La scomposizione della varianza è una tecnica statistica, nota anche come analisi della varianza (ANOVA) che permette di scomporre la variabilità totale di una variabile quantitativa $Y$ in due componenti: la variabilità dovuta alla differenziazione in gruppi (Varianza Tra) e la variabilità residua all’interno dei gruppi (Varianza Nei).
La relazione fondamentale per la scomposizione della varianza è:
$$\sigma^2_{\text{tot}} = \sigma^2_{\text{tra}} + \sigma^2_{\text{nei}}$$
Esempio Pratico: Dati da Tabella a Doppia Entrata
Si considerano $N=100$ unità statistiche classificate in base a un fattore qualitativo $X$ (4 modalità) e una variabile quantitativa $Y$ (3 modalità: 1, 2, 3). La tabella seguente mostra le frequenze assolute ($n_{ij}$).
Tabella 1: Frequenze Assolute (N=100)
| x1 | x2 | x3 | x4 | Totale Y (ni.)
y1=1 | 10 | 0 | 40 | 5 | 55
y2=2 | 0 | 30 | 0 | 0 | 30
y3=3 | 10 | 0 | 0 | 5 | 15
Totale X | 20 | 30 | 40 | 10 | N=100
1. Calcolo della Varianza Totale ($\sigma^2_{\text{tot}}$)
La varianza totale di $Y$ si calcola sull’intera distribuzione marginale di $Y$:
$$\sigma^2_{\text{tot}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{3} (y_i – \bar{y}{\text{tot}})^2 n{i \cdot}$$
A. Media Totale ($\bar{y}_{\text{tot}}$)
$$\bar{y}{\text{tot}} = \frac{1}{N} \sum{i=1}^{3} y_i n_{i \cdot} = \frac{(1 \cdot 55) + (2 \cdot 30) + (3 \cdot 15)}{100} = \frac{55 + 60 + 45}{100} = \frac{160}{100} = \mathbf{1.6}$$
B. Varianza Totale ($\sigma^2_{\text{tot}}$)
$$\sigma^2_{\text{tot}} = \frac{1}{100} \left[ (1 – 1.6)^2 \cdot 55 + (2 – 1.6)^2 \cdot 30 + (3 – 1.6)^2 \cdot 15 \right]$$
$$\sigma^2_{\text{tot}} = \frac{1}{100} \left[ (0.36 \cdot 55) + (0.16 \cdot 30) + (1.96 \cdot 15) \right]$$
$$\sigma^2_{\text{tot}} = \frac{1}{100} [ 19.8 + 4.8 + 29.4 ] = \frac{54}{100} = \mathbf{0.54}$$
2. Calcolo della Varianza Tra i Gruppi ($\sigma^2_{\text{tra}}$ – Between)
Questa componente è la varianza delle medie condizionate, ponderata con le frequenze marginali di $X$.
$$\sigma^2_{\text{tra}} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{4} (\bar{y}j – \bar{y}{\text{tot}})^2 n_{\cdot j}$$
A. Medie Condizionate ($\bar{y}_j$)
| Gruppo | Freq. (n.j) | Calcolo | Media ($\bar{y}_j$) |
|---|---|---|---|
| $x_1$ | 20 | $\frac{1 \cdot 10 + 3 \cdot 10}{20}$ | 2.0 |
| $x_2$ | 30 | $\frac{2 \cdot 30}{30}$ | 2.0 |
| $x_3$ | 40 | $\frac{1 \cdot 40}{40}$ | 1.0 |
| $x_4$ | 10 | $\frac{1 \cdot 5 + 3 \cdot 5}{10}$ | 2.0 |
B. Varianza Tra i Gruppi ($\sigma^2_{\text{tra}}$)
Questa componente è la varianza delle medie dei gruppi:
$$\sigma^2_{\text{tra}} = \frac{1}{100} \left[ (2.0 – 1.6)^2 \cdot 20 + (2.0 – 1.6)^2 \cdot 30 + (1.0 – 1.6)^2 \cdot 40 + (2.0 – 1.6)^2 \cdot 10 \right]$$
$$\sigma^2_{\text{tra}} = \frac{1}{100} \left[ (0.16 \cdot 20) + (0.16 \cdot 30) + (0.36 \cdot 40) + (0.16 \cdot 10) \right]$$
$$\sigma^2_{\text{tra}} = \frac{1}{100} [ 3.2 + 4.8 + 14.4 + 1.6 ] = \frac{24}{100} = \mathbf{0.24}$$
3. Calcolo della Varianza Nei Gruppi ($\sigma^2_{\text{nei}}$ – Within)
Questa componente è la media ponderata delle varianze interne ($\sigma^2_j$) di ciascun gruppo.
$$\sigma^2_{\text{nei}} = \sum_{j=1}^{4} \sigma^2_j \cdot f_{\cdot j} \quad \text{dove } \sigma^2_j = \frac{1}{n_{\cdot j}} \sum_{i=1}^{3} (y_i – \bar{y}j)^2 n{ij}$$
A. Varianze Condizionate ($\sigma^2_j$)
| Gruppo | Media ($\bar{y}_j$) | Calcolo | Varianza ($\sigma^2_j$) |
|---|---|---|---|
| $x_1$ | 2.0 | $\frac{1}{20} [ (-1)^2 \cdot 10 + (1)^2 \cdot 10 ]$ | 1.0 |
| $x_2$ | 2.0 | $\frac{1}{30} [ 0 ]$ | 0 |
| $x_3$ | 1.0 | $\frac{1}{40} [ 0 ]$ | 0 |
| $x_4$ | 2.0 | $\frac{1}{10} [ (-1)^2 \cdot 5 + (1)^2 \cdot 5 ]$ | 1.0 |
B. Varianza Nei Gruppi ($\sigma^2_{\text{nei}}$)
$$\sigma^2_{\text{nei}} = \left( 1.0 \cdot \frac{20}{100} \right) + \left( 0 \cdot \frac{30}{100} \right) + \left( 0 \cdot \frac{40}{100} \right) + \left( 1.0 \cdot \frac{10}{100} \right)$$
$$\sigma^2_{\text{nei}} = 0.20 + 0 + 0 + 0.10 = \mathbf{0.30}$$
4. Conclusione
La scomposizione della varianza è verificata:
$$\sigma^2_{\text{tot}} = \sigma^2_{\text{tra}} + \sigma^2_{\text{nei}}$$
$$0.54 = 0.24 + 0.30$$
Tabella 2: Risultati della Scomposizione
| Componente | Valore |
|---|---|
| Varianza Totale | 0.54 |
| Varianza Tra i Gruppi | 0.24 |
| Varianza Nei Gruppi | 0.30 |
Il 44.4\% (ottenuto da $0.24/0.54$) della variabilità totale di $Y$ è spiegato dalle differenze tra i gruppi definiti da $X$.