IL VETTORE GRADIENTE

In questo articolo vediamo cosa è il vettore gradiente nelle funzioni di due e più variabili e quali sono le sue principali applicazioni.

Data una funzione a più variabili che va da Rⁿ a R 

$$f:\ A\subseteq\marhbb{R^n}\to\mathbb{R}:\quad f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$

si definisce vettore gradiente il vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione in oggetto

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}&\frac{\partial f}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

Sovente utilizziamo la scrittura più stilizzata

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix} f’_{x_1}&f’_{x_2}&\cdots&f’_{x_n}\end{pmatrix}$$

Ovviamente tale gradiente esiste solamente in quei punti in cui è soddisfatta la condizione di derivabilità

GRADIENTE CALCOLATO IN UN PUNTO 

Definiamo gradiente in un punto P₀ il vettore in cui andiamo ad inserire in modo specifico le coordinate di un certo punto del dominio di f.

$$\nabla f(P)=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(P)&\frac{\partial f}{\partial x_2}(P)&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}(P) \end{pmatrix}$$

GRADIENTE IN FUNZIONI A DUE VARIABILI 

Consideriamo il caso più semplice di funzioni a più variabili, ovvero le funzioni a due variabili.

Facciamo dunque qualche esempio per calcolare il gradiente in un punto specifico di tali funzioni

ESEMPIO 1 – GRADIENTE CON FUNZIONI A DUE VARIABILI

Calcoliamo il vettore gradiente sulla funzione f nel punto P indicato

$$f(x,y)=3x^2-xy^2+y^3\quad P(1,0)$$

Cominciamo col calcolare le derivate parziali in x e y

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=6x-y^2\\&\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-2xy-3y^2\end{aligned}$$

Dunque il gradiente associato alla funzione risulta

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}6x-y^2&-2xy-3y^2 \end{pmatrix}$$

Andiamo ora a calcolare il gradiente nel punto indicato 

$$\begin{aligned}&\nabla f(1,0)=\text{grad}f(1,0)=\begin{pmatrix} 6\cdot1-0^2&-2\cdot1\cdot0-3\cdot0^2\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f(1,0)=\text{grad}f(1,0)=\begin{pmatrix}6&0 \end{pmatrix}\end{aligned}$$

ESEMPIO 2 – GRADIENTE CON FUNZIONI A DUE VARIABILI

Calcoliamo il vettore gradiente sulla funzione f nel punto P indicato

$$f(x,y)=\frac{x}{y}-\log(xy)\quad P(1,2)$$

Cominciamo col calcolare le derivate parziali in x e y

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y}-\frac{y}{xy}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\\&\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}-\frac{x}{xy}=-\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}\end{aligned}$$

Quindi il gradiente associato alla funzione risulta

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}& -\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}\end{pmatrix}$$

Andiamo ora a calcolare il gradiente nel punto indicato 

$$\begin{aligned}&\nabla f(1,2)=\text{grad}f(1,2)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f(1,2)=\text{grad}f(1,2)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4} \end{pmatrix}\end{aligned}$$

ESEMPIO 3 – GRADIENTE CON FUNZIONI A DUE VARIABILI

Calcoliamo il vettore gradiente sulla funzione f nel punto P indicato

$$f(x,y)=e^{\sin x}-e^{\cos y}\quad P(0,\frac{\pi}{2}\right)$$

Cominciamo col calcolare le derivate parziali in x e y

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=e^{\sin x}\cos x\\&\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=e^{\cos y}\sin y\end{aligned}$$

Dunque il gradiente associato alla funzione risulta

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}e^{\sin x}\cos x&e^{\cos y}\sin y \end{pmatrix}$$

Andiamo ora a calcolare il gradiente nel punto indicato 

$$\begin{aligned}&\nabla f\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=\text{grad}f\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} e^{\sin0}\cos 0&e^{\cos\frac{\pi}{2}}\sin\frac{\pi}{2}\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=\text{grad}f\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} 1&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

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GRADIENTE IN FUNZIONI A TRE VARIABILI 

Vediamo ora esempi più allargati di vettore gradiente con funzioni a tre variabili

ESEMPIO 1 – GRADIENTE CON FUNZIONI A TRE VARIABILI

Calcoliamo il gradiente sulla funzione f nel punto P indicato

$$f(x,y,z)=2x^2y-yz^3+xyz\quad P(-1,0,1)$$

Cominciamo col calcolare le derivate parziali in x,y e z

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=4xy+yz\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=2x^2-z^3+xz\\&f’_z=\frac{\partial f}{\partial z}=-3yz^2+xy \end{aligned}$$$$

Dunque il vettore gradiente associato alla funzione risulta

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}4xy+yz&2x^2-z^3+xz&-3yz^2+xy \end{pmatrix}$$

Andiamo ora a calcolare il gradiente nel punto indicato 

$$\begin{aligned}&\nabla f(-1,0,1)=\text{grad}f(-1,0,1)=\\&=\begin{pmatrix}4(-1)\cdot0+0\cdot1&2(-1)^2-1^3+(-1)\cdot1&-3\cdot0\cdot1^2+(-1)\cdot0\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f(-1,0,1)=\text{grad}f(-1,0,1)=\begin{pmatrix} 0&0&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

ESEMPIO 2 – GRADIENTE CON FUNZIONI A TRE VARIABILI

Calcoliamo il vettore gradiente sulla funzione f nel punto P indicato

$$f(x,y,z)=\log(xy-z)\quad P(3,2,1)$$

Cominciamo col calcolare le derivate parziali in x,y e z

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{xy-z}\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{xy-z}\\&f’_z=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{-1}{xy-z} \end{aligned}$$$$

Quindi il gradiente associato alla nostra funzione risulta:

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}\frac{y}{xy-z}&\frac{x}{xy-z}&\frac{-1}{xy-z} \end{pmatrix}$$

Andiamo ora a calcolare il gradiente nel punto indicato 

$$\begin{aligned}&\nabla f(3,2,1)=\text{grad}f(3,2,1)=\begin{pmatrix} \frac{2}{3\cdot2-1}&\frac{3}{3\cdot2-1}&\frac{-1}{3\cdot2-1}\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f(3,2,1)=\text{grad}f(3,2,1)=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}&-\frac{1}{5} \end{pmatrix}\end{aligned}$$

ESEMPIO 2 – GRADIENTE CON FUNZIONI A TRE VARIABILI

Calcoliamo il vettore gradiente sulla funzione f nel punto P indicato

$$f(x,y,z)=e^\frac{x}{y}z^2\quad P(\log2,1,-1)$$

Cominciamo col calcolare le derivate parziali in x,y e z

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{e^\frac{x}{y}z^2}{y}\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{e^\frac{x}{y}xz^2}{y^2}\\&f’_z=\frac{\partial f}{\partial z}=2z e^\frac{x}{y}\end{aligned}$$$$

Dunque il nostro vettore gradiente è:

$$\nabla f=\text{grad}(f)=\begin{pmatrix}\frac{e^\frac{x}{y}z^2}{y}&-\frac{e^\frac{x}{y}xz^2}{y^2}&2z e^\frac{x}{y}\end{pmatrix}$$

Andiamo ora a calcolare il gradiente nel punto indicato 

$$\begin{aligned}&\nabla f(\log2,1,-1)=\text{grad}f(\log2,1,-1)=\begin{pmatrix} \frac{e^\frac{\log2}{1}(-1)^2}{1}&-\frac{e^\frac{\log2}{1}\log2(-1)^2}{1^2}&2(-1) e^\frac{\log2}{1}\end{pmatrix}\\&\\&\nabla f(\log2,1,-1)=\text{grad}f(\log2,1,-1)=\begin{pmatrix}2&-2\log2&-4 \end{pmatrix}\end{aligned}$$

VETTORE GRADIENTE E PUNTI STAZIONARI

Il vettore gradiente è un elemento essenziale per calcolare i punti stazionari delle funzioni a più variabili.

In particolare nei punti stazionari abbiamo che il gradiente vale zero.

Detto in altre parole nei punti stazionari si annullano tutte le componenti del gradiente.

VETTORE GRADIENTE E PIANO TANGENTE

Nelle funzioni a due variabili il vettore gradiente risulta utile per determinare l’equazione del piano tangente alla funzione.

Ovviamente questo concetto può essere esteso per funzioni a più di due variabili per calcolare l’equazione dell’iperpiano tangente

VETTORE GRADIENTE E DERIVATA DIREZIONALE 

Nell’ambito delle funzione a più variabili vi è una stretta connessione tra il vettore gradiente e la derivata direzionale.

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