LA CURVA DI DOMANDA DI MERCATO

La curva di domanda esprime una relazione negativa tra il prezzo di un bene e la quantitàconsumata.

Matematicamente possiamo esprimere la quantità in funzione del prezzo, oppure il prezzo in funzione della quantità attraverso la relazione inversa.

$$Q=f(P)\quad\leftrightarrow\quad P=f^{-1}(P)$$

La funzione di domanda più facile da studiare è quella lineare e la sua equazione è del tipo:

$$P=a-bQ$$

 dove in particolare:

$$\begin{aligned}&\text{$a$ è il prezzo al di sopra del quale nessun consumatore compra}\\&\\&\text{$b$ è il decremento di prezzo richiesto per ottenere una unità aggiuntiva di bene}\end{aligned}$$

ESEMPIO DI CURVA DI DOMANDA 

Supponiamo ad esempio di trovarci nel mercato dei cellulari di un certo paese.

Ipotizziamo per semplicità che in questo paese di vi siano 1.000 persone potenzialmente interessate al nostro cellulare.

Nel grafico sottostante mostriamo la curva di domanda per questo cellulare.

Sull’asse orizzontale del grafico vediamo la quantità di cellulari Q, mentre sull’asse verticale misuriamo il livello del prezzo P.

Il punto A della curva di domanda indica il prezzo massimo che i consumatori del paese sono disposti a tollerare.

Le coordinate di questo punto sono (0, 500) = (Q_A , P_A) 

Questo significa che la quantità acquista in riferimento ad un prezzo pari a 500 (e a prezzi superiori) è pari a zero.

I nostri consumatori cominceranno ad acquistare cellulari solamente quando il prezzo diminuisce.

Il punto B della figura di coordinate (200, 400) = (Q_B , P_B) ci dice che vi saranno 200 consumatori disposti ad acquistare il cellulare quando il prezzo è pari a 200 euro.

In modo analogo il punto C della curva (400, 300) = (Q_C , P_C) ci suggerisce che quando il prezzo è a quota 300 euro vi saranno 400 consumatori che acquisteranno il cellulare.

Notiamo bene anche il punto D di coordinate (1000, 0) = (Q_D , P_D)che si trova alla fine della curva di domanda.

In questa situazione il prezzo del cellulare è pari a zero è chiaramente tutte le persone interessate saranno interessate a comprarlo.

LA LOGICA DEL CONSUMATORE

La funzione di domanda indica una relazione decrescente tra il prezzo di un bene e la quantità acquistata.

Come abbiamo visto nell’esempio della curva di domanda di cellulari al diminuire del prezzo i residenti del paese interessati acquistano una quantità via via sempre maggiore.

Dietro questa relazione negativa si nascono pertanto una precisa logica dei consumatori.

Possiamo sintetizzare questa logica mediante alcune frasi tra cui:

“sono disposto ad acquistare una quantità maggiore se il prezzo diminuisce”

” vuoi che acquisti di più? Allora fammi un prezzo buono”

” acquisto di più se pago di meno”

“vuoi che acquisti di più? Allora fammi lo sconto!”

Prova ad inventare anche tu la tua frase da buon consumatore!

EQUAZIONE DELLA CURVA DI DOMANDA

La curva di domanda può essere espressa attraverso una equazione matematica che mette in relazione il prezzo con la quantità.

Tale relazione matematica si presenta con una forma del tipo:

$$Q=f(P)\quad\leftrightarrow\quad P=f^{-1}(P)$$

Nella prima equazione abbiamo l’espressione della quantità come funzione f del prezzo.

Mentre nella seconda equazione vediamo il prezzo in funzione della quantità.

Tale ultima funzione è chiaramente inversa (f^-1) rispetto alla prima.

La funzione più semplice mediante cui possiamo esprimere l’andamento della quantità rispetto al prezzo è del tipo lineare

$$P=a-bQ$$

 dove in particolare:

$$\begin{aligned}&\text{$a$ è il prezzo al di sopra del quale nessun consumatore compra}\\&\\&\text{$b$ è il decremento di prezzo richiesto per ottenere una unità aggiuntiva di bene}\end{aligned}$$

Chiaramente possiamo tranquillamente invertire questa funzione e ricavare la quantità in funzione del prezzo.

Il procedimento matematico è veramente molto elementare.

Partiamo dunque dall’equazione iniziale

$$P=a-bQ$$

Scambiamo di posizione prezzo e quantità (cambiando i segni) 

$$bQ=a-P$$

Dividiamo tutto per il coefficiente b

$$Q=\frac{a}{b}-\frac{1}{b}P$$

In particolare 

$$\begin{aligned}&\text{$\frac{a}{b}$ è la quantità massima che il mercato acquista (prezzo nullo)}\\&\\&\text{$\frac{1}{b}$ è calo della quantità quando il prezzo si alza di una unità}\end{aligned}$$

ESEMPIO PRATICO DI FUNZIONE DI DOMANDA LINEARE 

Tornando al caso dei cellulari andiamo a notare due aspetti importanti.

Il primo che abbiamo già segnalato prima è il prezzo massimo che è pari a 500 euro.

Questo riflette il termine a nella funzione in cui esplicitiamo il prezzo rispetto alla quantità

$$P=a-bQ\quad a=500\ \text(prezzo massimo)$$

I più scaltri di voi avranno certamente notato l’altra cosa interessante.

In particolare come si può ben notare nella figura di sotto ogni volta che il prezzo cala di 100 euro la quantità acquistata aumenta di 200.

Dunque il rapporto tra il calo del prezzo e la maggior quantità acquista resta costante in tutta la curva.

Possiamo scrivere tale rapporto in questo modo:

$$b=\frac{\Delta p}{\Delta Q}=-\frac{100}{200}=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Questo significa che i consumatori decidono di acquistare una unità in più di bene se il prezzo cala di 0,5 euro.

Oppure potremmo tradurre la stessa cosa dal punto di vista dei produttori.

Se questi produttori vogliono vendere una unità in più di bene  devono abbassare il prezzo di mezzo euro.

Dunque possiamo affermare che la funzione di domanda lineare per i cellulari è

$$D:\quad P=500-\frac{1}{2}Q$$

In questo modo stiamo esprimendo il prezzo in funzione della quantità.

Ovvero possiamo stabilire il prezzo che andrà a vendere una certa quantità Q di prodotto.

Ad esempio se vogliamo vendere 400 cellulari dobbiamo per forza fissare un prezzo pari a 300 euro.

$$Q=400\quad\to\quad P=500-\frac{1}{2}\cdot400=500-200=300$$

In modo analogo possiamo calcolare il prezzo per le quantità 100 , 200, 300, 750.

$$\begin{array}{l}Q=100&\to& P=500-\frac{1}{2}\cdot100=500-50=450\\ Q=200&\to& P=500-\frac{1}{2}\cdot200=500-100=400\\ Q=300&\to& P=500-\frac{1}{2}\cdot300=500-150=350\\ Q=750&\to& P=500-\frac{1}{2}\cdot750=500-375=125\\ \end{array}$$

Dalla funzione di domanda ricavata

$$D:\quad P=500-\frac{1}{2}Q$$

Possiamo inoltre ragionare al contrario, ovvero ricavare la quantità Q che viene acquista fissato un certo prezzo P.

Cominciamo con lo scambiare la quantità e il prezzo nell’equazione (cambiando i segni) 

$$D:\quad\frac{1}{2}Q=500-P$$

Moltiplichiamo quindi per 2 ambo i membri dell’equazione e otteniamo la quantità in funzione del prezzo

$$D:\quad Q=1.000-2P$$

Tale funzione ci dice che 1000 è la quantità massima che può essere acquistata in funzione di un prezzo nullo

$$P=0\quad\to\quad Q=1.000-2\cdot0=1.000$$

Se vogliamo ad esempio calcolare la quantità acquistata (o venduta) quando il prezzo è pari a 100 euro dobbiamo sostituire tale prezzo nella funzione

$$P=100\quad\to\quad Q=1.000-2\cdot100=800$$

In modo analogo possiamo determinare le quantità in corrispondenza dei prezzi: 200 , 300 , 375

$$\begin{array}{l}P=200&to& Q=1.000-2\cdot200=600\\ P=300&to& Q=1.000-2\cdot300=400\\ P=375&to& Q=1.000-2\cdot375=250\\ \end{array}$$

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ALTRI TIPI DI FUNZIONI DI DOMANDA

Accanto alla classica e certamente più studiata funzione di domanda lineare ve ne sono altre molto interessanti che sono utili in certi contesti.

Mi riferisco a funzioni di domanda di tipo: iperbolico, esponenziale, logaritmico, parabolico.

Ma potremmo veramente inveratane tanti altri

FUNZIONE DI DOMANDA IPERBOLICA

La funzione iperbolica certamente più semplice è del tipo:

$$D:\quad P=\frac{a}{bQ}$$

Per trovare la quantità in funzione del prezzo basta ancora una volta scambiare di posizione la P con la Q (senza cambiare di segno perché sono moltiplicazioni e divisioni) 

$$D:\quad P=\frac{a}{bQ}\quad\longleftrightarrow\quad Q=\frac{a}{bP}$$

In questo caso non esistono quantità e prezzo massimi poiché illimitati.

Un esempio molto carino di tale tipo di funzione è

$$D:\quad P=\frac{100}{Q}$$

Possiamo ad esempio calcolare i valori del prezzo in relazione ai prezzi: 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 

(per semplicità ho considerato solo alcuni divisori di 100) 

$$Q=1\ \to\ P=\frac{100}{1}=100\ \to\ (1,100)=(Q,P)$$

Dopo aver calcolato la quantità ho fatto una freccetta a destra dopo la quale indico la coordinata del punto cartesiano in cui ci troviamo) 

$$\begin{array}{l}Q=2&\to& P=\frac{100}{2}=50&\to& (2,50)=(Q,P)\\ Q=5&\to& P=\frac{100}{5}=20&\to& (5,20)=(Q,P)\\ Q=10&\to& P=\frac{100}{10}=10&\to& (10,10)=(Q,P)\\ Q=20&\to& P=\frac{100}{20}=5&\to& (20,5)=(Q,P)\\ Q=50&\to& P=\frac{100}{50}=2&\to& (50,2)=(Q,P)\\ Q=100&\to& P=\frac{100}{100}=1&\to& (100,1)=(Q,P)\\ \end{array}$$

Se disegniamo il grafico otteniamo un grafico di questo tipo

Chiaramente avremmo potuto fare la stessa cosa invertendo la funzione

$$D:\quad P=\frac{100}{Q}\quad\to\quad Q=\frac{100}{P}$$

In questo caso basta semplicemente sostituire un prezzo per ricavare la quantità Q acquistata.

Ad esempio possiamo calcolare la quantità rispetto ad un prezzo pari a 50 euro

$$P=50\quad\to\quad Q=\frac{100}{50}=2$$

Una variante interessante della funzione iperbolica è la seguente:

$$D:\quad P=\frac{a}{bQ+c}\quad\to\quad Q=\frac{1}{b}\left(\frac{a}{P}-c\right)$$

In questo caso 

$$\text{$\frac{a}{c}$ è il prezzo massimo pagato dal consumatore (se $Q=0$)}$$

Mentre non esiste una quantità massima poiché illimitata.

Un esempio di domanda con tale forma è

$$D:\quad P=\frac{100}{Q+2}$$

Proviamo ad esempio a calcolare i prezzi rispetto alle quantità: 0, 2, 3, 8, 18, 23

(anche in questo caso ho scelto numeri comodi) 

$$\begin{array}{l}Q=0&\to&P=\frac{100}{0+2}=50\\ Q=2&\to&P=\frac{100}{2+2}=25\\ Q=3&\to&P=\frac{100}{3+2}=20\\ Q=8&\to&P=\frac{100}{8+2}=10\\ Q=18&\to&P=\frac{100}{18+2}=5\\ Q=23&\to&P=\frac{100}{23+2}=4\\ \end{array}$$

Rappresentiamo la curva di domanda graficamente

FUNZIONE DI DOMANDA ESPONENZIALE-LOGARITMICA

Un’altra interessantissima versione della funzione di domanda è quella esponenziale-logaritmica nella forma:

$$D:\quad P=a\ e^{-bQ}\\ \ \\ \begin{aligned}&\text{$a$ è il prezzo massimo pagato dal consumatore}\\&\text{$b$ è un parametro che indica la sensibilità del prezzo alla quantità}\\&\text{$e$ è il numero di Nepero} \\&\text{$Q$ è la quantità di bene acquistata}\end{aligned}$$

La funzione inversa dove ricaviamo la Q in funzione della P è di tipo logaritmico

$$D:\quad Q=-\frac{1}{b}\log\left(\frac{P}{a}\right)\\ \text{$\log\left(\frac{P}{a}\right)$ è il logaritmo naturale di $\frac{P}{a}$}$$

Facciamo un esempio molto semplice di questo tipo di funzione:

$$D:\quad Q=100\ e^{-P}$$

Andiamo a calcolare ad esempio i prezzi in riferimento alle quantità: 0,1, 2, 3, 4, 5

$$\begin{array}{l}P=0&\to&Q=100\cdot e^{-0}=100\\ P=1&\to&Q=100\cdot e^{-1}\simeq36,79\\ P=2&\to&Q=100\cdot e^{-2}\simeq13,53\\ P=3&\to&Q=100\cdot e^{-3}\simeq4,98\\ P=4&\to&Q=100\cdot e^{-4}\simeq1,83\\ P=5&\to&Q=100\cdot e^{-5}\simeq0,67\\ \end{array}$$

Chiaramente è anche possibile ricavare la quantità rispetto al prezzo 

$$D:\quad Q=100\ e^{-P}\ \to\ e^{-P}=\frac{Q}{100}\ \to\ P=-\log\left(\frac{Q}{100}\right)$$

Rappresentiamola graficamente

DALLA CURVA DI DOMANDA INDIVIDUALE ALLA CURVA DI MERCATO 

La curva di domanda mercato viene formata sommando per ogni livello di prezzo tutte le quantità individuali dei consumatori.

Possiamo definire tale operazione come somma orizzontale delle funzioni di domanda.

Supponiamo che in un mercato vi siamo due consumatori A e B caratterizzati dalle seguenti funzioni di domanda lineari

$$D_A:\quad P=50-q_A\qquad D_B:\quad P=70-2q_B$$

Il consumatore A entra nel mercato a partire da un prezzo pari a 50 e sarà disposto ad acquistare una unità in più di bene aggiuntivo ogni volta che il prezzo scende di una unità.

Mentre il consumatore B comincerà ad acquistare a partire da un prezzo pari a 70 e acquisterà una unità aggiuntiva di bene quando il prezzo cala di 2 unità.

Rappresentiamo graficamente le due curve di domanda individuali

Da ognuna delle curve di domanda andiamo a ricavare la quantità di ogni consumatore in funzione del prezzo

Partiamo dal consumatore A

$$D_A:\quad P=50-q_A\quad\to\quad q_A=50-P$$

Poi passiamo al consumatore B

$$D_B:\quad P=70-q_B\quad\to\quad q_B=35-0,5P$$

Notiamo subito che quando il prezzo di mercato è compreso tra 70 e 50 nel mercato è presente solo il consumatore B 

Pertanto la quantità Q domandata dal mercato è solamente quella del consumatore B

$$50<P<70\quad\to\quad Q=q_B=35-0,5P$$

Quando invece il prezzo scende al di sotto di 50 nel mercato troviamo due consumatore quindi dobbiamo sommare le quantità richieste

$$P<50\quad\to\quad Q=q_A+q_B=(50-P)+(35-0,5P)=85-1,5P$$

In maniera riassuntiva possiamo scrivere la funzione di domanda in questo modo

$$Q=\begin{cases}35-0,5P&\text{se}&50<P<70\\ 85-1,5P&\text{se}&P<50 \end{cases}

Se vogliamo rappresentare graficamente la curva di domanda di mercato affianchiamo le curve di domanda dei consumatori e per ogni livello di prezzo sommiamo le quantità.

Questo prende il nome di somma orizzontale delle curve di domanda

Chiaramente quando la funzione di domanda è lineare risulta veramente molto semplice fare questa operazione.

CURVA DI DOMANDA CON CONSUMATORI OMOGENEI

Molto spesso nella teoria microeconomica si ragiona con impotesi che tendono a semplificare i calcoli.

Una ipotesi molto spesso citata è quella di mercati dove i consumatori hanno le stesse caratteristiche.

Dunque possiedono preferenze omogenee e quindi la stessa curva di domanda individuale per un bene.

Ad esempio supponiamo di trovarci in un’economia dove ci sono 100 consumatori caratterizzati dalla stessa curva di domanda individuale.

$$D_C:\quad P=100-20q\\ \ \\ \begin{aligned}&\\&\text{$D_C$ è la domanda del consumatore}\\&\text{$q$ è la quantità richiesta dal singolo consumatore}\end{aligned}$$

Proviamo a ricavare la curva di domanda di mercato.

Per prima cosa ricaviamo la quantità in funzione del prezzo.

$$P=100-20q\ \to\ 20q=100-P\ \to\ q=5-\frac{1}{20}P$$

Per determinare la curva di domanda del mercato dobbiamo sommare le quantità domandate di tutti i consumatori.

Siccome abbiamo 100 consumatori identici moltiplichiamo determiniamo Q di mercato moltiplicando per 100 la quantità individuale q

$$D_M:\quad Q=100q=100\left(5-\frac{1}{20}P\right)=500-5P\\ \ \\ \text{$D_M$ è la domanda di mercato}$$

Adesso che abbiamo la curva di domanda 

$$D_M:\quad Q=500-5P$$

Possiamo ricavare il prezzo in funzione della quantità

$$D_M:\quad 5P=500-Q\ \to\ P=100-\frac{1}{5}Q$$

Rappresentiamo quindi graficamente la curva di mercato

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