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https://youtu.be/vQTi8TyHVFA

DEFINIZIONE

La distribuzione binomiale serve per calcolare la probabilità di avere x successi in n prove indipendenti.

Per prove indipendenti intendiamo che la probabilità che tale prova abbia successo o meno non venga influenzata dalla prova precedente e non abbia a sua volta influenza sulla prova successiva.

Un esempio tipico di applicazione della distribuzione binomiale è il lancio di una moneta o di un dado.

Infatti, quando ripetiamo più volte una prova di questo tipo, immaginiamo che l’esito della prova successiva non venga influenzata da quella precedente.

Questo fa in modo che passando da una prova all’altra la probabilità che si verifichi l’evento preso in considerazione sia sempre la stessa.

ESEMPIO DEL LANCIO DI UN DADO REGOLARE

Se analizziamo ad esempio il lancio di un dado regolare e prendiamo in considerazione l’evento “esce il numero 4” possiamo attribuire facilmente la probabilità associata pari 1/6.

Questa probabilità rimarrà invariata in ogni prova, indipendentemente dal numero di lanci che effettuiamo.

FORMULA

Supponiamo che in generale dobbiamo fare n prove tra di lo indipendenti.

Vogliamo poi calcolare la probabilità che su queste n prove l’evento preso in considerazione si verifichi esattamente x volte.

Ovviamente x assumerà valore compreso tra 0 e n, quindi in tutto n+1 modalità.

La formula per calcolare n probabilità che su n prove indipendenti si abbiano x successi è la seguente.

 dove:

Ad esempio tornando al lancio del dado se vogliamo calcolare la probabilità che lanciando 5 volte un dado regolare a sei facce otteniamo esattamente 3 volte il numero 4, faremo:

Tale probabilità è pari al 12,86%.

VALORE ATTESO, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Il valore atteso o valore medio E(x) della distribuzione binomiale è pari a:

La varianza si calcola nel seguente modo:

Per calcolare la deviazione standard o scarto quadratico medio facciamo la radice quadrata della varianza, ovvero:

Applicandolo al caso dei dadi avremo che il valore atteso è 

La varianza è pari a:

Infine calcoliamo la deviazione standard o scarto quadratico medio:

Il fatto che la deviazione standard sia uguale al valore atteso è solamente un caso.

COEFFICIENTE BINOMIALE (NEWTON) E IL FATTORIALE

Sono sicuro che molti di voi si staranno chiedendo, nel guardare la formula del calcolo della probabilità binomiale, 

quale sia il significato del valore dentro la parentesi:

Si tratta del coefficiente binomiale e si legge “n combinato x“.

Per calcolarlo usiamo la seguente formula:

Dove il simbolo ! significa fattoriale.

Il significato matematico di n! si capisce dalla seguente formula:

Quindi n! è la produttoria dei numeri naturali a partire dall’1 fino ad arrivare a n.

A parte 0! Che per la maggior parte di voi (compreso me) sembra alquanto difficile da comprendere, infatti:

Gli altri fattoriali sono molto alla portata di mano

E così via.

La caratteristica subito evidente del fattoriale è la rapida crescita.

Tale crescita è molto più forte rispetto a quella dell’esponenziale.

Se infatti osserviamo il 10! Notiamo subito che si tratta di un numero molto elevato.

Riscritto in forma esponenziale esso è pari a:

Ancora più evidente è la situazione a quando si arriva a 20 fattoriale.

Qui stiamo parlando di 2,43 miliardi di miliardi ovvero di 2,43 trilioni.

Cifre davvero pazzesche!

COEFFICIENTE BINOMIALE – ESEMPIO

Facciamo un esempio abbastanza semplice di calcolo di coefficiente binomiale, applicando la formula vista in precedenza:

Nel caso affrontato a proposito dei dadi il calcolo relativo a 5 combinato 3

Sviluppando i fattoriali avremo:

Se poi andiamo a semplificare i fattori simili otteniamo:

CALCOLATRICE

Se usate una calcolatrice ho riportato due esempi per calcolare la combinazione:

Quello che dovrebbe risultare nel quadrante è:

CON EXCEL

Anche utilizzare Excel è molto semplice.

Una volta che abbiamo riportato in due celle separate il 5 e il tre basterà usare la formula 

ESEMPIO PRATICO DI BINOMIALE

Passiamo ad un altro esempio pratico di applicazione della distribuzione binomiale:

La probabilità che il portiere del PSG Donnarumma pari un rigore è del 30%.

Se durante una stagione intera la squadra di Parigi subisce 10 rigori, qual è la probabilità che Donnarumma ne pari esattamente 4?

DATI E CALCOLI

I dati che abbiamo a disposizione sono:

Per calcolare la probabilità che Donnarumma pari esattamente 4 rigori su 10 applichiamo la formula binomiale:

Nel caso particolare avremo:

La probabilità è pari al 20%.

VALORE ATTESO, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Chiaramente possiamo spingerci oltre, calcolando il valore atteso:

Proseguiamo  con la varianza:

Ed infine passiamo alla deviazione standard:

RIASSUNTO

Riassumendo i dati possiamo dire che abbiamo una forte probabilità che Donnarumma pari dai 3-1,45 a 3+1,45.

Per un teorema della statistica tale probabilità si aggira attorno al 70%.

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’

Se vogliamo rappresentare la funzione di distribuzione di probabilità dobbiamo calcolare le probabilità che su 10 rigori contro il nostro portierone riesca a pararne 0, 1, 2, …, fino a 10.

Ho riassunto i risultati nella tabella sottostante, che ho calcolato con Excel.

Grazie ai risultati ottenuti è possibile rappresentare la funzione di distribuzione della probabilità.

Come si può vedere dal grafico sull’asse delle x ho rappresentato i valori della nostra variabile casuale x numeri di rigori parati.

Sull’asse delle y è rappresentata la probabilità P(x).

Il grafico utilizzato è quello a bastoncini.

Si nota subito che la funzione tocca il suo massimo nel valore medio, ovvero il 3.

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È il secondo video-corso della saga statistica di chiama “PROBABILITA‘” ed è il primo dei sei corsi che costituiscono la saga della Statistica aziendale.

Nel corso verranno trattati i temi relativi alla probabilità.

Si parte dal concetto di combinazioni e disposizioni e dalla definizione di probabilità.

Dopodiché si passerà alla distinzione tra eventi indipendenti e dipendenti.

Nell’ambito di questi ultimi si presenterà il teorema di Bayes.

La parte successiva è destinata alle variabili casuali discrete e continue.

Per le prime vedremo la binomiale e la Poisson.

Per le seconde invece la v.c. normale.

La parte finale è dedicata al teorema del limite centrale che riassume in un solo grande argomento tutta la probabilità.

Per ogni argomento troverete sia la parte teorica che la parte pratica.

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