Una funzione presenta dei punti di discontinuità quando non è soddisfatta la condizione di continuità in tali punti.
Nelle funzioni ad una variabile reale possiamo riconoscere tre tipi di discontinuità:
- Prima specie, detto anche con salto
- Seconda specie: infinito oppure on esistente
- Terza specie, detto anche eliminabile
DEFINIZIONE DI CONTINUITA’
Definire la discontinuità di una funzione in un punto significa avere ben chiar, cosa significhi continuità di una funzione in un punto.
Una delle definizioni, la più diffusa è la seguente.
Data una funzione ad una variabile reale, questa è continua in un punto x0 quando i limiti destro e sinistro di f(x) in x0 coincidono con il valore della funzione f(x0).
Detto in “matematichese” possiamo scrivere:
Questa è la definizione che meglio servirà al nostro scopo di definire le funzioni discontinue.
Per approfondire il concetto di continuità vai a questo articolo.
FUNZIONI DISCONTINUE – PUNTI DI DISCONTINUITÀ
Quando non è soddisfatta la condizione di continuità di una funzione in un punto, allora diciamo che questa presenta un punto di discontinuità.
Esistono principalmente tre tipi di discontinuità in un punto.
Andremo ora ad elencarli dandone le definizioni brevi, per poi analizzarle più nei dettagli nei paragrafi seguenti.
Il primo tipo di discontinuità è quello di prima specie (o primo tipo)
In questo caso abbiamo che il limite destro e quello sinistro sono numeri reali, ma diversitra di loro.
Tale tipo di discontinuità è anche definito con salto.
Il salto è pari alla differenza in valore assoluto dei due limiti:
Il secondo tipo di discontinuità che una funzione può presentare è detto di seconda specie (o secondo tipo).
Tale tipo di discontinuità si presenta quando uno dei due limiti è infinito:
Oppure quando uno dei due limiti non esiste:
Quest’ultimo caso possiamo anche scriverlo in questo modo:
Il terzo tipo di discontinuità è detto di terza specie (o terzo tipo appunto).
si verifica quando il limite destro e quello sinistro coincidono, ma questi sono diversi dal valore della funzione nel punto x0.
Il terzo tipo di discontinuità si presenta anche quando i due limiti sono uguali, ma f(x) non è definita in x0.
Nella figura sotto andiamo a riportare tre casi pratici, ognuno associato ad un tipo di discontinuità.
Analizzeremo tali casi nel proseguo dell’articolo.
DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE (PRIMO TIPO)
Il primo tipo di discontinuità che una funzione può presentare è detto anche di prima specie.
La discontinuità di prima specie si manifesta quando esistono sia il limite destro che il limite sinistro per il punto di accumulazione del dominio x0.
Tali limiti assumono valori reali, o sono numeri reali l1 e l2.
Questi valori sono tuttavia diversi tra diversi tra di loro
La loro differenza posta in valore assoluto da origine ad un salto della funzione in tale punto.
Nella figura sotto abbiamo una immediata percezione di quello che accade alla funzione nell’intorno del punto x0.
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ESEMPIO DI FUNZIONE DISCONTINUA – PRIMA SPECIE
Vediamo ora un esempio pratico di discontinuità di prima specie.
Studiamo la seguente funzione
DOMINIO
La prima cosa che dobbiamo studiare è certamente il dominio o campo di esistenza della stessa.
Siccome la funzione è una fratta, studiamo il denominatore diverso da zero.
Abbiamo perciò la certezza che nel punto di ascissa 2 la funzione non è continua.
SCIOGLIAMO IL VALORE ASSOLUTO
Per capire meglio il tipo di discontinuità in cui ci troviamo andiamo a levare quella cosa fastidiosa, il valore assoluto.
A tale scopo sudiamo l’argomento maggiore di zero
Individuata qual è la zona positiva (e quella negativa) possiamo riscrivere così il valore assoluto.
Nella figura sotto riportiamo i calcoli della funzione nelle due zone, positività e negatività del valore assoluto.
RISCRIVIAMO LA FUNZIONE
La funzione in origine era:
Togliendo di mezzo il valore assoluto la possiamo riscrivere in questo modo:
Quando le x sono minori di -2 e per le x maggiori di 2 la funzione è una retta inclinata con pendenza (coefficiente angolare) pari a 2 e intercetta all’origine 1.
Mentre quando le x sono comprese tra –2 e +2 diventa una retta costante al livello –3.
CALCOLIAMO I LIMITI PER X CHE TENDE A 2
Andiamo ora a calcolare il limite destro e quello sinistro per x che tende a 2.
Il limite sinistro andiamo a calcolarlo sulla parte di funzione definita per le x che sono minori di 2:
Mentre il limite destro lo calcoliamo sull’altra retta:
Come possiamo notare i due limiti sono reali finiti, ma diversi tra di loro.
Non c’è quindi dubbio che si tratta di una discontinuità di prima specie.
Il salto è pari alla differenza in valore assoluto dei due limiti.
DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE (SECONDO TIPO)
Passiamo ora al secondo tipo di discontinuità di una funzione in un punto, quella di seconda specie.
Questo tipo di discontinuità puntuale si presenta in due occasioni:
- Almeno uno dei due limiti è infinito
- Il limite non esiste
1 – ALMENO UNO DEI DUE LIMITI È INFINITO
Partiamo dal primo caso, quello più comune.
La funzione si presenta discontinua nel secondo tipo quando almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) vale infinito.
Questo significa che entrambi i limiti possono valere infinito, oppure anche solamente uno dei due.
Se entrambi i limiti valgono infinito:
Questo significa che questi infiniti possono assumere lo stesso segno:
Oppure segno diverso:
Ma classifichiamo una discontinuità di seconda specie anche quando anche uno solo dei limiti è infinito.
Oppure:
Riportiamo sotto degli esempi grafici che facciano capire meglio la situazione:
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2 – IL LIMITE NON SI PUÒ CALCOLARE (NON ESISTE)
La seconda situazione in cui può manifestarsi una discontinuità di secondo tipo è quando il limite non esiste.
Usando altre parole possiamo anche dire che il limite non si può calcolare.
Detta così sembra una cosa un po’ difficile.
Cosa si intende esattamente con l’espressione:
“il limite non è calcolabile e dunque non esiste” ?
Certamente qui è difficile dare una definizione precisa, perché la frase in se non è scorretta.
Meglio vedere questa situazione mediante un esempio concreto.
La quasi totalità degli esempi riguarda un tipo particolare di funzione trascendentale , quelle goniometriche.
L’esempio principe è quello legato alla funzione seno.
Consideriamo la seguente funzione:
Ovviamente sul dominio di tale funzioni non ci sono dubbi.
Essendoci una frazione imponiamo che il denominatore sia diverso da zero.
Dunque abbiamo:
Il punto di ascissa x=0 deve per forza rappresentare un ppunto di discontinuità della funzione.
Come si comporta la funzione nell’intorno di questo punto?
Calcoliamo dunque il limite per x che tenze a zero della funzione.
Badate bene che in questo caso non importa che lo calcoliamo da destra o da sinistra!
Quanto vale il seno di infinito???
Noi sappiamo che la funzione seno di x è definita da meno infinito a più infinito.
Il problema è che a mano a mano che la funzione seno va verso la x infinita continua ad oscillare tra il –1 e il +1.
Quindi non sappiamo bene calcolare questo limite!
Ecco che abbiamo chiarito meglio il significato dell’espressione:
“il limite non è calcolabile e dunque non esiste” ?
ESEMPIO – DISCONTINUITA’ SECONDA SPECIE
Vediamo un esempio più tipico di discontinuità di seconda specie, quello legato agli infiniti.
Consideriamo la funzione:
Calcoliamo il dominio, imponendo il denominatore diverso da zero.
Scrivendolo in termini insiemistici possiamo anche scrivere:
Il punto –1 è inequivocabilmente un punto di discontinuità per la funzione.
Calcoliamo allora il limite per x che tende a –1 di f(x).
Badate bene che ancora una volta non ci interessa la distinzione tra il limite destro e quello sinistro.
In questo caso il valore del limite è infinito!
E non ci interessa neanche il segno di tale infinito!
Per definizione infatti si tratta di una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti è infinito.
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DISCONTINUITÀ DI TERZO TIPO (ELIMINABILE)
Passiamo ora a trattare dell’ultimo tipo di discontinuità puntuale, quello di terza specie.
Una funzione è discontinua secondo la terza specie quando i due limiti destro e sinistro coincidono.
Dunque possiamo anche scrivere che il limite per x che tenda al punto di accumulazione x0esiste e vale l.
Tuttavia qui abbiamo che tale limite in realtà risulta diverso dal valore della funzione nel punto x0 .
Se proprio vogliamo essere più precisi dobbiamo distinguere due casistiche principali.
La prima è che la funzione non è definita in x0 .
Dunque f(x0) non esiste proprio
In questo caso è come se prendessimo un punto della funzione e lo strappassimo da essa.
La seconda è quella che abbiamo definito sopra.
Ovvero che il valore della funzione nel punto è diversa dal limite.
In questo secondo caso stiamo staccando un punto della funzione e gli cambiamo la quota.
ESEMPIO – DISCONTINUITA’ TERZA SPECIE
Concludiamo l’articolo con un esempio di discontinuità di terza specie.
Consideriamo la funzione:
Il dominio è
Possiamo anche scriverlo così:
Calcoliamo ora il limite per x che tende allo zero.
In questo caso quello destro e sinistro coincidono, per il valore assoluto:
Per chi si fosse dimenticato che un numero maggiore di uno elevato ala meno infinito fa zero si legga questo bel articolo sulla funzione esponenziale.
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