{M_p}$. La sostituzione diretta di $\mathbf{p=0}$ genera la forma indeterminata $\mathbf{1^{\infty}}$.
2. La Tecnica del Logaritmo Naturale
Per risolvere l’indeterminazione, si applica il logaritmo naturale. Poniamo $Y = M_p$ e applichiamo $\ln$:
$$\ln(Y) = \frac{1}{p} \ln \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^p \right)$$
Riscriviamo l’espressione per l’applicazione di L’Hôpital (Forma $\frac{0}{0}$ per $p \to 0$):
$$\lim_{p \to 0} \ln(Y) = \lim_{p \to 0} \frac{\ln \left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)}{p}$$
3. L’Applicazione della Regola di L’Hôpital
Si calcola il limite del rapporto delle derivate (rispetto a $p$) del numeratore e del denominatore:
$$\lim_{p \to 0} \ln(Y) = \lim_{p \to 0} \frac{\frac{d}{dp} \left[ \ln \left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right) \right]}{\frac{d}{dp} [p]} = \lim_{p \to 0} \frac{\frac{\frac{1}{n} \sum (x_i^p \ln x_i)}{\frac{1}{n} \sum x_i^p}}{1}$$
Valutando l’espressione per $\mathbf{p=0}$ (dove $x_i^0=1$ e $\sum x_i^0 = n$):
$$\lim_{p \to 0} \ln(Y) = \frac{\frac{1}{n} \sum (\ln x_i)}{\frac{n}{n}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
4. La Soluzione Finale
Infine, applichiamo l’esponenziale a entrambi i lati e sfruttiamo le proprietà dei logaritmi:
$$Y = e^{\frac{1}{n} \sum \ln x_i} = e^{\ln \left( \left( \prod x_i \right)^{\frac{1}{n}} \right)}$$
Poiché $e^{\ln(u)} = u$, il risultato finale è la Media Geometrica:
$$\mathbf{M_0} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} = \mathbf{M_G}$$
Questo dimostra che la Media Geometrica è il punto di confluenza della famiglia delle Medie Potenziate, ottenuto per limite con $\mathbf{p \to 0}$.