In questo articolo parliamo del concetto di curva continua, chiusa, regolare e semplice.
In particolare ci riferiamo a quelle curve 𝛾 descritte da un vettore r(t) le cui componenti dipendono da un certo parametro t.
generalmente troviamo questo nel piano (due componenti) o nello spazio (tre componenti)
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\qquad r(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}$$
I concetti validi in due o tre dimensioni possono essere comunque tranquillamente applicabili a dimensione n
$$\gamma:\ r(t)= r(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\x_2(t)\\\cdots\\x_n(t)\end{pmatrix}$$
INDICE
CONTINUITA’ DI UNA CURVA – CONTINUA O DISCONTINUA
Una curva 𝛾 definita da un vettore r(t) si dice continua quando le sue componenti sono funzioni continue per ogni valore specificato del parametro t.
ESEMPIO 1: CURVA CONTINUA
Consideriamo la seguente curva
$$r(t)= r(t)=\begin{pmatrix} \sin t\\\cos t \end{pmatrix}$$
Possiamo notare come entrambe le componenti della curva siano funzioni continue per ogni valore di t reale e dunque anche per tutti i valori appartenenti a [0,π].
Dunque la curva risulta continua nell’intervallo.
ESEMPIO 2: CURVA NON CONTINUA
Consideriamo invece la seguente curva
$$r(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{t}\\e^t \end{pmatrix}\quad t\in[-1,3]$$
La prima componente della curva 1/t risulta verificata per t≠0.
Dunque in corrispondenza di tale valore che si trova nell’intervallo [-1,3] la curva non risulta continua
CHIUSURA DI UNA CURVA: CHIUSA O APERTA
Una curva 𝛾 definita da un vettore r(t) si definisce chiusa quando il valore della curva definita negli estremi dell’intervallo t=[a,b] coincide.
In altre parole possiamo dire che r(a)= r(b)
ESEMPIO 1: CURVA CHIUSA
Consideriamo la seguente curva
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix} t\sin t\\\sin t\cos t\end{pmatrix}\quad t\in[0,2\pi]$$
Cominciamo col notare che la curva è continua in quanto entrambe le componenti in t sono definite in R.
Verifichiamone ora la continuità.
Calcoliamo il valore della curva negli estri dell’intervallo t
$$\begin{aligned}&r(0)=\begin{pmatrix} 0\sin0\\\sin0\cos0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\&\\&r(0)=\begin{pmatrix} 2\pi\sin(2\pi)\\sin(2\pi)\cos(2\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
La curva comincia e finisce nell’origine, pertanto è chiusa!
ESEMPIO 2: CURVA APERTA
Consideriamo in alternativa questo secondo esempio di curva
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix}\cos t+t\sin t\\\sin t-t\cos t\end{pmatrix}\quad t\in[-\pi,\pi]$$
Anche in questo caso la curva è continua dal momento che troviamo entrambe le componenti continue in R.
Analizziamo ora il valore della curva negli estremi dell’intervallo
$$\begin{aligned}&r(-\pi)=\begin{pmatrix} \cos(-\pi)+(-\pi)\sin(-\pi)\\\sin(-\pi)-(-\pi)\cos(-\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+(-\pi)\cdot0\\0-(-\pi)\cdot(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\-\pi\end{pmatrix}\\&\\&r(\pi)=\begin{pmatrix} \cos(\pi)+(\pi)\sin(\pi)\\\sin(\pi)-(\pi)\cos(\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+(\pi)\cdot0\\0-(\pi)\cdot(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\\pi\end{pmatrix}\end{aligned}$$
In questo caso il punto iniziale della curva non coincide con il punto finale, dunque la curva non è chiusa nell’intervallo indicato
In altre parole è una curva aperta.
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REGOLARITÀ DI UNA CURVA : REGOLARE E IRREGOLARE
Una curva 𝛾 descritta da un vettore r(t) si dice regolare quando il modulo del vettore derivato non si annulla per nessun valore di t.
ESEMPIO 1: CURVA REGOLARE
Consideriamo il seguente esempio di curva
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\\e^t \end{pmatrix}\quad t\in[0,\pi]$$
Trattatasi certamente di curva continua e aperta.
Procediamo calcolando il vettore derivato
$$r'(t)=\begin{pmatrix} \cos t\\-\sin t\\e^t\end{pmatrix}$$
Passiamo ora al modulo del vettore derivato:
$$|r'(t)|=\sqrt{\cos^2t+\sin^2t+e^{2t}}=\sqrt{e^{2t}+1}$$
Ci accorgiamo immediatamente che il modulo del vettore derivato non si annulla per nessun valore di t.
Infatti se proviamo a risolvere l’equazione
$$|r'(t)|=0\ \to\ \sqrt{e^{2t}+1}=0\ \to\ e^{2t}+1=0\ \to\ \emptyset$$
Una somma di quantità positive non può infatti valere zero nei reali.
Detto in altre parole la curva non presenta punti singolari o punti di irregolarità.
Siamo perciò in grado di determinare il vettore tangente alla curva in ogni suo punto.
ESEMPIO 2: CURVA IRREGOLARE
Consideriamo questo secondo esempio di curva bidimensionale
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix} t e^{-t}\\ (t-1)^2e^{-t}\end{pmatrix}\quad t\in[0,2]$$
La curva è continua e aperta.
Calcoliamo il vettore derivato
$$\begin{aligned}&r'(t)=\begin{pmatrix}1\cdot e^{-t}+t\ e^{-t}(-1)\\2(t-1)\ e^{-t}+(t-1)\ e^{-t}(-1) \end{pmatrix}\\&\\&r'(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}(1-t)\\e^{-t}(1-t)(t-3)\end{pmatrix}\end{aligned}$$
Calcoliamo il modulo del vettore derivato estraendo subito i fattori comuni
$$|r'(t)|=e^{-t}|1-t|\sqrt{1+(t-3)^2}$$
Dovremo accorgerci immediatamente che vi è un solo fattore che annulla il modulo ovvero
$$|1-t|=0\ \to\ 1-t=0\ \to\ t=1$$
In corrispondenza di questo valore troviamo un punto irregolare detto anche punto singolare.
Per trovare le coordinate di tale punto calcoliamo il valore della curva in t=1
$$r(1)=\begin{pmatrix}1\cdot e^{-1}\\(1-1)^2e^{-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{e}\\0\end{pmatrix}$$
SEMPLICITÀ DI UNA CURVA – SEMPLICE E NON SEMPLICE
Il concetto di semplicità di una curva è legato al fatto che una curva passi almeno due volte nello stesso punto.
In particolare una curva semplice è una curva che non passa due volte nello stesso punto.
In particolare per ogni valore del parametro t la curva passa per punti tutti distinti tra di loro.
Al contrario diciamo che una curva non è semplice se esiste almeno due distinti valori del parametro t tali che la curva passi per il medesimo punto
ESEMPIO 1: CURVA SEMPLICE
Consideriamo il seguente esempio di curva
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix}t+1\\t^2+t \end{pmatrix}\quad t\in[1,5]$$
Risolviamo il seguente sistema per vedere se si tratta di una curva semplice
$$\begin{cases} t_1+1=t_2+1\\t_1^2+t_1=t_2^2+t_2\end{cases}$$
Dalla prima equazione non vi sono dubbi che si tratta di una curva semplice
$$t_1+1=t_2+1\ \to\ t_1=t_2$$
In quanto due valori diversi possono ammettere la stessa ascissa solamente se sono lo stesso valore.
Dunque non risulta necessario risolvere la secondo equazione
In particolare si tratta di un arco di parabola
ESEMPIO 2: CURVA NON SEMPLICE
Consideriamo il seguente esempio di curva
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix}t\sin t\\t^2-\pi t \end{pmatrix}\quad t\in[0,2\pi]$$
Anche in questo caso impostiamo il sistema per analizzarne la semplicità
$$\begin{cases} t_1\sin t_1=t_2\sin t_2\\t_1^2-\pi t_1=t_2^2-\pi t_2\end{cases}$$
Consideriamo la seconda equazione
$$t_1^2-\pi t_1=t_2^2-\pi t_2$$
Isoliamo i quadrati sul lato sinistro e i non quadrati sul lato destro
$$t_1^2-t_2^2=\pi t_1-\pi t_2$$
Scomponiamo il lato di sinistra come una differenza di quadrati mentre a destra raccogliamo a fattor comune il π
$$(t_1-t_2)(t_1+t_2)=\pi(t_1-t_2)$$
Dal momento che una soluzione è certamente
$$t_1=t_2\quad\text{per ovvie ragioni}$$
Semplifichiamo sia il lato destro che il lato sinistro per il fattore (t1-t2)
$$t_1+t_2=\pi$$
Da che possiamo tranquillamente riscrivere t1 in funzione di t2
$$t_1=\pi-t_2$$
Sostituiamo dunque questo risultato nella prima equazione
$$\begin{aligned}&t_1\sin t_1=t_2\sin t_2\overset{t_1=\pi-t_2}{\longrightarrow}\\&\\&(\pi-t_2)\sin(\pi-t_2)=t_2\sin t_2\end{aligned}$$
Per le proprietà degli angoli associati abbiamo che
$$\sin(\pi-t_2)=\sin t_2$$
Dunque andiamo a sostituire
$$(\pi-t_2)\sin t_2=t_2\sin t_2$$
Spostiamo tutto a sinistra e raccogliamo a fattor comune il seno di t2
$$\sin t_2\ (\pi-2t_2)=0$$
Da che otteniamo due soluzioni
$$\begin{array}{l}\sin t_2=0&\to& t_2=k\pi\\\pi-t_2=0&\to& t_2=\frac{\pi}{2}\end{array}
Dalla prima soluzione ci accorgiamo che nell’intervallo di t [0,2π] ci sono ben tre valori: 0, π, 2π
Ricordiamo l’equazione della curva:
$$\gamma:\ r(t)=\begin{pmatrix}t\sin t\\t^2-\pi t \end{pmatrix}\quad t\in[0,2\pi]$$
Verifichiamo il valore della curva in questi tre valori distinti
$$\begin{array}{l}r(0)&=&\begin{pmatrix} 0\sin0\\0^2-\pi0\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}\\r(\pi)&=&\begin{pmatrix} \pi\sin\pi\\\pi^2-\pi^2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}\\r(2\pi)&=&\begin{pmatrix} 2\pi\sin\pi\\4\pi^2-2\pi^2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0\\2\pi^2\end{pmatrix}\end{array}$$
Dunque almeno un punto in cui la funzione risulta non semplice è l’origine degli assi.
Circa la seconda soluzione
$$\pi-2t_2=0\ \to\ t_2=\frac{\pi}{2}$$
Questa non ci conduce ad altri punti in quanto se verifichiamo il valore di t1 scopriamo che coincide con t2
$$\pi-2t_2=0\ \to\ t_2=\frac{\pi}{2}\ \to\ t_1=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$$
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