EQUAZIONI ELEMENTARI IN TANGENTE – GONIOMETRIA

Le equazioni elementari in tangente sono equazioni del tipo tangente di x uguale ad una costante

$$\tan x=m$$

Oltre a questo tipo di equazioni tratteremo anche delle forme più generale di equazioni

$$\begin{aligned}&\tan\left(f(x)\right)=m\\ \ \\ &\tan\left(f(x)\right)=\tan\left(g(x)\right)\end{aligned}$$

EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO DEL TIPO TAN(X)=M

La forma più essenziale delle equazioni elementari in tangente è del tipo 

$$\tan x=m$$

Per risolvere questo tipo di equazione mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza goniometrica

$$X^2+Y^2=1$$

Dove:

$$X=\cos x\qquad Y=\sin x$$

Con l’equazione della retta passante per il centro  

$$Y=mX$$

Quindi un sistema di questo tipo

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\Y=mX \end{cases}$$

Mostriamolo meglio con questa figura

In questo modo andiamo ad identificare gli eventuali punti sulla circonferenza attraverso cui risaliamo agli angoli che sono le soluzioni dell’equazione.

La caratteristica veramente interessante di questo tipo di equazione è che ammette sempre una soluzione per ogni valore reale di m

Ricordiamo infatti che la tangente è una funzione biiettiva.

Per cui ad ogni valore della tangente è sempre associato un angolo.

La soluzione generale a questo tipo di equazione è

$$x=\arctan m+k\pi$$

Dove arctan(m) è l’arco ovvero l’angolo la cui tangente vale m.

Mentre kπ indica la periodicità tipica della funzione tangente

Tale funzione può essere che chiamata tan^-1 in ricordo del fatto che si tratta della funzione inversa della tangente.

Dunque va bene scrivere anche in questo modo la soluzione

$$x=\tan^{-1}m+k\pi$$

Dal punto di vista grafico la tangente indica la pendenza della retta passante per il centro.

Possiamo vederla come il segmento staccato sulla retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0) fino a toccare la retta stessa

ALCUNE PRECAUZIONE PRIMA DELL’USO

Prima di partire con i primi esempi di equazioni vi consiglio vivamente  alcune precauzioni.

La prima riguarda il valore delle tangenti dei principali angoli noti

Mentre la seconda (connessa alla prima) come vengono collocati gli angoli principali sulla circonferenza goniometrica

La terza è quella di saper visualizzare graficamente i valori delle tangenti negli angoli noti

TABELLA DELLE TANGENTI DI ANGOLI NOTI

Riportiamo come promemoria la tabella delle tangenti dei principali angoli

LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Il secondo promemoria che riportiamo riguarda la circonferenza goniometrica con i principali angoli noti

ESEMPI DI EQUAZIONI ELEMENTARI IN TANGENTE: TAN(X)=M

Svolgiamo dunque degli esempi pratici di equazioni elementari in tangente nella forma basica 

$$\tan x=m$$

ESEMPIO 1

$$\tan x=1$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=X

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\Y=X \end{cases}\qquad X=\cos x\quad Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$X^2+X^2=1\quad\to\quad 2X^2=1\quad X=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\quad\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ \to\ (\cos x,\sin x)$$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Sappiamo che la soluzione esiste certamente ed è:

$$x=\arctan1+k\pi$$

Ricordiamo che l’arcotangente di 1 ovvero l’angolo la cui tangente vale 1 è π/4 dunque possiamo anche scrivere

$$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$x=45^o+k\ 180^o$$

ESEMPIO 2 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN TANGENTE

$$\tan x=\sqrt{3}$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=√3X

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\Y=\sqrt{3}X \end{cases}\qquad X=\cos x\quad Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$X^2+3X^2=1\quad\to\quad4X^2\quad\to\quad X=\pm\frac{1}{2}$$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\quad\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\to\ (\cos x, \sin x)$$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$x=\frac{\pi}{3}+k\pi$$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Sappiamo che la soluzione esiste certamente ed è:

$$x=\arctan\sqrt{3}+k\pi$$

Ricordiamo che l’arcotangente di √3 ovvero l’angolo la cui tangente vale √3 è π/3 dunque possiamo anche scrivere

$$x=\frac{\pi}{3}+k\pi$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$x=60^o+k\ 180^o$$

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ESEMPIO 3 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN TANGENTE

$$\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=–√3/3X

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\Y=-\frac{\sqrt{3}}{3}X \end{cases}\qquad X=\cos x\quad Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo 

$$X^2+\frac{1}{3}X^2=1\to\frac{4}{3}X^2=1\to X=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\to Y=\mp\frac{1}{2}$$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\quad \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\ \to\ (\cos x,\sin x)$$

 che corrispondono agli angoli noti 

$$x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$$

Possiamo anche usare il metodo generale seguendo il seguente ragionamento

Sappiamo che la soluzione esiste certamente ed è:

$$x=-\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}+k\pi$$

Ricordiamo che l’arcotangente di √3 ovvero l’angolo la cui tangente vale √3/3 è π/6 dunque possiamo anche scrivere

$$x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi scriviamo

$$x=-30^o+k\ 180^o$$

ESEMPIO 4 – EQUAZIONI ELEMENTARI IN TANGENTE

$$\tan x=e$$

Ricordiamo che e è la costante di Nepero che vale circa 2,7182…

Intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta Y=eX

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\Y=eX \end{cases}\qquad X=\cos x\quad Y=\sin x$$

Sostituendo il valore della y nella prima equazione otteniamo

$$X^2+e^2X^2=1\to(1+e^2)X^2=1 \to X=\pm\frac{1}{\sqrt{1+e^2}}\to Y=\mp\frac{e}{\sqrt{1+e^2}}$$

Dunque finiamo nei punti della circonferenza

$$\left(\pm\frac{1}{\sqrt{1+e^2}},\mp\mp\frac{e}{\sqrt{1+e^2}}\right)\ \to\ (\cos x,\sin x)$$

In questo caso tali punti possono sembrare privi di significato dal momento che  ci troviamo ad angoli non noti 

Tuttavia sappiamo che questi angoli esistono e possiamo tranquillamente chiamarli 

$$x=\arctan e+k\pi$$

L‘arcotangente  di e è l’angolo la cui tangente vale la costante di Nepero e ed il suo valore espresso in gradi è all’incirca

$$\arctan e\approx 69,80^o$$

Se esprimiamo questo risultato in gradi possiamo dunque scrivere

$$x\approx69,80^o+k180^o$$

EQUAZIONI ELEMENTARI IN TANGENTE DEL TIPO TAN(f(x))=M

Un secondo tipo di equazione elementare in tangente che vediamo è il seguente

$$\tan\left(f(x)\right)=m$$

Questo tipo di equazione è riconducibile a quelle del primo tipo.

Lo stratagemma logico è quello di usare la sostituzione

$$f(x)=t$$

 di modo che l’equazione diventi quella nota 

$$\tan t=m$$

Una volta trovati i valori di m* ci basta risolvere l’equazione

$$f(x)=m^*\qquad\text{con $t^*\in\mathbb{R}$}$$

Sembra più difficile a dirsi che a farsi.

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ESEMPI DI EQUAZIONE DEL TIPO TAN(f(x))=M

Vediamo qualche semplice esempio per schiarirci meglio le idee:

ESEMPIO 1 – TAN(f(x))=M

Consideriamo la seguente equazione

$$\tan\left(2x-\frac{\pi}{7}\right)=\sqrt{3}$$

Procediamo con la sostituzione

$$\tan t=\sqrt{3}$$

A questo punto siamo in una situazione di equazione elementare in tangente del tipo basico

La soluzione in t è del tipo

$$t=\arctan\sqrt{3}+k\pi$$

Siccome siamo in presenza di angoli noti scriviamo

$$t=\frac{\pi}{3}+k\pi$$

Mostriamo in figura questi primi passaggi

A questo punto sostituiamo in x

$$t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\to\quad2x-\frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Ora andiamo a ricavare il valore di x

$$\begin{aligned}&2x=\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+k\pi\\&2x=\frac{10}{21}\pi+k\pi\\&x=\frac{5}{21}\pi+\frac{k}{2}\pi\end{aligned}$$

Esprimendo il risultato in gradi otteniamo

$$x\approx42,85^o+k90^o$$

ESEMPIO 2 – TAN(f(x))=M

Ricordiamo che dietro la forma 

$$\tan\left(f(x)\right)=k$$

Può celarsi una qualsiasi espressione di f(x) 

Consideriamo ad esempio la seguente situazione

$$\tan\left(\frac{1}{x}\right)=-1$$

trasformiamola in equazione elementare in tangente con la sostituzione 

$$\tan t=-1$$

Da cui troviamo le soluzioni (angoli noti) 

$$t=-\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Sostituiamo ancora in x

$$\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Ribaltiamo tutto per trovare la x

$$x=\frac{1}{-\frac{\pi}{4}+k\pi}$$

ESEMPIO 3 – TAN(f(x))=M

Mettiamoci un bel valore assoluto

$$\tan\left(|x|-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$$

Trasformiamo in equazione elementare in tangente con la sostituzione 

$$\tan t=\frac{1}{5}$$

Da cui ricaviamo la soluzione generale in t

$$t=\arctan\frac{1}{5}+k\pi$$

Ricordiamo che espresso in gradi questo angolo vale circa

$$\arctan\frac{1}{5}\approx11,31^o$$

Sostituiamo in x

$$|x|-\frac{\pi}{2}=\arctan\frac{1}{5}+k\pi$$

Isoliamo il modulo

$$|x|=\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{1}{5}+k\pi$$

Da notare che il modulo deve essere necessariamente una quantità positiva!

Dunque dobbiamo lavorare su quei valori di k che rendono positiva la parte destra dell’equazione

Questa condizione è certamente verificata per k=0 dove risulta 

$$k=0\quad\to\quad \frac{\pi}{2}+\arctan\frac{1}{5}\approx101,31^o$$

Ma no risulta verificato per k=-1 

$$k=-1\quad\to\quad \frac{\pi}{2}+\arctan\frac{1}{5}-\pi\approx-78,69^o$$

Dunque possiamo dire che il termine destro dell’equazione risulta verificato positivo per k>=0

$$|x|=\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{1}{5}+\color{blue}{k}\pi\quad\color{blue}{k\ge0}$$

Togliamo il valore assoluto

$$x=\pm\left(\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{1}{5}+k\pi\right)\quad k\ge0$$

La periodicità può anche essere omessa dal modulo in quanto ci porta sempre agli stessi valori

$$x=\pm\left(\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{1}{5}\right)+k\pi\quad k\ge0$$

ESEMPIO 4 – TAN(f(x))=M

Ragioniamo ora con una bella radice quadrata

$$\tan\left(\sqrt{x}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

La tangente si annulla negli angoli del tipo kπ

$$\tan t=0\quad\to\quad t=k\pi$$

Dunque sostituendo in x abbiamo 

$$\sqrt{x}+\frac{\pi}{4}=k\pi$$

Ovvero se isoliamo la x l’espressione diventa 

$$\sqrt{x}=-\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Attenzione a questo punto!!!

In generale il valore di k è un numero relativo, ma in questa situazione dobbiamo avere come condizione che il lato destro dell’equazione deve necessariamente essere positivo.

Questo dal momento che la radice di x deve essere positiva!

Analogamente a prima i valori di k che rendono positivo il lato destro dell’equazione sono quelli maggiori o uguali a uno

Ora possiamo finalmente risolvere la nostra equazione

$$\sqrt{x}=-\frac{\pi}{4}+\color{blue}{k}\pi\quad\text{con }\ \color{blue}{k\ge1}$$

Eleviamo ambo i membri al quadrato

$$x=\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\qquad\text{con $k\ge1$}$$

EQUAZIONI IN TANGENTE DEL TIPO TAN(F(X)) = TAN(G(X))

L’ultimo caso di equazione elementari in tangente che analizziamo è il caso 

$$\tan\left(f(x)\right)=\tan\left(g(x)\right)$$

Due angoli hanno la stessa tangente quando uno è uguale all’latro con una periodicità di π

$$f(x)=g(x)+k\pi$$

La cosa risulta molto evidente guardando il grafico

ESEMPI DI EQUAZIONI DEL TIPO TAN(F(X)) = TAN(G(X))

ESEMPIO 1 – TAN(F(X)) = TAN(G(X))

Partiamo da questo primo esempio

$$\tan(2x+\pi)=\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

La soluzione generale a questa equazione è

$$2x+\pi=\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+k\pi$$

Risolviamo 

$$\begin{aligned}&2x+\pi=x-\frac{\pi}{3}+k\pi\\&x=-\frac{\pi}{3}-\pi+k\pi\\&x=-\frac{4}{3}\pi+k\pi\end{aligned}$$

Questa soluzione può anche essere scritta così

$$x=\frac{2}{3}\pi+k\pi$$

EQUAZIONI IN SENO DEL TIPO TAN(F(X)) = COTAN(G(X))

Un caso certamente assimilabile al precedente è quello dove abbiamo la tangente di un certo angolo è uguale alla cotangente di un altro angolo

$$\tan\left(f(x)\right)=\text{cotan}\left(g(x)\right)$$

In tal situazione dobbiamo ricordare le relazioni degli angoli associati.

In particolare la situazione in cui la tangente di un certo angolo è uguale alla cotangente di π/2 meno l’angolo

Con questo stratagemma riscriviamo l’equazione come segue

$$\tan\left(f(x)\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-g(x)\right)$$

In tal situazione procediamo come nel caso precedente

ESEMPIO

Consideriamo la seguente situazione

$$\tan\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\text{cotan}\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Scriviamo l’equazione tutta in seno

$$\begin{aligned}&\tan\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\\&\tan\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\tan\left(-5x+\frac{3}{4}\pi\right)\end{aligned}$$

La soluzione generale è:

$$2x+\frac{\pi}{3}=\left(-5x+\frac{3}{4}\pi\right)+k\pi$$

Risolviamo

$$\begin{aligned}&2x+\frac{\pi}{3}=-5x+\frac{3}{4}\pi+k\pi\\&7x=\frac{3}{4}\pi-\frac{\pi}{3}+k\pi\\&7x=\frac{5}{12}\pi+k\pi\\&x=\frac{5}{84}\pi+\frac{1}{7}k\pi\end{aligned}$$

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