Il Teorema della Probabilità Totale, o Formula di Unione Generale, estende l’Assioma dell’Additività di Kolmogorov. Permette di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno tra più eventi. Questo è vero anche quando gli eventi non sono disgiunti, potendo verificarsi contemporaneamente.
INDICE
1. Probabilità Totale per Due Eventi
Per due eventi, $E_1$ ed $E_2$, che si intersecano ($E_1 \cap E_2$), la formula corregge il doppio conteggio. Si sottrae l’intersezione $P(E_1 \cap E_2)$. L’intersezione è stata infatti contata sia in $P(E_1)$ che in $P(E_2)$.
- Formula per Due Eventi:
$$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) – P(E_1 \cap E_2)$$
Esempio Pratico:
In una classe di 30 studenti, 15 fanno Spagnolo ($E_1$) e 10 fanno Tedesco ($E_2$). Sappiamo che 5 studenti fanno entrambi i corsi ($E_1 \cap E_2$).
$$P(E_1) = 15/30 = 0.5$$
$$P(E_2) = 10/30 \approx 0.333$$
$$P(E_1 \cap E_2) = 5/30 \approx 0.167$$
La probabilità di fare almeno un corso è:
$$P(E_1 \cup E_2) = 0.5 + 0.333 – 0.167 = 0.666 \quad \text{(o } 20/30)$$
2. Probabilità Totale per Tre Eventi
Per tre eventi, $E_1, E_2$, ed $E_3$, si utilizza il Principio di Inclusione-Esclusione. Si sommano le singole probabilità, si sottraggono le intersezioni di tutte le coppie. Infine, si riaggiunge l’intersezione di tutti e tre gli eventi, poiché era stata eliminata troppo.
- Formula per Tre Eventi (Principio di Inclusione-Esclusione):
$$P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3)\\ – P(E_1 \cap E_2) – P(E_1 \cap E_3) – P(E_2 \cap E_3)\\ + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3)$$
3. Generalizzazione per $n$ Eventi
Il Teorema si generalizza per $n$ eventi tramite il Principio di Inclusione-Esclusione generale. La probabilità dell’unione è una somma alternata di intersezioni. Si inizia sommando le probabilità singole. Poi si sottrae la somma delle intersezioni a coppie. Si aggiunge la somma delle intersezioni a terne. Si continua così fino all’intersezione di tutti gli $n$ eventi.
- Formula Generale (Principio di Inclusione-Esclusione):
$$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} E_i\right) = \sum_{i} P(E_i) – \sum_{i<j} P(E_i \cap E_j) + \sum_{i<j<k} P(E_i \cap E_j \cap E_k) – \cdots + (-1)^{n-1} P(E_1 \cap E_2 \cap \dots \cap E_n)$$
Il segno $(-1)^{n-1}$ assicura la corretta alternanza.
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