EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

Le equazioni lineari in seno e coseno si presentano nella forma

$$a\cos x+b\sin x+c=0$$

 che ricorda molto l’equazione di una retta.

Vi sono tre metodi principali per poterle risolvere:

• Retta e circonferenza o metodo grafico
• Angolo aggiunto o metodo del raggio 
• Formule parametriche

IL METODO DELLA RETTA E DELLA CIRCONFERENZA (METODO GRAFICO)

Il primo modo per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno è il metodo della retta e della circonferenza, detto anche metodo geometrico o ancora metodo grafico.

 partiamo dall’equazione di partenza

$$a\cos x+b\sin x+c=0$$

A questo punto operiamo due sostituzioni

$$X=\cos x \qquad y=\sin x$$

Per cui l’equazione diventa quella di una retta nel nuovo sistema XOY.

$$aX+bY+c=0$$

Ricordiamo inoltre la relazione fondamentale della goniometria per cui la somma del quadrato del seno e del coseno di uno stesso angolo vale 1

$$\cos^2x+\sin^2x=1$$

Sostituendo nel nuovo sistema di riferimento otteniamo l’equazione della circonferenza goniometrica

$$X^2+Y^2=0$$

Non ci resta ora che mettere a sistema l’equazione della retta con l’equazione della circonferenza

$$\begin{cases}aX+bY+c=0\\ X^2+Y^2=0\end{cases}$$

A questo punto possiamo trovare principalmente tre casi, ovvero la retta può risultare:

• Esterna
• Secante 
• Tangente

 alla circonferenza.

Possiamo apprezzarlo meglio guardando la figura

Nel caso in cui vi sia intersezione calcoliamo le coordinate di tali punti (punto) e da quelle risaliamo al valore degli angoli (dell’angolo) 

ESEMPI DI EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO RISOLTE COL METODO GRAFICO

Vediamo un paio di esempi di equazione lineare in seno e coseno che risolviamo applicando il metodo grafico, ovvero quello della retta e ella circonferenza.

ESEMPIO 1 – E.L. METODO GRAFICO

Consideriamo la seguente equazione lineare

$$\sqrt{3}\cos x+\sin x-\sqrt{3}=0$$

Procediamo con la sostituzione

$$\cos x= X\qquad\sin x=Y$$

Otteniamo l’equazione di una retta

$$\sqrt{3}X+Y-\sqrt{3}=0$$

Mettiamo quindi a sistema l’equazione di questa retta con circonferenza goniometrica

$$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\\sqrt{3}X+Y-\sqrt{3}=0 \end{cases}$$

Dalla seconda equazione ricaviamo il valore della Y in funzione della X

$$Y=-\sqrt{3}X+\sqrt{3}$$

Sostituiamo questo valore nell’equazione della circonferenza

$$X^2+\left(-\sqrt{3}X+\sqrt{3}\right)^2=1$$

Otteniamo in questo modo un’equazione di secondo grado in X

$$\begin{aligned}&X^2+3X^2+3-6X-1=0\\&4X^2-6X+2=0\\&2X^2-3X+1=0\end{aligned}$$

Calcoliamo il discriminate

$$\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1$$

Essendo questo positivo usiamo la formula risolutiva per trovare i valore delle due X

$$X=\frac{3\pm1}{4}\to X_1=1\lor X_2=\frac{1}{2}$$

A questo punto troviamo i corrispondenti valori delle Y sostituendo nell’equazione della retta esplicita

$$\begin{array}{l}X_1=1&\to&Y_1=-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0&\to&\text{PUNTO }\ P_1(1,0)\\ X_2=\frac{1}{2}&\to&Y_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}&\to&\text{PUNTO }\ P_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\end{array}$$

Dal primo punto capiamo di trovarci nell’angolo 0π con la periodicità

$$\text{PUNTO }\ P_1(1,0)\quad\to\quad x=2k\pi$$

 Mentre dal secondo punto arriviamo nell’angolo π/3 con la periodicità

$$\text{PUNTO }\ P_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\quad\to\quad x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Mostriamo i risultati nell’immagine sotto

ESEMPIO 2 – E.L. METODO GRAFICO

Consideriamo la seguente equazione lineare

$$\cos x-\sin x=1$$

Procediamo con la sostituzione

$$\cos x=X\qquad \sin x=Y$$

Otteniamo l’equazione di una retta

$$X-Y-1=0$$

Mettiamo quindi a sistema l’equazione di questa retta con circonferenza goniometrica

$$\begin{cases} X^2+Y^2=1\\X-Y-1=0\end{cases}$$

Dalla seconda equazione ricaviamo il valore della Y in funzione della X

$$Y=X-1$$

Sostituiamo questo valore nell’equazione della circonferenza

$$X^2+(X-1)^2=1$$

Otteniamo in questo modo un’equazione di secondo grado in X

$$\begin{aligned}&X^2+X^2+1-2X-1=0\\&2X^2-2X=0\\&X^2-X=0\end{aligned}$$

Siccome abbiamo un’equazione spuria, raccogliamo a fattor comune la x e applichiamo la legge di annullamento del prodotto

$$\begin{aligned}&X(X-1)=0\\&X_1=0\lor X_2=1\end{aligned}$$

A questo punto troviamo i corrispondenti valori delle Y sostituendo nell’equazione della retta esplicita

$$Y=X-1$$

 che ci portano nei punti corrispondenti sulla circonferenza goniometrica

$$\begin{array}{l}X_1=0&\to&Y_1=-1&\to&\text{PUNTO }\ P_1(0,-1)\\ X_2=1&\to&Y_2=0&\to&\text{PUNTO }\ P_2(1,0)\end{array}$$

Dal primo punto capiamo di trovarci nell’angolo π/2 con la periodicità

$$\text{PUNTO }\ P_1(0,-1)\quad\to\quad x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

 Mentre dal secondo punto arriviamo nell’angolo 0π con la periodicità

$$\text{PUNTO }\ P_2(1,0)\quad\to\quad x=2k\pi$$

Mostriamo i risultati nell’immagine sotto

IL METODO DELL’ANGOLO AGGIUNTO O METODO DEL RAGGIO

Un secondo metodo per poter risolvere le equazioni lineari in seno e coseno è il metodo dell’angolo aggiunto detto anche metodo del raggio

 partiamo dall’equazione di partenza

$$\color{orange}{a}\cos x+\color{green}{b}\sin x+c=0$$

A questo punto ricaviamo il valore del raggio r dai valori a e b usando il teorema di Pitagora

$$r=\sqrt{\color{orange}{a}^2+\color{green}{b}^2}$$

Fissiamo nella nostra mente un’immagine visiva molto forte.

In pratica dobbiamo immaginarci di trovarci di fronte ad una circonferenza di raggio r con centro nell’origine degli assi.

In corrispondenza di un certo raggio r a l’asse orizzontale si forma un angolo 𝜃.

Questo angolo è il nostro angolo aggiunto ed il nostro scopo è proprio quello di calcolarne il valore.

Ora dividiamo tutta l’equazione per il valore del raggio r

$$\frac{a}{r}\cos x+\frac{b}{r}\sin x+\frac{c}{r}=0$$

Possiamo immaginare ora di trovarci in una circonferenza di raggio 1 (goniometrica) dal momento che abbiamo diviso tuto per il raggio.

Se analizziamo la prima parte dell’equazione possiamo inoltre vedere una cosa simile alla formula di addizione per il seno

$$\color{blue}{\frac{a}{r}}\cos x+\color{red}{\frac{b}{r}}\sin x\\ \ \\ \color{blue}{\sin\theta}\cos x+\color{red}{\cos\theta}\sin x=\sin(\theta+x)$$

Dobbiamo quindi trovare un angolo il cui seno vale a/r e il cui coseno vale b/r

$$\sin\theta=\frac{a}{r}\qquad\cos\theta=\frac{b}{r}$$

Una volta trovare il valore specifico dell’angolo 𝜃 riscriviamo l’equazione in modo più semplice

$$\sin(\theta+x)+\frac{c}{r}=0$$

Isoliamo il termie noto c/r sul lato destro

$$\sin(\theta+x)=-\frac{c}{r}$$

Possiamo dunque risolvere un’equazione elementare in seno

$$\sin t=k$$

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ESEMPI DI EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO CON IL METODO DELL’ANGOLO AGGIUNTO

Vediamo di risolvere gli stessi esempi di equazioni lineari in seno e coseno visti con il metodo grafico e risolviamoli con il metodo dell’angolo aggiunto.

ESEMPIO 1 – METODO ANGOLO AGGIUNTO

$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{3}$$

Ricaviamo il valore del raggio r

$$r=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$$

Dividiamo tutto per il raggio r e spostiamo a destra il termine noto

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Il lato sinistro dell’equazione può essere visto come lo sviluppo del seno di una somma di angoli

$$\sin\theta\cos x+\cos\theta\sin x=\sin(\theta+x)$$

Dove in particolare

$$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad\cos\theta=\frac{1}{2}$$

In questo caso l’angolo 𝜃 è un angolo noto.

Infatti l’angolo con quel valore di seno e coseno vale π/6

$$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad\cos\theta=\frac{1}{2}\quad\to\quad\theta=\frac{\pi}{6}$$

Vediamo la figura di questa conclusione

A questo punto possiamo riscrivere l’equazione in maniera più elementare

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Semplificando ulteriormente con una sostituzione in t dell’argomento del sono dobbiamo risolvere un’equazione elementare in seno

$$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Che ci porta come soluzione negli angoli t

$$t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\lor x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi$$

A questo punto risostituiamo in x per trovare le soluzione dell’equazione inziale.

Partiamo dal primo valore di t

$$\begin{aligned}&t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&\frac{\pi}{3}+x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&x=2k\pi\end{aligned}$$

Ora passiamo al secondo valore di t

$$\begin{aligned}&t=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\\&\frac{\pi}{3}+x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\\&x=\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\&x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\end{aligned}$$

Queste sono esattamente le soluzioni che abbiamo trovato anche con il metodo grafico della retta e della circonferenza.

ESEMPIO 2 – METODO ANGOLO AGGIUNTO

$$\cos x-\sin x=1$$

Ricaviamo il valore del raggio r

$$r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Dividiamo tutto per il raggio r e spostiamo a destra il termine noto ed infine razionalizziamo 

$$\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\\&\color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cos x-\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\&\end{aligned}$$

Il lato sinistro dell’equazione può essere visto come lo sviluppo del seno di una somma di angoli

$$ \color{blue}{\sin\theta}\cos x-\color{red}{\cos\theta}\sin x=\sin(\theta-x)$$

Dove in particolare

$$\color{blue}{\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}}\qquad\color{red}{\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

In questo caso l’angolo 𝜃 è un angolo noto.

Infatti l’angolo con quel valore di seno e coseno vale 3/4π

$$\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\to\quad\theta=\frac{3}{4}\pi$$

Vediamo la figura di questa conclusione

A questo punto possiamo riscrivere l’equazione in maniera più elementare

$$\sin\left(\frac{3}{4}\pi+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Semplificando ulteriormente con una sostituzione in t dell’argomento del sono dobbiamo risolvere un’equazione elementare in seno

$$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Che ci porta come soluzione negli angoli t

$$t=\frac{\pi}{4}+2k\pi\lor t=\frac{3}{4}\pi+2k\pi$$

A questo punto risostituiamo in x per trovare le soluzione dell’equazione inziale.

Partiamo dal primo valore di t

$$\begin{aligned}&\frac{3}{4}\pi+x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\&x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{aligned}$$

Ora passiamo al secondo valore di t

$$\begin{aligned}&t=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\\&\frac{3}{4}\pi+x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\\&x=2k\pi\end{aligned}$$

Queste sono esattamente le soluzioni che abbiamo trovato anche con il metodo grafico della retta e della circonferenza.

IL METODO DELLE FORMULE PARAMETRICHE

Un terzo interessante modo per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno è il metodo delle formule parametriche.

Questo metodo permette di riscrivere l’equazione lineare in funzione di un unico parametro che è la tangente di x/2.

Ricordiamo le formule parametriche del seno e del coseno che sono

$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad t=\tan\frac{x}{2}$$

Riprendiamo in mano l’equazione lineare iniziale

$$a\cos x+b\sin x+c=0$$

Inseriamo al posto del seno e del coseno i valori parametrizzati

$$a\frac{1-t^2}{1+t^2}+b\frac{2t}{1+t^2}+c=0$$

Moltiplichiamo ora tutta l’equazione per il denominatore comune (1+t²) 

$$a(1-t^2)+b2t+c(1+t^2)=0$$

In questo modo abbiamo trasformiamo l’equazione iniziale in una banale equazione di secondo grado che ha per incognita il parametro t, ovvero la tangente di x/2.

Una volta trovati tali eventuali valori andremo a calcolare i valori degli angoli incogniti x con la funzione arcotangente.

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ESEMPI DI EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO CON LE FORMULE PARAMETRICHE

Vediamo ora di svolgere gli stessi due esempi visti con gli altri due metodi per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno sfruttando le formule parametriche

ESEMPIO 1 – FORMULE PARAMETRICHE

$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{3}$$

Applichiamo le formule parametriche al seno e al coseno di x

$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad t=\tan\frac{x}{2}$$

Sostituendo otteniamo:

$$\sqrt{3}\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\sqrt{3}$$

Moltiplichiamo tutto per il denominatore comune ed otteniamo un’equazione in t di secondo grado che portiamo nella forma normale

$$\begin{aligned}&\sqrt{3}(1-t^2)+2t-\sqrt{3}(1+t^2)=0\\&-2\sqrt{3}t^2+2t=0\\&\sqrt{3}t^2-t=0\end{aligned}$$

Avendo ottenuto un’equazione spuria raccogliamo a fattor comune la t ed applichiamo l’annullamento del prodotto

$$t\left(\sqrt{3}t-1\right)=0\quad\to\quad t=0\lor t=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Abbiamo dunque ottenuto i due valori di t che ora ritrasformiamo nella tangente di x/2.

A questo punto non ci resta che risolvere delle equazioni elementari in tangente

Dal primo valore di t otteniamo l’angolo di 2kπ

$$t=0\ \to\tan\frac{x}{2}=0\ \to\frac{x}{2}=k\pi\ \to x=2k\pi$$

Mentre dal secondo valore di t finiamo nell’angolo π/3+2kπ

$$t=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \to\tan\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \to\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \to x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Rappresentiamo in maniera sintetica i risultati

ESEMPIO 2 – FORMULE PARAMETRICHE

$$\cos x-\sin x=1$$

Applichiamo le formule parametriche al seno e al coseno di x

$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad t=\tan\frac{x}{2}$$

Sostituendo otteniamo:

$$\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}-1=0$$

Moltiplichiamo tutto per il denominatore comune ed otteniamo un’equazione in t di secondo grado che portiamo nella forma normale

$$\begin{aligned}&1-t^2-2t-(1+t^2)=0\\&-2t^2-2t=0\\&t^2+t=0\end{aligned}$$

Avendo ottenuto un’equazione spuria raccogliamo a fattor comune la t ed applichiamo l’annullamento del prodotto

$$t(t+1)=0\quad\to\quad t=0\lor t=-1$$

Abbiamo dunque ottenuto i due valori di t che ora ritrasformiamo nella tangente di x/2.

A questo punto non ci resta che risolvere delle equazioni elementari in tangente

Dal primo valore di t otteniamo l’angolo di 2kπ

$$t=0\ \to\frac{x}{2}=k\pi\ \to x=2k\pi$$

Mentre dal secondo valore di t finiamo nell’angolo π/3+2kπ

$$t=-1\ \to\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+k\pi\ \to x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

Rappresentiamo in maniera sintetica i risultati

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