ISOQUANTI E ISOCOSTI

Nella teoria di produzione di lungo periodo gli isoquanti e gli isocosti rappresentano diverse combinazioni di fattori produttivi che permettono rispettivamente di ottenere la stessa quantità prodotta e lo stesso costo.

Questi concetti sono molto importanti per stabilire la combinazione ottima di fattori da utilizzare nel processo di produzione.

Tale combinazione ottima permette all’impresa di impiegare il proprio budget in modo efficiente.

Ovvero di scegliere quella combinazione di fattori produttivi (ad esempio capitale e lavoro) tale che garantisca il livello massimo di produzione raggiungibile date le proprie scarse risorse a disposizione.

ISOQUANTI CON DUE FATTORI PRODDUTIVI

Gli isoquanti rappresentano le varie combinazioni di fattori produttivi, detti anche input di produzione, che garantiscono al produttore la stessa quantità prodotta.

Supponiamo di trovarci di fronte ad un processo produttivo che utilizza due input ad esempio il lavoro (L) e il capitale (K).

Indichiamo con K la quantità di capitale e con L la quantità di lavoro immesse nel processo produttivo.

Possiamo dunque rappresentare gli isoquanti all’interno di un sistema cartesiano dove abbiamo il lavoro L sull’asse orizzontale e il capitale K sull’asse verticale.

Nella figura sottostante rappresentiamo tre isoquanti relativi a tre livelli di produzione.

L’isoquanto più in basso rappresenta il livello di produzione con 20 unità.

Ovvero rappresenta tutte le combinazioni di lavoro (L) e capitale (K) che servono per ottenere 20 unità di output.

Appartengono a questo isoquanto i punti A, B e C.

In particolare nel punto A si utilizzano 10 unità di lavoro L e 40 unità di capitale K.

Nel punto B utilizziamo 20 unità di lavoro e 20 di capitale.

Mentre nel punto C stiamo utilizzando 40 unità di lavoro e 40 di capitale.

Più in alto a livello intermedio troviamo l’isoquanto che si trova a livello di 30 unità di bene prodotto.

Su questa curva troviamo tutte le combinazioni di lavoro e capitale che permetto di avere un output pari a 30.

Ad esempio appartengono a questo isoquanto i punti D(30,30) ed E(90,10) 

Nel punto D vengo impiegate 30 unità di L e 30 unità di K, mentre nel punto E troviamo 90 unità di lavoro e 10 di capitale.

Infine troviamo l’isoquanto in alto ad un livello di output pari a 40 unità.

Appartengono a questo isoquanto i le combinazioni di fattori F(40,40) e G(80,20).

CARATTERISTICHE DEGLI ISOQUANTI

Gli isoquanti sono descritti dunque da curve che godono di tre principali caratteristiche: decrescenza, convessità e non intersezione.

DECRESCENZA

La prima caratteristica è la decrescenza della curva.

L’isoquanto è una curva decrescente perché quando aumentiamo l’impego di un fattore nel processo produttivo dobbiamo per forza diminuire l’impiego dell’altro fattore per lasciare inalterato l’output prodotto.

Ad esempio quando aumenta l’unità di lavoro deve diminuire l’impiego del capitale

CONVESSITA’

La caratteristica della convessità degli isoquanti ha la seguente ragione.

A mano a mano togliamo capitale nel processo di produzione dobbiamo inserire lavoro in maniera più che proporzionale per lasciare identico il livello di produzione totale.

Lo stesso ragionamento vale viceversa.

Ogni volta che inseriamo una unità di lavoro nel processo produttivo sottraiamo unità di capitale sempre minore.

NON INTERSEZIONE DEGLI ISOQUANTI 

La terza importante caratteristica degli isoquanti è la non intersezione.

Questo aspetto è importante perché ogni punto dell’isoquanto indica una particolare combinazione di fattori che permette di ottenere un determinato livello di output.

Se due isoquanti si intersecano significa che quel punto di intersezione permette di ottenere due livelli produttivi differenti, il che è impossibile.

ESEMPI MATEMATICI DI ISOQUANTI 

Per poter rappresentare un isoquanto dalla sua equazione dobbiamo avere la funzione di produzione del tipo

$$Q=f(L,K)$$

Ipotizziamo quindi di trovarci di fronte alla seguente funzione di produzione.

$$Q=L^{0,5}K^{0,5}$$

Vogliamo ad esempio ricavare gli isoquanti ai livelli produttivi di 20,30 e 40.

Per prima cosa lavoriamo sulla funzione di produzione ed esplicitiamo il capitale K in funzione del lavoro

Leggiamo l’equazione da sinistra verso destra ed eleviamo ambo i membri  alla seconda

$$L^{0,5}K^{0,5}=Q\quad\to\quad LK=Q^2$$

Ora non ci resta che dividere tutto per L

$$K=\frac{Q^2}{L}$$

Giunti a questo punto andiamo ad imporre i tre livelli produttivi 

$$\begin{array}{l} Q=20&\to&K=\frac{400}{L}\\ Q=30&\to&K=\frac{900}{L}\\ Q=40&\to&K=\frac{1.600}{L}\\ \end{array}$$

Fissiamo ora l’attenzione sul primo isoquanto al livello di 20 unità prodotte

$$Q=20\quad\to\quadK=\frac{400}{L}$$

Se vogliamo rappresentarlo nel sistema cartesiano con L sulle ascisse e K sulle ordinate possiamo attribuire ad L determinati valori di modo da trovare il corrispondente valore di K

Ad esempio possiamo dare ad L i valori: 5,10, 20, 40, 80 (valori comodi) 

$$\begin{array}{l} L=5&\to&K=\frac{400}{5}=80&\to&(5,\ 80)=(L,\ K)\\ L=10&\to&K=\frac{400}{10}=40&\to&(10,\ 40)=(L,\ K)\\ L=20&\to&K=\frac{400}{20}=20&\to&(20,\ 20)=(L,\ K)\\ L=40&\to&K=\frac{400}{40}=80&\to&(40,\ 10)=(L,\ K)\\ L=80&\to&K=\frac{400}{80}=5&\to&(80,\ 5)=(L,\ K)\\ \end{array}$$

Rappresentiamo graficamente questo isoquanto 

Seguendo lo stesso ragionamento possiamo rappresentare anche gli altri due isoquanti

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UNA PROSPETTIVA TRIDIMENSIONALE

Quando siamo in un processo produttivo che implica l’utilizzo di due fattori (K,L) possiamo rappresentare la funzione di produzione e gli isoquanti in un grafico tridimensionale.

Il grafico sottostante rappresenta la funzione di produzione

Q=L^{0,5}K^{0,5}$$

 e gli isoquanti ai livelli 20,30 e 40

$$L^{0,5}K^{0,5}=20\quad L^{0,5}K^{0,5}=30\quad L^{0,5}K^{0,5}=40$$

Sui due assi del piano di riferimento abbiamo il lavoro L e il capitale K.

Mentre sull’asse z vediamo il livello di produzione Q.

Gli isoquanti si formano con l’intersezione tra la funzione di produzione Q=f(L,K) con i piani Q=20, Q=30 e Q=40

RENDIMENTI DI SCALA CRESCENTI, DECRESCENTI E COSTANTI

Dalla posizione dei gli isoquanti possiamo immediatamente renderci conto se i rendimenti di produzione sono crescenti, decrescenti o costanti.

RENDIMENTI DI SCALA COSTANTI 

Quando rappresentiamo isoquanti che relativi ad incrementi di produzione che sono costanti ad esempio di 10 in 10 o di 100 in 100 diciamo che i rendimenti di scala sono costanti è costante la distanza tra gli isoquanti.

Per valutare la distanza tra gli isoquanti possiamo ad esempio valutare la distanza tra i vertici degli stessi.

Consideriamo ad esempio la funzione di produzione vista prima.

$$Q=L^{0,5}K^{0,5}$$

Rappresentiamo gli isoquanti ai livelli 20,30,40, 50.

Osserviamo facilmente che la distanza tra i vertici degli isoquanti e quindi tra gli isoquanti stessi rimane costante.

Dunque possiamo affermare che i rendimenti della funzione di produzione sono costanti 

RENDIMENTI DI SCALA CRESCENTI 

Quando rappresentiamo isoquanti che relativi ad incrementi di produzione che sono costanti ad esempio di 10 in 10 o di 100 in 100 diciamo che i rendimenti di scala sono crescenti se diminuisce la distanza tra gli isoquanti 

Questo significa che se vogliamo incrementare il livello di produzione della stessa quantità servirà un utilizzo di input meno che proporzionale.

Prendiamo ad esempio in esame la funzione di produzione

$$Q=L^{0,8}K^{0,9}$$

Rappresentiamo gli isoquanti ai livelli 100, 200, 300, 400.

Osserviamo facilmente che la distanza tra i vertici degli isoquanti e quindi tra gli isoquanti stessi diminuisce.

Dunque possiamo affermare che i rendimenti della funzione di produzione sono crescenti

RENDIMENTI DI SCALA DECRESCENTI 

Quando rappresentiamo isoquanti che relativi ad incrementi di produzione che sono costanti ad esempio di 10 in 10 o di 100 in 100 diciamo che i rendimenti di scala sono decrescenti se aumenta la distanza tra gli isoquanti 

Questo significa che se vogliamo incrementare il livello di produzione della stessa quantità servirà un utilizzo di input più che proporzionale.

Prendiamo ad esempio in esame la funzione di produzione

$$Q=L^{0,3}K^{0,2}$$

Rappresentiamo gli isoquanti ai livelli 4, 6, 8, 10.

Osserviamo facilmente che la distanza tra i vertici degli isoquanti e quindi tra gli isoquanti stessi aumenta.

Dunque possiamo affermare che i rendimenti della funzione di produzione sono decrescenti 

SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE TECNICA

Possiamo notare come lungo ogni curva di utilità vari continuamente il saggio marinale di sostituzione tecnica tra i fattori di produzione

Con questo termine intendiamo la quantità di capitale K cui si deve rinunciare nel processo produttivo per immettere una unità in più di lavoro L per lasciare inalterato il valore della produzione.

Possiamo intendere dunque questo saggio marginale di sostituzione tecnica come ilrapporto (negativo) tra la quantità di rinuncia al fattore capitale K e la quantità aggiuntiva di lavoro L.

Nella figura sotto abbiamo isolato la curva di isoquanto un certo livello relativa ad una determinata funzione di produzione per capire meglio questo meccanismo.

Nel punto A  della figura l’impresa dispone relativamente di una quantità maggiore di capitale K rispetto al lavoro L.

La quantità di capitale K cui si rinuncia per avere una unità in più del fattore lavoro L è quindi percepita in modo più marcato.

In particolare definiamo questa quantità come il saggio marginale della curva nel punto A e scritto in linguaggio matematica è:

$$SMST(A)=\frac{\Delta K_A}{\Delta L_A}$$

Detto in altre parole quando ci troviamo in prossimità del punto A sia disposti a rinunciare alla quantità ∆K_A di capitale in cambio di una quantità ∆L_A del fattore lavoro per fare in modo che la produzione totale non cambi.

Nel punto B l’impresa dispone di una quantità di fattore K relativamente uguale rispetto al valore di L.

In questo caso quindi la quantità ∆K_B cui è disposto a rinunciare per immettere una quantità ∆L_B di modo da lasciare inalterato il valore della produzione è relativamente minore rispetto al punto A.

Il rapporto di tali quantità (∆K rispetto a ∆L) viene definito saggio marginale di sostituzione tecnica nel punto B.

$$SMST(B)=\frac{\Delta K_B}{\Delta L_B}$$

Possiamo facilmente notare che il saggio marginale di sostituzione tecnica nel punto B (in valore assoluto) risulta inferiore al saggio marginale di sostituzione nel punto A.

$$|SMST(B)<|SMST(A)|$$

Ancora più evidente è la situazione che incontriamo nel punto C.

In tale punto di produzione indifferente in termini di utilità ai punti A e B si dispone relativamente di una quantità minore del fattore K rispetto al bene X.

In questa situazione rapporto tra la quantità ∆L_C cui si è disposti a rinunciare per ottenere una quantità ∆L_Ctale da non alterare la produzione è ancora minore.

Tale rapporto prende il nome di saggio marginale di sostituzione tecnica nel punto C

$$SMST(C)=\frac{\Delta K_C}{\Delta L_C}$$

Possiamo quindi affermare che tale saggio marginale risulta inferiore rispetto ai precedenti 

$$|SMST(C)<|SMST(B)<|SMST(A)|$$

Osserviamo dunque che lungo una curva di isoquanto (scorrendo verso destra) vi è una tendenza alla riduzione del saggio marginale di sostituzione tecnica.

Questo in generale avviene nella maggior parte delle curve di isoquanti.

Da un punto di vista strettamente geometrico i saggi marginali di sostituzione tecnica indicano la pendenzaovvero il coefficiente angolare della retta tangente all’isoquanto in quel paniere

Si può dimostrare che tale valore è il rapporto tra le derivate parziali della funzione di produzione (x rispetto alla y) calcolate in quel punto.

Possiamo dunque identificare una funzione detta saggio marginale di sostituzione che è il rapporto tra la derivata parziale rispetto alla x della funzione di utilità rispetto alla derivata parziale rispetto alla y.

$$SMST=\frac{\frac{\partial Q}{\partial L}}{\frac{\partial Q}{\partial K}}=\frac{Q’_L}{Q’_K}$$

Risulta quindi chiaro che per calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica dobbiamo conoscere le regole di derivazione per poter calcolare le derivate parziali di funzioni a due variabili.

Ad esempio se prendiamo in esame l’esempio tipico della funzione di Cobb-Douglass per la produzione

$$Q(L,K)=L^\alpha\ K^\beta$$

La derivata parziale della funzione utilità rispetto alla L è:

$$\frac{\partial Q}{\partial L}=Q’_L=\alpha\ L^{\alpha-1}\ K^\beta$$

Mentre la derivata parziale rispetto alla K risulta

$$\frac{\partial Q}{\partial L}=Q’_K=\beta\ L^\alpha\ K^{\beta-1}$$

Dunque avremo che il saggio marginale di sostituzione tecnica della funzione di produzione è:

$$SMST=\frac{\frac{\partial Q}{\partial L}}{\frac{\partial Q}{\partial K}}=\frac{Q’_L}{Q’_K}=\frac{\alpha\ L^{\alpha-1}\ K^\beta}{\beta\ L^\alpha\ K^{\beta-1}}=\frac{\alpha\ K}{\beta\ L}$$

ISOQUANTI AD ANGOLO RETTO

Vi sono particolari processi produttivi che utilizzano, per raggiungere un certo livello di output, gli input in quantità stabilite.

Ad esempio per raggiungere un certo livello di produzione per ogni 2 unità di lavoro se ne impiegano 3 di capitale.

Questa proporzione è talmente rigida che se anche usassimo in riferimento a 2 unità di lavoro 4, 5 oppure 6 unità di capitale l’output complessivo non cambia.

Perciò se utilizziamo 2 unità di lavoro e 5 di capitale otteniamo lo stesso output che usando 2 unità di lavoro e 3 di capitale.

In modo analogo se utilizziamo 5 unità di lavoro e 3 unità di capitale l’output sarà uguale al punto precedente e rimarranno inutilizzate 3 unità di lavoro

Avremmo pertanto un eccesso di 2 unità di capitale che risulteranno inutilizzate.

La tipica funzione di produzione a cui ci riferiamo è detta funzione di Leontief e si presenta nella forma 

$$Q=\text{min}(\alpha\ L,\ \beta\ K)$$

In tale funzione rimane costante la proporzione tra lavoro e capitale utilizzato.

In particolare per ogni 𝛽 unità di lavoro se ne necessitano 𝛼 unità di capitale

Se vogliamo dunque descrivere una funzione per cui si associano sempre a 2 unità di lavoro 3 unità di capitale possiamo scrivere una funzione del tipo 

$$\begin{aligned}&Q=\text{min}(3L,2K)\\&\\&\text{min}(3L,2K)\ \text{significa il valore minimo tra $3L$ e $2K$}\end{aligned}$$

Proviamo ad esempio a calcolare il quantitativo Q di output proprio in riferimento a 2 unità di lavoro (L=2) e 3 unità di capitale (K=3) 

$$(L=2,\ K=3)\quad\to\quad Q=\text{min}(3\cdot2, 2\cdot3)=\text{min}(6,6)=6$$

Se rispetto a questa situazione incrementiamo il capitale (ad esempio 4,5 o 6) la produzione resta comunque ancorata a 6

$$\begin{array}{l}(L=2,K=4)&\to&Q=\text{min}(3\cdot2,2\cdot4)=\text{min}(6,8)=6\\(L=2,K=5)&\to&Q=\text{min}(3\cdot2,2\cdot5)=\text{min}(6,10)=6\\(L=2,K=6)&\to&Q=\text{min}(3\cdot2,2\cdot6)=\text{min}(6,12)=6\end{array}$$

La stessa cosa accade quando lasciamo fisso il capitale a 3 unità ed incrementiamo il lavoro oltre le due unità ad esempio ai livello 3,4 o 5

$$\begin{array}{l}(L=3,K=3)&\to&Q=\text{min}(3\cdot3,2\cdot3)=\text{min}(9,6)=6\\(L=4,K=3)&\to&Q=\text{min}(3\cdot4,2\cdot3)=\text{min}(12,6)=6\\(L=5,K=3)&\to&Q=\text{min}(3\cdot5,2\cdot3)=\text{min}(15,6)=6\end{array}$$

Questo significa che tutte le combinazioni di fattori appena viste si trovano sullo stesso isoquanto al livello di produzione 6.

Tale isoquanto risulta essere ad angolo retto

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ISOCOSTI 

L’altro aspetto rilevante per l’impresa sono gli isocosti che sono il vincolo di bilancio dell’impresa.

L’isocosto è l’insieme di fattori produttivi che danno all’impresa lo stesso costo.

Supponendo che nell’economia esistano due fattori produttivi, lavoro L e capitale K, e che il costo di ogni unità di lavoro sia PL e di ogni unità di capitale sia PK la curva dell’isocosto ha equazione

$$IC=P_L\ L+P_K\ K=CT\\ \begin{aligned}&\text{$P_L,\ P_K\ $ sono i costi dei fattori produttivi}\\&\text{$L,\ K$ sono le unità di lavoro e di capitale}\\&\text{$CT$ è il costo totale}\end{aligned}$$

Supponiamo ad esempio che il costo del lavoro sia pari a 2 mentre il costo del capitale sia K.

Allora abbiamo che la funzione di costo totale dell’impresa è

$$CT=2L+5K$$

Se vogliamo ricavare la funzione che descrivere gli isoquanti possiamo ricavare il capitale K in funzione del lavoro.

$$5K=CT-2L\quad\to\quad K=\frac{1}{5}CT-\frac{2}{5}L$$

Possiamo dunque calcolare le rette degli isoquanti in corrispondenza di un costo totale pari a 50, 60 , 70 e 100 (valori comodi) 

$$\begin{array}{l} CT=50&\to&K=\frac{1}{5}\cdot50-\frac{2}{5}L&\to&K=10-\frac{2}{5}L\\ CT=60&\to&K=\frac{1}{5}\cdot60-\frac{2}{5}L&\to&K=12-\frac{2}{5}L\\ CT=70&\to&K=\frac{1}{5}\cdot70-\frac{2}{5}L&\to&K=14-\frac{2}{5}L\\ CT=100&\to&K=\frac{1}{5}\cdot100-\frac{2}{5}L&\to&K=20-\frac{2}{5}L\\ \end{array}$$

Proviamo ora a rappresentare graficamente nel sistema cartesiano il primo isocosto, quello in corrispondenza di un costo totale di 50

$$IC_1:\quad K=10-\frac{2}{5}L$$

In questo caso possiamo attribuire al lavoro L i valori: 0, 5,10, 15, 20, 25 (valori comodi) 

$$\begin{array}{l}L=0&\to&K=10-\frac{2}{5}\cdot0=10&\to&(0,\ 10)=(L,K)\\ L=5&\to&K=10-\frac{2}{5}\cdot5=8&\to&(5,\ 8)=(L,K)\\ L=10&\to&K=10-\frac{2}{5}\cdot10=6&\to&(10,\ 6)=(L,K)\\ L=15&\to&K=10-\frac{2}{5}\cdot15=4&\to&(15,\ 4)=(L,K)\\ L=20&\to&K=10-\frac{2}{5}\cdot20=2&\to&(20,\ 2)=(L,K)\\ L=25&\to&K=10-\frac{2}{5}\cdot25=0&\to&(25,\ 0)=(L,K)\\ \end{array}$$

Rappresentiamo dunque graficamente la curva isocosto

Seguendo lo stesso ragionamento logico possiamo rappresentare anche gli altri isocosti 

INCLINAZIONE DELL’ISOCOSTO

Una cosa che certamente avrete notati degli isoquanti è che la pendenza è sempre costante.

Questo significa che il costo opportunità di rinunciare ad una unità di capitale per ottenere una unità in più di lavoro è sempre costante.

Tale costo opportunità che indica la pendenza o l’inclinazione degli isocosti è pari alrapporto tra i costi dei due fattori produttivi.

Se partiamo infatti dall’equazione del generico isocosto (funzione di costo totale):

$$IC:\quad P_L\ L+P_K\ K=CT$$

Possiamo ricavare K in funzione di L

$$P_K\ K=CT-P_L\ L\quad\to\quad K=\frac{CT}{P_K}-\frac{P_L}{P_K}L$$

$$-\frac{P_L}{P_K}\ \text{è l’inclinazione dell’isocosto}$$

Nel caso precedente dove la funzione di costo totale era

$$CT=2L+5K$$

L’inclinazione degli isocosti è pari a 

$$\text{pendenza}=-\frac{P_L}{P_K}=-\frac{2}{5}$$

 il che significa che ogni 2 unità di capitale cui rinunciamo ne dobbiamo acquisire 2 di lavoro affinché il costo totale rimanga invariato

CONDIZIONE DI EQUILIBRIO DELL’IMPRESA

La conoscenza degli isoquanti che derivano dalla funzione di produzione e degli isocosti permettono all’impresa un’allocazione efficiente delle risorse.

Per trovare il punto di allocazione ottimale dobbiamo costruire il seguente sistema:

$$\begin{array}{l}V: \\ SMST: \end{array}\ \begin{cases}P_L\ L+P_K\ K=B\\ \frac{U’_L}{U’_K}=\frac{P_L}{P_K} \end{cases}$$

La prima equazione rappresenta il vincolo di costo per l’impresa.

In particolare indichiamo come B il budget a disposizione dell’impresa che deve eguagliare il costo totale.

Nella seconda equazione eguagliamo il saggio marginale di sostituzione tecnica della funzione di produzione al rapporto tra i prezzi dei due fattori L e K.

Tale condizione implica che nel punto di equilibrio vi è la tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di isoquanto più alta raggiungibile.

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