EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO

Le equazioni elementari in seno sono equazioni del tipo seno di x uguale ad una costante

$$ \sin x = k \quad \text{con $k \in \mathbb{R}$}$$

Oltre a questo tipo di equazioni tratteremo anche delle forme più generale di equazioni

$$ \begin{array}{l} \sin \left( f(x) \right) = k \quad \text{con $k \in \mathbb{R}$} \\ \sin \left( f(x) \right)= \sin \left( g(x) \right) \end{array} $$

EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO DEL TIPO SIN(X)=K

Le equazioni elementari in seno nella forma più essenziale sono del tipo 

$$ \large \sin x = k \quad \text{con $k \in \mathbb{R}$}$$

Per risolvere questo tipo di equazione mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza goniometrica

$$ X^2+Y^2 = 1 \quad \text{con}\ \begin{cases} X= \cos x \\ Y= \sin x \end{cases}$$

Con l’equazione della retta orizzontale 

$$ Y= k $$

Quindi un sistema di questo tipo

$$ \begin{cases} X^2+Y^2 = 1 \\ Y=k \end{cases} $$

Mostriamolo meglio con questa figura

In questo modo andiamo ad identificare gli eventuali punti sulla circonferenza attraverso cui risaliamo agli angoli che sono le soluzioni dell’equazione.

L’esistenza di tali soluzioni dipende dal valore della costante k.

In particolare abbiamo due soluzioni quando il modulo di k è minore di 1, ovvero i suoi valori sono compresi tra –1 e +1.

Tali soluzioni sono l’arcoseno di k e π–arcoseno di k con la periodicità del seno che è di 2π

$$ |k|<1 \to -1 <k<1 \to \text{2 soluzioni} \\ \ \\ x= \arcsin k + 2k \pi \lor x = \pi – \arcsin k +2k \pi $$

Quando i valori della costante k sono +1 oppure –1 (modulo di k uguale a 1) abbiamo una sola soluzione di x

In particolare per k uguale ad 1 finiamo nell’angolo di π/2 (90 gradi) con la periodicità di 2π (360 gradi)

Mentre per il valore di k pari a –1 finiamo nell’angolo opposto ovvero –π/2 +2kπ

$$ |k|=1 \to k=\pm 1 \to \text{1 soluzione} \\ \ \\ x= \frac{\pi}{2} + 2k \pi \lor x =\ – \frac{\pi}{2} +2k \pi $$

Quando invece il modulo di k è maggiore di 1, ovvero k risulta minore di –1 oppure maggiore di 1 allora non vi saranno soluzioni dell’equazione.

$$ |k|>1 \to k<-1 \lor k>1 \to \text{nessuna soluzione} \\ \ \\ \not \exists x \in \mathbb{R} $$

Mostriamolo meglio nella figura sotto

ALCUNE PRECAUZIONE PRIMA DI PARTIRE CON GLI ESEMPI

Prima di partire con i primi esempi di equazioni vi consiglio vivamente  alcune precauzioni.

La prima riguarda il valore dei seni dei principali angoli noti.

Mentre la seconda (connessa alla prima) come vengono collocati gli angoli principali sulla circonferenza goniometrica

TABELLA DEI SENI DI ANGOLI NOTI

Riportiamo come promemoria la tabella dei seni dei principali algoli

LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Il secondo promemoria che riportiamo riguarda la circonferenza goniometrica con i principali angoli noti

ESEMPI DI EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO: SIN(X)=K

Svolgiamo dunque degli esempi pratici di equazioni elementari in seno nella forma basica 

$$ \sin x = k \quad \text{con $k \in \mathbb{R}$}$$

ESEMPIO 1

$$ \sin x = \frac{1}{2} $$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=1/2

$$ \begin{cases} X^2+Y^2 = 1 \\ Y=k \end{cases} \quad \text{con}\ X= \cos x \land Y= \sin x $$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$ X^2 + \frac{1}{4} = 1 \to X^2= \frac{3}{4} \to X = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right) \cup \left( – \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right) \to (\cos x , \sin x ) $$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2 k\pi \lor x = \frac{5}{6} \pi + 2 k\pi \lor $$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Siccome il valore di 1/2 è compreso tra –1 e +1 l’equazione elementare in seno ammette due soluzioni che sono

$$ x = \arcsin \frac{1}{2} + 2k \pi \lor x =\ – \arcsin \frac{1}{2} + 2k \pi $$

Ricordiamo che l’arcoseno di 1/2 ovvero l’angolo il cui seno vale 1/2 è π/6 dunque possiamo anche scrivere

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2 k\pi \lor x = \frac{5}{6} \pi + 2 k\pi \lor $$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$ x=30^o +k 360^o \lor x=150^o +k360^o $$

ESEMPIO 2 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO

$$ \sin x =\ – \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=-√2/2

$$ \begin{cases} X^2+Y^2 = 1 \\ Y=\ – \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \quad \text{con}\ X= \cos x \land Y= \sin x $$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$ X^2 + \frac{1}{2} = 1 \to X^2= \frac{1}{2} \to X = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$ \left( \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left( – \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \to (\cos x , \sin x ) $$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$ x =\ – \frac{\pi}{4} + 2 k\pi \lor x =\ – \frac{3}{4} \pi + 2 k\pi \lor $$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Siccome il valore di √2/2 è compreso tra –1 e +1 l’equazione elementare in seno ammette due soluzioni che sono

$ x =\ – \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2k \pi \lor x =\pi – \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2k \pi $$

Ricordiamo che l’arcoseno di –√2/2 ovvero l’angolo il cui seno vale –√2/2 è –π/4 dunque possiamo anche scrivere

$$ x =\ – \frac{\pi}{4} + 2 k\pi \lor x =\ – \frac{3}{4} \pi + 2 k\pi \lor $$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$ x=-45^o +k 360^o \lor x=-135^o +k360^o $$

ESEMPIO 3 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO

$$ \sin x = 1 $$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=1

$$ \begin{cases} X^2+Y^2 = 1 \\ Y=1 \end{cases} \quad \text{con}\ X= \cos x \land Y= \sin x $$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$ X^2+1=1 \to X^2=0 \to X=0 $$

Dunque finiamo nel punto della circonferenza

$$ (0,1) \to (\cos x , \sin x ) $$

 che corrispondono all’angolo noto

$$ x= \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Il valore del seno 1 ammette un solo angolo soluzione che è l’arcoseno di 1 ovvero π/2 che è l’angolo retto (90 gradi)

$$ x= \arcsin 1 +2k\pi + 2k\pi \to \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$ x = 90^o + k 360^o $$

ESEMPIO 4 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO

$$ \sin x = \sqrt{2} $$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=√2

$$ \begin{cases} X^2+Y^2 = 1 \\ Y= \sqrt{2} \end{cases} \quad \text{con}\ X= \cos x \land Y= \sin x $$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$ X^2+2=1 \to X^2=-1 \to \emptyset $$

Non esiste per tanto alcuna soluzione dell’equazione.

$$ ( \not \exists x \in \mathbb{R}) $$

Come si può notare infatti graficamente non abbiamo alcuna intersezione tra la circonferenza goniometrica e la retta

EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO DEL TIPO SIN(f(x))=K

Un secondo tipo di equazione elementare in seno che vediamo è il seguente

$$ \large \sin \left( f(x) \right) = k \quad \text{con $k \in \mathbb{R}$} $$

Questo tipo di equazione è riconducibile a quelle del primo tipo.

Lo stratagemma logico è quello di usare la sostituzione

$$ f(x)= t $$

 di modo che l’equazione diventi quella nota 

$$ \sin t = k $$

Una volta trovati gli eventuali valori di t* ci basta risolvere l’equazione

$$ f(x) = t^* \quad \text{con $t \in \mathbb{R}$} $$

Sembra più difficile a dirsi che a farsi.

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ESEMPI DI EQUAZIONE DEL TIPO SIN(f(x))=K

Vediamo qualche semplice esempio per schiarirci meglio le idee:

ESEMPIO 1 – SIN(f(x)) = k

Consideriamo la seguente equazione

$$ \sin \left( 2x- \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Procediamo con la sostituzione

$$ \sin \left( 2x- \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \overset{t=2x- \frac{\pi}{7} }{\longrightarrow} \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

A questo punto siamo in una situazione di equazione elementare in seno del tipo basico

Le soluzioni sono del tipo

$$ t = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2k\pi \lor t= \pi – \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} +2k \pi $$

Siccome siamo in presenza di angoli noti scriviamo

$$ t = \arcsin \frac{\pi}{3}+ 2k\pi \lor t= \frac{2}{3} \pi+2k \pi $$

Mostriamo in figura questi primi passaggi

A questo punto lavoriamo su ognuno dei due valori di t trovati per ricavare il valore dell’angolo soluzione x

Partiamo dal primo valore di t

$$ t = \frac{\pi}{3} +2k\pi $$

Sostituiamo la t con l’espressione in x

$$ 2x- \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{3} +2k\pi $$

Ora andiamo a ricavare il valore di x

$$ 2x= \frac{\pi}{7} \frac{\pi}{3} +2k\pi \to 2x= \frac{10}{21} \pi + 2k\pi \to x= \frac{5}{21}\pi +k\pi $$

Esprimendo il risultato in gradi otteniamo

$$ \approx 42,85^o +k180^o $$

Consideriamo ora il secondo valore di t

Sostituiamo l’espressione in x 

$$ 2x- \frac{\pi}{7} = \frac{2}{3} \pi +2k\pi $$

Isoliamo e ricaviamo la x

$$ 2x = \frac{\pi}{7} + \frac{2}{3} \pi +2k\pi \to 2x = \frac{17}{21} \pi +2k\pi \to x= \frac{17}{42}+k\pi $$

Possiamo esprimere anche il secondo risultato in gradi

$$ x \approx 72,85^o +k180^o $$

ESEMPIO 2 – SIN(f(x)) = k

Ricordiamo che dietro la forma 

$$ \sin \left( f(x) \right) = k $$

Può celarsi una qualsiasi espressione di f(x) 

Ad esempio possiamo considerare l’equazione

$$ \sin \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Trasformata in equazione elementare in seno con la sostituzione diventa

$$ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Da cui troviamo le soluzioni (angoli noti) 

$$ t = \frac{\pi}{3} +2k\pi \lor t= \frac{2}{3} \pi +2k\pi $$

Lavoriamo sul primo valore di t (sostituendo in x) 

$$ \frac{1}{x} = \frac{\pi}{3} +2k\pi $$

Ribaltiamo tutto per trovare la x

$$ x = \frac{1}{\frac{\pi}{3} +2k\pi} $$

Stesso ragionamento lo facciamo per il secondo valore di t

$$ \frac{1}{x} = \frac{2}{3}\pi +2k\pi \to x= \frac{1}{\frac{2}{3}\pi +2k\pi} $$

ESEMPIO 3 – SIN(f(x)) = k

Mettiamoci un bel valore assoluto

$$ \sin \left( |x| – \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{3} $$

Trasformata in equazione elementare in seno con la sostituzione diventa

$$ \sin \left( |x| – \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{3} \overset{t=|x| – \frac{\pi}{2}}{\longrightarrow} \sin t = \frac{1}{3}$$

Essendo 1/3 compreso tra –1 e +1 abbiamo due soluzioni

$$ t= \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi \lor t=\pi – \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi $$

Ricordiamo che espresso in gradi questo angolo vale circa

$$ \arcsin \frac{1}{3} \approx 19,47^o \quad \pi – \arcsin \frac{1}{3} \approx 160,53^o $$

Lavoriamo ora sul primo valore di t

$$ t = \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi $$

Sostituiamo in x:

$$ |x| – \frac{\pi}{2} = \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi $$

Isoliamo il modulo

$$ |x| = \frac{\pi}{2} + \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi $$

Togliamo il valore assoluto

$$ x = \pm \left( \frac{\pi}{2} + \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi \right) $$

La periodicità può anche essere omessa dal modulo in quanto ci porta sempre agli stessi valori

$$ x = \pm \left( \frac{\pi}{2} + \arcsin \frac{1}{3} \right) +2k\pi $$

Lo stesso ragionamento lo facciamo con il secondo angolo

$$ \begin{array}{l} t=\pi – \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi \\ |x|- \frac{\pi}{2}=\pi – \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi \\ |x| = \frac{\pi}{2} + \pi – \arcsin \frac{1}{3} +2k\pi \\ x = \pm \left( \frac{3}{2}\pi – \arcsin \frac{1}{3} \right) +2k\pi \end{array}$$

ESEMPIO 4 – SIN(f(x)) = k

Ragioniamo ora con una bella radice quadrata

$$ \sin \left( \sqrt{x} + \frac{\pi}{4} \right) = 0 $$

Il seno si annulla negli angoli del tipo kπ

$$ \sin \left( \sqrt{x} + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \overset{t=\sqrt{x} + \frac{\pi}{4} }{\longrightarrow} \sin t = 0 \to t = k\pi $$

Dunque sostituendo in x abbiamo 

$$ \sqrt{x} + \frac{\pi}{4} = k\pi $$

Ovvero se isoliamo la x l’espressione diventa 

$$ \sqrt{x} = k\pi – \frac{\pi}{4} $$

Attenzione a questo punto!!!

In generale il valore di k è un numero relativo, ma in questa situazione dobbiamo avere come condizione che il lato destro dell’equazione deve necessariamente essere positivo.

Questo dal momento che la radice di x deve essere positiva!

Per capire meglio questo punto visualizziamo graficamente la situazione

In corrispondenza dell’angolo –π/4   (in basso a destra) figurano tutti gli angoli del tipo

$$ k\pi – \frac{\pi}{4} \quad \text{con $k$ pari} $$

Da notare che in rosso vi sono i valori scartati (–2,0) ma potremmo dire tutti quello inferiori o uguali a zero

Questi angoli segnati in rosso risultano di valore negativo e pertanto non accettabili come soluzioni dell’equazione

$$ \sqrt{x} = k\pi – \frac{\pi}{4} $$

Mentre quelli segnati in nero sono valori accettabili che sono quelli maggiori di zero, da 2 in poi

Analogamente possiamo osservare che in corrispondenza dell’angolo π/4gli angoli accettati sono quelli dispari da 1in poi.

Quindi ricapitolando l’equazione ammette soluzione solamente per i valori di k maggiori uguali ad 1

$$ \sqrt{x} = k\pi – \frac{\pi}{4} \quad \text{con $k \ge 1 $}$$

A questo punto possiamo elevare ambo i membri al quadrato

$$ x= \left( k\pi – \frac{}{}

EQUAZIONI IN SENO DEL TIPO SIN(F(X)) = SIN(G(X))

L’ultimo caso di equazione elementari in seno che analizziamo è il caso 

$$ \large \sin \left( f(x) \right) = \sin \left( g(x) \right) $$

Il ragionamento che sta dietro a questa tipologia di equazione è il seguente.

Riscriviamo in modo più semplice questa equazione usando 𝛼 e 𝛽

$$ \sin \alpha = \sin \beta $$

Dobbiamo cercare un certo angolo 𝛼 che abbia lo stesso seno dell’angolo 𝛽.

Questo è certamente possibile nel caso in cui l’angolo 𝛼 coincide con l’angolo 𝛽.

Inserendo la periodicità tipica del seno scriviamo:

$$ \alpha = \beta +2k\pi $$

L’altra soluzione (un po’ meno evidente) è che l’angolo 𝛼 sia pari a 𝜋–𝛽

$$ \alpha = \pi – \beta + 2k\pi $$

Scritto in termini delle funzioni f(x) e g(x) possiamo scrivere 

$$ f(x) = g(x) +2k\pi \lor f(x) = \pi- g(x) +2k\pi $$

La cosa risulta molto evidente guardando il grafico

ESEMPI DI EQUAZIONI DEL TIPO SIN(F(X)) = SIN(G(X))

ESEMPIO 1 – SIN(F(X)) = SIN(G(X))

Partiamo da questo primo esempio

$$ \sin \left( 2x+\pi \right) = \sin \left( x-\frac{\pi}{3} \right) $$

La soluzione generale a questa equazione si divide in due parti

Da un lato abbiamo la coincidenza tra i due angoli (con la periodicità) 

$$ 2x+\pi = x-\frac{\pi}{3} +2k\pi $$

Mentre dall’altro abbiamo l’angolo supplementare

$$ 2x+\pi = \pi – \left( x-\frac{\pi}{3} \right) +2k\pi $$

Sviluppiamo la prima parte

$$ 2x+\pi = x- \frac{\pi}{3} +2k\pi \to x=\ – \frac{\pi}{3} -\pi +2k\pi \to x =\ -\frac{4}{3} \pi +2k\pi $$

Questa soluzione può anche essere scritta così

$$ x = \frac{2}{3} +2k\pi $$

Mentre la seconda parte è:

$$ 2x+\pi = \pi – \left( x-\frac{\pi}{3} \right) +2k\pi \to 2x+\pi = \pi – x+ \frac{\pi}{3} +2k\pi \to 3x= \frac{\pi}{3} +2k\pi $$

Da cui giungiamo alla seconda soluzione:

$$ x= \frac{\pi}{9} + \frac{2}{3} k\pi $$

Rappresentiamo le soluzioni:

EQUAZIONI IN SENO DEL TIPO SIN(F(X)) = COS(G(X))

Un caso certamente assimilabile al precedente è quello dove abbiamo il seno di un certo angolo uguale al coseno di un altro angolo.

$$ \large \sin \left( f(x) \right) = \cos \left( g(x) \right) $$

In tal situazione dobbiamo ricordare le relazioni degli angoli associati.

In particolare la situazione in cui il coseno di un certo angolo è uguale al seno di π/2 meno l’angolo

Con questo stratagemma riscriviamo l’equazione come segue

$$ \large \sin \left( f(x) \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} – f(x) \right) $$

In tal situazione procediamo come nel caso precedente

ESEMPIO – SIN (f(x)) = SIN (g(x))

Consideriamo la seguente situazione

$$ \sin \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( 5x- \frac{\pi}{4} \right) $$

Scriviamo l’equazione tutta in seno

$$ \begin{array}{l} \sin \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2}- \left( 5x- \frac{\pi}{4} \right) \right) \\ \sin \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( -5x + \frac{3}{4}\pi \right) \end{array} $$

A questo punto analizziamo i due filoni di soluzioni.

Il primo filone ci conduce all’uguaglianza degli angoli

$$ \begin{array}{l} 2x+ \frac{\pi}{3} = -5x + \frac{3}{4}\pi +2k\pi \\ 7x= \frac{3}{4}\pi – \frac{\pi}{3} +2k\pi \\ 7x = \frac{5}{12} \pi +2k\pi \\ x= \frac{5}{84} \pi + \frac{2}{7} k\pi \end{array}$$

Mentre con il secondo filone andiamo sul supplementare del secondo angolo

$$ \begin{array}{l} 2x+ \frac{\pi}{3} = \pi – \left( -5x+\frac{3}{4}\pi \right) +2k\pi \\ 2x+ \frac{\pi}{3} = \pi +5x – \frac{3}{4}\pi +2k\pi \\ 2x-5x = \pi – \frac{3}{4}\pi – \frac{\pi}{3} +2k\pi \\ -3x = \frac{1}{12} \pi +2k\pi \\ 3x = \frac{1}{12} \pi +2k\pi \\ x= \frac{1}{36} \pi + \frac{2}{3} k\pi \end{array}$$

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