EQUAZIONI ELEMENTARI IN COSENO – GONIOMETRIA

Le equazioni elementari in coseno sono equazioni del tipo coseno di x uguale ad una costante

$$\cos x=h$$

Oltre a questo tipo di equazioni tratteremo anche delle forme più generale di equazioni

$$\begin{aligned}&\cos\left(f(x)\right)=h\\&\\&\cos\left(f(x)\right)=\cos\left(g(x)\right)\end{aligned}$$

EQUAZIONI ELEMENTARI IN COSENO DEL TIPO COS(X)=H

Le equazioni elementari in coseno nella forma più essenziale sono del tipo 

$$\cos x=h$$

Per risolvere questo tipo di equazione mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza goniometrica

$$X^2+Y^2=1$$

Dove:

$$X=\cos x\qquad Y=\sin x$$

Con l’equazione della retta verticale 

$$X=h$$

Quindi un sistema di questo tipo

$$\begin{cases} X^2+Y^2=1\\ X=h\end{cases}$$

Mostriamolo meglio con questa figura

In questo modo andiamo ad identificare gli eventuali punti sulla circonferenza attraverso cui risaliamo agli angoli che sono le soluzioni dell’equazione.

L’esistenza di tali soluzioni dipende dal valore della costante h.

In particolare abbiamo due soluzioni quando il modulo di h è minore di 1, ovvero i suoi valori sono compresi tra –1 e +1.

Tali soluzioni sono più o meno arcocoseno di h  con la periodicità del coseno che è di 2π

$$\begin{aligned}&|h|<1\quad\to\quad-1<h<1\quad\to\quad\text{2 soluzioni}\\&\\&x=\pm\text{arccos}h+2k\pi\end{aligned}$$

Quando i valori della costante h sono +1 oppure –1 (modulo di h uguale a 1) abbiamo una sola soluzione di x

In particolare per h uguale ad 1 finiamo nell’angolo di 0π (0 gradi) con la periodicità di 2π (360 gradi)

Mentre per il valore di h pari a –1 finiamo nell’angolo opposto ovvero π +2kπ

$$\begin{aligned}&|h|=1\quad\to\quad h=\pm1\quad\to\quad\text{1 soluzioni}\\&\begin{array}{l}h=1&\to&x=2k\pi\\ h=-1&\to&x=\pi+2k\pi\end{array}\end{aligned}$$

Quando invece il modulo di h è maggiore di 1, ovvero h risulta minore di –1 oppure maggiore di 1 allora non vi saranno soluzioni dell’equazione.

$$\begin{aligned}&|h|>1\quad\to\quad h<-1\lor h>1\quad\to\quad\text{nessuna soluzione}\\&\\&\not\exists x\in\mathbb{R}\quad\to\quad\emptyset\end{aligned}$$

Mostriamolo meglio nella figura sotto

ALCUNE PRECAUZIONE PRIMA DI PARTIRE CON GLI ESEMPI

Prima di partire con i primi esempi di equazioni vi consiglio vivamente  alcune precauzioni.

La prima riguarda il valore dei coseni dei principali angoli noti.

Mentre la seconda (connessa alla prima) come vengono collocati gli angoli principali sulla circonferenza goniometrica

TABELLA DEI COSENI DI ANGOLI NOTI

Riportiamo sotto la tabella dei coseni dei principali angoli

LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Il secondo promemoria che riportiamo riguarda la circonferenza goniometrica con i principali angoli noti

ESEMPI DI EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO: COS(X)=H

Svolgiamo dunque degli esempi pratici di equazioni elementari in cosenonella forma basica 

$$\cos x=h$$

ESEMPIO 1

$$\cos x=\frac{1}{2}$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta X=1/2

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\X=\frac{1}{2} \end{cases}$$\quad X=\cos x\ ,\ Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$\frac{1}{4}+Y^2=1\quad\to\quad Y^2=\frac{3}{4}\quad\to\quad Y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\quad\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\quad\to\quad(cos x,\sin x$$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Siccome il valore di 1/2 è compreso tra –1 e +1 l’equazione elementare in coseno ammette due soluzioni che sono

$$x=\pm\text{arccos}\frac{1}{2}+2k\pi$$

Ricordiamo che l’arcocoseno di 1/2 ovvero l’angolo il cui coseno vale 1/2 è π/3 dunque possiamo anche scrivere

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$x=\pm60^o+k\ 360^o$$

ESEMPIO 2 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN COSENO

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta X=1/2

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\X=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$\quad X=\cos x\ ,\ Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$\frac{1}{2}+Y^2=1\quad\to\quad Y^2=\frac{1}{2}\quad\to\quad Y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\quad\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\quad\to\quad(cos x,\sin x)$$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$x=\pm\frac{3}{4}\pi+2k\pi$$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Siccome il valore di –√2/2 è compreso tra –1 e +1 l’equazione elementare in coseno ammette due soluzioni che sono

$$x=\pm\text{arccos}\frac{\sqrt{2}}{2}+2k\pi$$

Ricordiamo che l’arcocoseno di –√2/2 ovvero l’angolo il cui coseno vale –√2/2 è  3/4 π dunque possiamo anche scrivere

$$x=\pm\frac{3}{4}\pi+2k\pi$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$x=\pm135^o+k\ 360^o$$

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ESEMPIO 3 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN COSENO

$$\cos x=1$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta X=1

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\X=1\end{cases}$$\quad X=\cos x\ ,\ Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$1+Y^2=1\quad\to\quad Y^2=0\quad\to\quad Y=0$$

Dunque finiamo nel punto della circonferenza

$$(1,0)\quad\to\quad(\sin x,\cos x)$$

 che corrispondono all’angolo noto

$$x=2k\pi$$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Il valore del coseno 0 ammette un solo angolo soluzione che è l’arcoseno di 1 ovvero 0π che è l’angolo nullo

$$x=\text{arccos}1+2k\pi\quad\to\quad x=0\pi+2k\pi=2k\pi$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$x=0^o+k\ 360^o=k\ 360^o$$

ESEMPIO 4 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN COSENO

$$\cos x=\sqrt{2}$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta X=√2

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\X=\sqrt{2}\end{cases}$$\quad X=\cos x\ ,\ Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$2+Y^2=1\quad\to\quad Y^2=-1\quad\to\quad\emptyset$$

Non esiste per tanto alcuna soluzione dell’equazione.

Come si può notare infatti graficamente non abbiamo alcuna intersezione tra la circonferenza goniometrica e la retta

Non esiste infatti alcun angolo che abbia un coseno maggiore di 1.

EQUAZIONI ELEMENTARI IN COSENO DEL TIPO COS(f(x))=K

Un secondo tipo di equazione elementare in coseno che vediamo è il seguente

$$\cos\left(f(x)\right)=h$$

Questo tipo di equazione è riconducibile a quelle del primo tipo.

Lo stratagemma logico è quello di usare la sostituzione

$$f(x)=t$$

 di modo che l’equazione diventi quella nota 

$$\cos t=h$$

Una volta trovati gli eventuali valori di t* ci basta risolvere l’equazione

$$f(x)=t^*\quad\text{con $t^*\in\mathbb{R}$}$$

Vediamo qualche esempio

ESEMPI DI EQUAZIONE DEL TIPO COS(f(x))=H

Vediamo qualche semplice esempio per schiarirci meglio le idee:

ESEMPIO 1 – COS(f(x))=H

Consideriamo la seguente equazione

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Procediamo con la sostituzione

$$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

A questo punto siamo in una situazione di equazione elementare in coseno del tipo basico

Le soluzioni sono del tipo

$$t=\pm\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}+2k\pi$$

Siccome siamo in presenza di angoli noti scriviamo

$$t=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi$$

Mostriamo in figura questi primi passaggi

A questo punto lavoriamo su ognuno dei due valori di t trovati per ricavare il valore dell’angolo soluzione x

Partiamo dal primo valore di t

$$t=\frac{\pi}{6}+2k\pi$$

Sostituiamo la t con l’espressione in x

$$2x-\frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{6}+2k\pi$$

Ora andiamo a ricavare il valore di x

$$\begin{aligned}&2x=\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{6}+2k\pi\\&2x=\frac{13}{42}\pi+2k\pi\\&x=\frac{13}{84}\pi+k\pi\end{aligned}$4

Esprimendo il risultato in gradi otteniamo

$$x\approx27,86^o+k\ 180^o$$

Consideriamo ora il secondo valore di t

$$t=-\frac{\pi}{6}\pi+2k\pi$$

Sostituiamo l’espressione in x 

$$2x-\frac{\pi}{7}=-\frac{\pi}{6}\pi+2k\pi$$

Isoliamo e ricaviamo la x

$$\begin{aligned}&2x=\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{6}\pi+2k\pi\\&2x=-\frac{1}{21}\pi+2k\pi\\&x=-\frac{1}{84}\pi+k\pi\end{aligned}$$

Possiamo esprimere anche il secondo risultato in gradi

$$x\approx2,14^o+k\ 180^o$$

ESEMPIO 2 – COS(f(x))=H

Ricordiamo che dietro la forma 

$$\cos\left(f(x)\right)=k$$

Può celarsi una qualsiasi espressione di f(x) 

Ad esempio possiamo considerare l’equazione

$$\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Trasformata in equazione elementare in coseno con la sostituzione diventa

$$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Da cui troviamo le soluzioni (angoli noti) 

$$t=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi$$

Sostituiamo ancora in x

$$\frac{1}{x}=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi$$

Ribaltiamo tutto per trovare la x

$$x=\frac{1}{\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi}$$

ESEMPIO 3 – COS(f(x))=H

Mettiamoci un bel valore assoluto

$$\cos\left(|x|-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{3}$$

Trasformata in equazione elementare in coseno con la sostituzione diventa

$$\cos t=\frac{1}{3}$$

Essendo 1/3 compreso tra –1 e +1 abbiamo due soluzioni

$$t=\pm\text{arccos}\frac{1}{3}+2k\pi$$

Ricordiamo che espresso in gradi questo angolo vale circa

$$\text{arccos}\frac{1}{3}\approx70,53^o$$

Sostituiamo in x

$$|x|-\frac{\pi}{2}=\pm\text{arccos}\frac{1}{3}+2k\pi$$

Isoliamo il modulo

$$|x|=\frac{\pi}{2}\pm\text{arccos}\frac{1}{3}+2k\pi$$

Da notare che il modulo deve essere necessariamente una quantità positiva!

Dunque dobbiamo lavorare su quei valori di k che rendono positiva la parte destra dell’equazione

Questa condizione è certamente verificata per k=0 dove il valore specifico dell’angolo minore risulta 

$$k=0\quad\to\quad\frac{\pi}{2}\pm\text{arccos}\frac{1}{3}\approx19,47^o$$

Ma non risulta verificato per k=-1 (valore per cui l’angolo maggiore due risulta negativo infatti) 

$$k=-1\quad\to\quad\frac{\pi}{2}\pm\text{arccos}\frac{1}{3}-2\pi\approx-199,47^o$$

Dunque possiamo dire che il termine destro dell’equazione risulta verificato positivo per k>=0

$$|x|=\frac{\pi}{2}\pm\text{arccos}\frac{1}{3}+2\color{blue}{k}\pi\quad\text{con }\ \color{blue}{k\ge0}$$

Togliamo il valore assoluto

$$x=\pm\left(\frac{\pi}{2}\pm\text{arccos}\frac{1}{3}+2k\pi\right)\quad k\ge0$$

La periodicità può anche essere omessa dal modulo in quanto ci porta sempre agli stessi valori

$$x=\pm\left(\frac{\pi}{2}\pm\text{arccos}\frac{1}{3}\right)+2k\pi\quad k\ge0$$

ESEMPIO 4 – COS(f(x))=H

Ragioniamo ora con una bella radice quadrata

$$\cos\left(\sqrt{x}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Il coseno si annulla negli angoli del tipo π/2+kπ

$$\cos t=0\quad\to\quad t=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

Dunque sostituendo in x abbiamo 

$$\sqrt{x}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

Ovvero se isoliamo la x l’espressione diventa 

$$\begin{aligned}&\sqrt{x}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+k\pi\\&\sqrt{x}=\frac{\pi}{4}+k\pi\end{aligned} $$

Attenzione a questo punto!!!

In generale il valore di k è un numero relativo, ma in questa situazione dobbiamo avere come condizione che il lato destro dell’equazione deve necessariamente essere positivo.

Questo dal momento che la radice di x deve essere positiva!

Analogamente a prima i valori di k che rendono positivo il lato destro dell’equazione sono quelli maggiori o uguali a zero

Ora possiamo finalmente risolvere la nostra equazione

$$\sqrt{x}=\frac{\pi}{4}+\color{blue}{k}\pi\quad\text{con }\ \color{blue}{k\ge0}$$

Eleviamo ambo i membri al quadrato

$$x=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)^2\quad\text{con }\ k\ge0$$

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EQUAZIONI IN COSENO DEL TIPO COS(F(X)) = COS(G(X))

L’ultimo caso di equazione elementari in coseno che analizziamo è il caso 

$$\cos\left(f(x)\right)=\cos\left(g(x)\right)$$

Vediamo insieme il ragionamento sottostante.

Riscriviamo in modo più semplice questa equazione usando 𝛼 e 𝛽

$$\cos\alpha=\cos\beta$$

Dobbiamo cercare un certo angolo 𝛼 che abbia lo stesso coseno dell’angolo 𝛽.

Questo è certamente possibile nel caso in cui l’angolo 𝛼 coincide con l’angolo 𝛽.

Inserendo la periodicità tipica del seno scriviamo:

$$\alpha=\beta+2k\pi$$

L’altra soluzione (un po’ meno evidente) è che l’angolo opposto –𝛽

$$\alpha=-\beta+2k\pi$$

Mettendo insieme i pezzi scriviamo:

$$\alpha=\pm\beta+2k\pi$$

Scritto in termini delle funzioni f(x) e g(x) possiamo scrivere 

$$f(x)=\pm g(x)+2k\pi$$

La cosa risulta molto evidente guardando il grafico

ESEMPI DI EQUAZIONI DEL TIPO COS(F(X)) = COS(G(X))

ESEMPIO 1

Partiamo da questo primo esempio

$$\cos(2x+\pi)=\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

La soluzione generale a questa equazione è

$$2x+\pi=\pm\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi$$

Da un lato abbiamo la coincidenza tra i due angoli (con la periodicità) 

$$2x+\pi=x-\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Mentre dall’altro abbiamo l’angolo opposto

$$2x+\pi=-\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi$$

Sviluppiamo la prima parte

$$\begin{aligned}&2x+\pi=x-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&x=-\frac{\pi}{3}-\pi+2k\pi\\&x=-\frac{4}{3}\pi+2k\pi\\&x=-\frac{4}{3}\pi+2k\pi\end{aligned}$$

Questa soluzione può anche essere scritta così

$$x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi$$

Mentre la seconda parte è:

$$\begin{aligned}&2x+\pi=-\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\\&2x+\pi=-x+\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&3x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi\\&x=-\frac{2}{9}\pi+\frac{2}{3}k\pi\end{aligned}$$

Rappresentiamo le soluzioni:

EQUAZIONI IN SENO DEL TIPO COS(F(X)) = SIN(G(X))

Un caso certamente assimilabile al precedente è quello dove abbiamo il coseno di un certo angolo uguale al seno di un altro angolo.

$$\cos\left(f(x)\right)=\sin\left(g(x)\right)$$

In tal situazione dobbiamo ricordare le relazioni degli angoli associati.

In particolare la situazione in cui il coseno di un certo angolo è uguale al seno di π/2 meno l’angolo

Con questo stratagemma riscriviamo l’equazione come segue

$$\cos\left(f(x)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-g(x)\right)$$

In tal situazione procediamo come nel caso precedente

ESEMPIO

Consideriamo la seguente situazione

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Scriviamo l’equazione tutta in coseno

$$\begin{aligned}&\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\\&\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(-5x+\frac{3}{4}\pi\right)\end{aligned}$$

La soluzione generale è:

$$2x+\frac{\pi}{3}=\pm\left(-5x+\frac{3}{4}\pi\right)+2k\pi$$

A questo punto analizziamo i due filoni di soluzioni.

Il primo filone ci conduce all’uguaglianza degli angoli

$$\begin{aligned}&2x+\frac{\pi}{3}=-5x+\frac{3}{4}\pi+2k\pi\\&7x=\frac{3}{4}\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&7x=\frac{5}{12}\pi+2k\pi\\&x=\frac{5}{84}+\frac{2}{7}k\pi\end{aligned}$$

Mentre con il secondo filone andiamo sul supplementare del secondo angolo

$$\begin{aligned}&2x+\frac{\pi}{3}=-\left(-5x+\frac{3}{4}\pi\right)+2k\pi\\&2x+\frac{\pi}{3}=5x-\frac{3}{4}\pi+2k\pi\\&2x-3x=-\frac{3}{4}\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&-3x=-\frac{13}{12}\pi+2k\pi\\&3x=\frac{13}{12}+2k\pi\end{aligned}$$

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