IL RAPPORTO INCREMENTALE

Se consideriamo una funzione ad una variabile reale y=f(x) il  rapporto incrementale in un suo punto è il rapporto tra la variazione della funzione rispetto ad un generico incremento h a partire dal punto considerato.

DEFINIZIONE DI RAPPORTO INCREMENTALE

Data una generica funzione:

$$ f: \Re \to \Re : \ y=f(x) $$

Se consideriamo un suo generico punto x₀ appartenente al dominio della funzione

$$ x_0 \in D_f $$

E dato un generico incremento h reale:

$$ h \in \Re $$

Definiamo rapporto incrementale la seguente quantità:

$$ \text{R.I.}(x_0)= \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\Delta f}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} $$

 dove:

$$ x_0 : \text{ punto stazionario} $$

$$ f(x_0) : \text{ valore della funzione nel punto $x_0$} $$

$$ \Delta x = h: \text{ incremento della rispetto ad $x_0$} $$

$$ x_0+ h: \text{ punto $x_0$ maggiorato dell’incremento $h$} $$

$$ f(x_0+ h) : \text{ valore della funzione in $x_0+h$} $$

$$ \Delta y = \Delta f = f(x_0+h)-f(x_0) : \text{ incremento della funzione ad opera di un incremento $h$ rispetto ad $x_0$} $$

Tale quantità esprime il rapporto tra la variazione della funzione ad opera di un generico incremento h rispetto al punto x₀ e l’incremento h.

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL RAPPORTO INCREMENTALE

Consideriamo una generica funzione ad una variabile reale.

$$ f: \Re \to \Re : \ y=f(x) $$

Cominciamo con il prendere in considerazione un punto x₀ del suo dominio.

E calcoliamo il valore della funzione in tale punto che chiamiamo f(x₀)

Creiamo ora un generico incremento h rispetto al punto x₀ considerato.

In questo modo andiamo a finire nel punto x₀+h.

Calcoliamo poi il valore che la funzione assume nel punto x₀+h.

Chiamiamo questo valore f(x₀+h).

Arrivati a questo punto identifichiamo le due variazioni, quella orizzontale (asse x) e quella verticale della funzione (asse y)

La variazione sull’asse delle x, che possiamo anche chiamare ∆x è pari ad h.

Essa può essere anche calcolata come la differenza tra il punto finale (x₀+h) e il punto iniziale x_0.

$$ \Delta x = (x_0 +h) -x_0 = h$$

Mentre la variazione subita dalla funzione che possiamo chiamare ∆y o ∆f è pari alla differenza tra il valore finale della funzione f(x₀+h) e il valore iniziale f(x₀).

$$ \Delta y = \Delta f = f(x_0+h) – f(x_0) $$

Ora non ci resta che calcolare il rapporto incrementale dato dal rapporto tra la variazione della funzione (asse y) rispetto alla variazione delle x.

$$ \text{R.I.}(x_0)= \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\Delta f}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} $$

RAPPORTO INCREMENTALE COME LA PUNDENZA DELLA RETTA SECANTE

L’interpretazione geometrica certamente più significativa vede il rapporto incrementale come la pendenza (coefficiente angolare) della retta secante alla funzione.

Ricordiamo infatti che il coefficiente angolare di una retta:

$$ y = \color{green}{m} x +q $$

$$ \text{con } \color{green}{m} \text{ coefficiente angolare} $$

$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_B -y_A}{x_B – x_A} $$

dati due generici punti  è dato dal rapporto (dati due punti qualsiasi ad essa appartenenti) tra la variazione delle y e la variazione delle x dei punti.

Se nella nostra generica funzione consideriamo il due punti della funzione A e B con le coordinate:

$$ A \left( x_0, f(x_0) \right) \quad B \left( x_0+h, f(x_0+h) \right)$$

Se tracciamo la retta passante per questi due punti distinti della funzione allora possiamo dire che la pendenza di questa retta è pari a:

$$ m_{AB}= \frac{y_B -y_A}{x_B -x_A} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$

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IL RAPPORTO INCREMENTALE DIPENDE DAL PARAMETRO h

Come abbiamo visto la formula per calcolare il rapporto incrementale della funzione f(x) calcolato in un punto x₀ dipende dal parametro h:

$$ \text{R.I.}(x_0)= \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\Delta f}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} $$

Questo significa che al variare del parametro h varia anche il coefficiente angolare della retta secante.

Ovvero per diversi valori del parametro h  possiamo avere diversi valori del rapporto tra gli incrementi.

In generale considerando 2 valori di h distinti:h1 e h1 si ha che anche i corrispondenti rapporti incrementali sono diversi

$$ h_1 \ne h_2 \to \ \frac{f(x_0+h_1)-f(x_0)}{h_1} \ne \frac{f(x_0+h_2)-f(x_0)}{h_2} $$

ESEMPI DI CALCOLO DEL  RAPPORTO INCREMENTALE

Andiamo ora a calcolare il rapporto incrementale su tre tipi di funzione diversi.

ESEMPIO 1 – FUNZIONE POLINOMIALE

Calcoliamo il r.i. della funzione:

$$ f(x) = x^2+x-2 \quad x_0= 1 $$

Per prima cosa andiamo a trovare il valore che la funzione assume nel punto di ascissa 1:

$$ f(1) = 1^2 +1 -2 =0 $$

Ora muoviamoci di h unità rispetto all’scissa 1 e calcoliamo il valore della funzione nel punto di ascissa 1+h.

$$ \begin{array}{cc} f(1+h) &=& (1+h)^2 +(1+h)-2 \\ &=& 1+2h+h^2 +1+h-2 \\ &=& 2h+h^2 \end{array}$$

Ora non ci resta che calcolare il rapporto incrementale della funzione in x=1 come segue:

$$ \begin{array}{ccccc} RI(1) &=& \frac{f(1+h)-f(1)}{h} & \\ &=& \frac{2h+h^2}{h} & \\ &=&\frac{h \cdot (2+h)}{h} &=& 2+h \end{array} $$

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ESEMPIO 2 – R.I. DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Prendiamo ora come riferimento una funzione esponenziale.

Calcoliamo il r.i. della funzione:

$$ f(x) = 2 e^x -1 \quad x_0=0 $$

Per prima cosa andiamo a calcolare il valore della funzione nel punto x=0.

$$ f(0) = 2 e^0 -1 = 2-1 = 1 $$

Successivamente troviamo il valore che la funzione assume in 0+h

$$ f(0+h) = 2 e^{0+h} – 1 = 2 e^h -1 $$

Ora calcoliamo il r.i. in zero come segue:

$$ \begin{array}{ccccc} RI(0) &=& \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ &=& \frac{2 e^h -1-1}{h} \\ &=& \frac{2 e^h -2}{h} &=& 2 \cdot \frac{e^h-1}{h} \end{array} $$

ESEMPIO 3 – VIDEO SUL R.I. SU FUNZIONE LOGARITMICA

In questo video andiamo a calcolare il rapporto incrementale di una funzione logaritmica

ESERCIZIO 4 – FUNZIONE LOGARITMICA

Concludiamo la saga degli esempi con una funzione logaritmica.

Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione:

$$ f(x) = \ln (x+1) \quad x_0 = 2 $$

Per prima cosa andiamo come al solito a calcolarci f(2):

$$ f(2) = \ln (2+1) = \ln 3 $$

Successivamente creiamo l’incremento h e calcoliamo f(2+h):

$$ f(2+h) = \ln(2+h+1) = \ln(3+h) $$

Infine troviamo il r.i. della funzione nel punto di ascissa 2:

$$ \begin{array}{ccccc} RI(2) &=& \frac{f(2+h)- f(2)}{h} \\ &=& \frac{\ln(3+h)- \ln 3)}{h} \end{array}$$

Per le proprietà dei logaritmi:

$$ \ln (3+h) – \ln3 = \ln \frac{3+h}{3} = \ln \left( \frac{3}{3} + \frac{h}{3} \right) = \ln \left( 1+\frac{1}{3} h \right) $$

Dunque il r.i. può essere anche scritto come:

$$ RI(2) = \frac{\ln \left( 1+\frac{1}{3} h \right)}{h} $$

MODO ALTERNATIVO DI LEGGERE IL RAPPORTO INCREMENTALE

Abbiamo concepito la definizione del rapporto incrementale nel seguente modo:

$$ RI(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $

Dove in particolare:

$$ x_0 \text{ è il punto iniziale} \quad x_0+h \text{ è il punto finale}$$

Se chiamiamo diversamente il punto iniziale e il punto finale possiamo ricavare una equivalente formula di rapporto incrementale con una forma diversa da quella vista.

Ad esempio, chiamando x₁ e x₂ rispettivamente il punto iniziale e il punto finale:

$$ x_1: \text{ punto iniziale} \quad x_2: \text{ punto finale}$$

Ovviamente i valori assunti dalla funzione in tali punti sono:

$$ f(x_1): \text{ valore della funzione nel punto iniziale} $$

$$ f(x_2): \text{ valore della funzione nel punto finale} $$

A questo punto possiamo esprimere il r.i. sempre come variazione della funzione rispetto alla variazione delle x.

$$ RI(x_1) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 – x_1} $$

Graficamente abbiamo quanto segue:

Chiaramente possiamo chiamare anche a, b i valori iniziali e finali dell’ascissa.

Quindi il r.i. sarebbe scritto nella forma:

$$ RI(a) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b – a} $$

Oppure se preferiamo usare le lettere m e n:

$$ RI(a) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(n)-f(m)}{m – n} $$

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