L’analisi della Scomposizione della Varianza è un metodo statistico essenziale quando i dati sono raggruppati in classi. Permette di suddividere la variabilità totale di un fenomeno ($\sigma_{TOT}^{2}$) in due componenti: la variabilità dovuta alle differenze tra i gruppi e quella dovuta alle differenze all’interno dei gruppi.
La relazione fondamentale è:
$$\mathbf{\sigma_{TOT}^{2} = \sigma_{NEI}^{2} + \sigma_{FRA}^{2}}$$
(l’immagine è esemplificativa e non contiene le formule corrette)
Formule Teoriche
Sia $N$ il numero totale di osservazioni, $K$ il numero di classi, $n_i$ la frequenza assoluta della classe $i$, $M_i$ la media della classe $i$, e $M_{TOT}$ la media generale.
Varianza Nei Gruppi ($\sigma_{NEI}^{2}$)
Misura la variabilità interna alle classi. Si calcola come la media ponderata delle varianze di classe ($\sigma_i^2$):
$$\sigma_{NEI}^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{K} \sigma_{i}^{2} n_{i}}{N}$$
Varianza Tra i Gruppi ($\sigma_{FRA}^{2}$)
Misura la variabilità tra le medie dei gruppi. Si calcola come la varianza delle medie di classe ($M_i$) rispetto alla media generale ($M_{TOT}$), ponderata per le frequenze assolute:
$$\sigma_{FRA}^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{K} (M_{i} – M_{TOT})^{2} \cdot n_{i}}{N}$$
Applicazione all’Esempio: Spesa per Vacanze
Applichiamo la scomposizione ai dati dell’indagine sui consumi di $N=500$ famiglie milanesi, relativi alla Spesa per vacanze (in migliaia di euro).
Dati Iniziali
| Classe ($i$) | Spesa (migliaia di euro) | $n_i$ (Frequenza) | $M_i$ (Media) | $\sigma_i^2$ (Varianza) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $0 \rightarrow 0,5$ | 100 | 0,3 | 0,04 |
| 2 | $0,5 \rightarrow 1,5$ | 150 | 1,2 | 0,20 |
| 3 | $1,5 \rightarrow 3$ | 200 | 2,1 | 0,10 |
| 4 | $3 \rightarrow 5$ | 50 | 4,5 | 0,14 |
| Totale | $\mathbf{N=500}$ |
Passo 1: Calcolo della Media Generale ($M_{TOT}$)
$$M_{TOT} = \frac{(0.3 \cdot 100) + (1.2 \cdot 150) + (2.1 \cdot 200) + (4.5 \cdot 50)}{500} = \frac{855}{500} = \mathbf{1.71}$$
La media complessiva è 1.71 migliaia di euro.
Passo 2: Calcolo della Varianza Nei Gruppi ($\sigma_{NEI}^{2}$)
| $i$ | $\sigma_i^2$ | $n_i$ | $\sigma_i^2 \cdot n_i$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,04 | 100 | 4 |
| 2 | 0,20 | 150 | 30 |
| 3 | 0,10 | 200 | 20 |
| 4 | 0,14 | 50 | 7 |
| Somma | $\mathbf{61}$ |
$$\sigma_{NEI}^{2} = \frac{61}{500} = \mathbf{0.122}$$
Passo 3: Calcolo della Varianza Tra i Gruppi ($\sigma_{FRA}^{2}$)
Si calcola la somma ponderata degli scarti al quadrato rispetto alla media generale ($M_{TOT} = 1.71$).
| $i$ | $M_i$ | $n_i$ | $M_i – 1.71$ | $(M_i – 1.71)^2$ | $(M_i – 1.71)^2 \cdot n_i$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,3 | 100 | $-1.41$ | $1.9881$ | $198.810$ |
| 2 | 1,2 | 150 | $-0.51$ | $0.2601$ | $39.015$ |
| 3 | 2,1 | 200 | $0.39$ | $0.1521$ | $30.420$ |
| 4 | 4,5 | 50 | $2.79$ | $7.7841$ | $389.205$ |
| Somma | $\mathbf{657.450}$ |
$$\sigma_{FRA}^{2} = \frac{657.45}{500} = \mathbf{1.3149}$$
Passo 4: Calcolo e Verifica della Varianza Totale ($\sigma_{TOT}^{2}$)
$$\sigma_{TOT}^{2} = \sigma_{NEI}^{2} + \sigma_{FRA}^{2}$$
$$\sigma_{TOT}^{2} = 0.122 + 1.3149 = \mathbf{1.4369}$$
Commento e Interpretazione
La scomposizione indica che la varianza tra i gruppi è nettamente superiore alla varianza interna:
$$\frac{\sigma_{FRA}^{2}}{\sigma_{TOT}^{2}} = \frac{1.3149}{1.4369} \approx 0.915$$
Il 91.5% della variabilità totale nella Spesa per vacanze è attribuibile alle differenze tra i livelli medi di spesa delle quattro classi. Solo l’8.5% della variabilità è dovuta alla dispersione all’interno di ciascuna categoria di spesa. Questo conferma che il raggruppamento in classi basato sulla spesa è estremamente efficace e che il fattore “livello di spesa” è il principale discriminante della variabilità.