MODELLO DI DOMANDA AGGREGATA ALLARGATO

Andiamo oggi a costruire un modello keynesiano di domanda aggregata più completo.

Nelle tre immagini sotto riportiamo i risultati che abbiamo costruito nell’articolo dedicato alla costruzione matematica del modello keynesiano in cui abbiamo iniziato a costruire il modello.

In tale costruzione abbiamo supposto che la domanda aggregata (AD) di un paese chiuso fosse composto da consumi (C ), investimenti (I) e spesa pubblica (G).

Quando inoltre l’economia si trova nel suo equilibrio tale domanda aggregata (AD) deve necessariamente coincidere con la produzione (Y) che è il reddito o il PIL della nazione.

Dunque dal punto di vista matematico deve essere soddisfatto il seguente sistema:

$$\begin{cases} AD = C + I + G \\AD = Y \end{cases}$$

Abbiamo inoltre supposto fissi gli investimenti (I) e la spesa pubblica (G), mentre abbiamo suddiviso i consumi in due componenti.

La componente C₀ che sono i consumi fissi ovvero quelli indipendenti dal reddito e la componente c(Y-T) che è la componente di consumi dipendente dal reddito (Y) al netto delle imposte (T).

$$C = C_0 + c(Y – T)$$

Dove in particolare c è detta propensione marginale ai consumi che indica quella parte di reddito disponibile che è destinata al consumo.

All’interno della domanda aggregata abbiamo riconosciuto due componenti: una componente di spesa autonoma (SA) che è indipendente dal reddito 

$$SA = C_0 + I + G – cT$$

 e una componente variabile o dipendente dal reddito cY.

Per cui potevamo riscrivere il sistema in questo modo

$$\begin{cases} AD = SA + cY \\ AD = Y \end{cases}$$

Dalla risoluzione matematica del sistema abbiamo il reddito di equilibrio del paese che si ottiene moltiplicando la frazione 1/(1-c) per la spesa autonoma (SA).

$$Y = \frac{1}{1 – c} SA$$

Dove in particolare la frazione 1/(1-c) viene anche detta moltiplicatore keynesiano della spesa.

$$Y = m SA$$

Grazie al moltiplicatore (m) è possibile calcolare la variazione del reddito (∆Y) che avviene ad opera di una certa variazione della spesa autonoma (∆SA).

In particolare otteniamo questa variazione ∆Y moltiplicando la variazione della spesa (∆SA) per il moltiplicatore keynesiano m.

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MODELLO ALLARGATO DI DOMANDA AGGREGATA PER L’ECONOMIA CHIUSA

Quello che vogliamo fare ora è espandere il modello che abbiamo costruito.

In particolare non consideriamo più come componenti fisse investimenti (I), spesa pubblica (G) e imposte (T).

Esattamente come abbiamo fatto per i consumi riconosciamo in queste componenti una componente fissa ed una variabile dipendente dal reddito.

(ricordiamo la formula dei consumi)

$$C = C_0 + c(Y – T)$$

Facciamo dunque la stessa cosa per gli investimenti (I) che rileggiamo nel seguente modo:

$$I = I_0 + dY$$

La prima componente I₀ rappresenta gli investimenti fissi ovvero quelli indipendenti dal reddito.

Mentre la seconda componente dY rappresenta la parte degli investimenti che dipende positivamente dal redditonazionale (Y).

In particolare definiamo il termine d come la propensione marginale agli investimenti che risulta un valore compreso tra 0 e 1.

Il suo valore ci dice quanta parte di reddito nazionale viene destinata agli investimenti.

Ad esempio se d assume il valore di 0,20 significa che per ogni euro di reddito lordo aggiuntivo, 20 centesimi vengono destinati agli investimenti.

Potremmo anche pensare per ogni 100 euro di reddito in più 20 euro vengono utilizzati per acquistare immobili o mezzi di produzione.

Procediamo quindi in modo analogo per la spesa pubblica che riscriviamo come segue:

$$G = G_0 + gY$$

Anche in questo caso abbiamo una componente fissa G0 che è indipendente dal reddito.

Possiamo considerare questa cifra come il livello di spesa pubblica quando il reddito nazionale è uguale a zero.

Dunque si tratta della spesa pubblica minima di sopravvivenza della nazione.

È chiaro che diventa difficile dare un significato pratico a questa componente perché è difficile immaginare un livello di spesa per qualcosa quando si ha a disposizione un reddito nullo.

Consideriamo dunque come un concetto più matematico che altro.

(Ovviamente lo stesso ragionamento vale per le altre componenti fisse dei consumi e degli investimenti).

La seconda componente della spesa gY è quella che dipende dal reddito.

In particolare possiamo definire g come la propensione marginale alla spesa pubblica.

Dunque un valore di g pari a 0,30 indica che per ogni euro di reddito (Y) in più la nazione ne spende 30 centesimi in spesa pubblica.

Oppure potremmo anche dire che per ogni 100 euro di reddito in più 30 euro sono destinati alla spesa pubblica.

Possiamo infine fare lo stesso ragionamento per le imposte T, che rileggiamo così:

$$T = T_0 + tY$$

T0 è la componente fissa di imposta, mentre tY è quella variabile che aumenta con il reddito.

Il coefficiente t è anche detto propensione marginale alla tassazione ed è conosciuto in maniera più comune col nome di aliquota fiscale.

Il tanto odiato t indica dunque quanta parte di reddito risulta tassato.

Se t ad esempio assume il valore di 0,4 significa che per ogni 100 euro di reddito 40 sono destinati alle imposte.

Adesso che abbiamo diviso tutte le voci del modello in componenti fisse e dipendenti dal reddito ritorniamo al sistema di partenza

$$\begin{cases} AD = C + I + G \\ AD = Y \end{cases}$$

Sostituiamo quindi al posto di C,I e G i risultati che abbiamo ricavato

$$\begin{aligned}&C = C_0 + c(Y – T)\\&I = I_0 + dY\\&G = G_0 + gY\\&T = T_0 + tY\end{aligned}$$

Dunque possiamo riscrivere la prima equazione come segue:

$$AD = C_0 + c(Y – (T_0 + tY)) + I_0 + dY + G_0 + gY$$

Svolgiamo un po’ i conti e separiamo la componente fissa da quella che dipende dal reddito. 

$$\begin{aligned}&AD = C_0 + cY – cT_0 – ctY + I_0 + dY + G_0 + gY\\&\\&AD = (C_0 – cT_0 + I_0 + G_0) + (c(1 – t) + d + g)Y\end{aligned}$$

Nella seconda parentesi possiamo ancora raccogliere la c 

$$AD = (C_0 – cT_0 + I_0 + G_0) + (c(1 – t) + d + g)Y$$

A questo punto possiamo riconoscere all’interno dell’ultima equazione della domanda aggregata:

$$AD = (C_0 – cT_0 + I_0 + G_0) + (c(1 – t) + d + g)Y$$

Una componente fissa indipendente dal reddito che definiamo spesa autonoma:

$$SA = C_0 – cT_0 + I_0 + G_0$$

 ed una componente variabile che dipende dal reddito 

$$(c(1 – t) + d + g)Y$$

In particolare il coefficiente che moltiplica la parte variabile viene definita propensione marginale della domanda rispetto ai consumi, alla tassazione agli investimenti e alla spesa pubblica.

Possiamo in maniera sintetica definire questa propensione con il coefficiente p

$$p = c(1 – t) + d + g$$

Questa propensione indica che per ogni euro di reddito aggiuntiva la domanda aggregata subisce un aumento di p euro.

Ricordiamo che il valore della propensione p deve essere compreso tea 0 e 1, questo dal momento che per ogni euro di reddito non possiamo utilizzare più di quell’euro per aumentare la domanda.

Dunque la domanda aggregata può essere riletta come la somma della spesa autonoma (SA) e della parte variabile di reddito (pY) 

$$\begin{cases} AD = C + I + G \ AD = Y \end{cases}$$

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA DOMANDA AGGREGATA

A questo punto il sistema iniziale di equilibrio 

$$\begin{cases} AD = SA + pY \\ AD = Y \end{cases}$$

 può essere riscritto in maniera più sintetica nel seguente modo

$$\begin{cases} AD = SA + pY \\ AD = Y \end{cases}$$

La soluzione di questo sistema ci restituisce il reddito di equilibrio Ye del paese.

Dal punto di vista grafico possiamo rappresentare queste due equazione come due rette nel sistema cartesiano che mette sull’asse orizzontale il valore del reddito Y e sull’asse verticale il valore della domanda aggregata AD.

In particolare la prima equazione del sistema:

$$AD = SA + pY$$

 è un retta che ha come intercetta all’origine SA e come pendenza il valore della propensione marginale p.

Mentre la seconda equazione 

$$AD = Y$$

 indica una retta passante per l’origine inclinata a 45 gradi, ovvero con pendenza pari ad 1.

Per trovare il reddito di equilibrio andiamo a risolvere il sistema in questione

$$\begin{cases} AD = SA + pY \\ AD = Y \end{cases}$$

 con il metodo del confronto, eguagliano cioè i valori delle domande aggregate delle due equazioni 

$$Y = SA + pY$$

Isoliamo quindi le Y sul lato sinistro che andiamo a raccogliere a fattor comune:

$$Y(1 – p) = SA$$

Dividiamo ora entrambi i termini dell’equazione per (1-p)   ottenendo il nostro reddito di equilibrio 

$$Y_E = \frac{1}{1 – p} SA$$

La frazione 1/(1–p) che moltiplica la spesa autonoma prede il nome di moltiplicatore keynesiano della spesa.

$$m = \frac{1}{1 – p} = \frac{1}{1 – (c(1 – t) + d + g)}$$

Essendo la propensione p compresa tra 0 e 1 il valore del moltiplicatore sarà necessariamente maggiore di 1.

Questo significa che il reddito di equilibrio è certamente maggiore della spesa autonoma.

Possiamo dunque scrivere il reddito di equilibrio come il prodotto tra il moltiplicatore keynesiano (m) e la spesa autonoma (SA).

$$Y_E = m SA$$

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VARIAZIONE DELLA SPESA AUTONOMA E VARIAZIONE DEL REDDITO

Il valore del moltiplicatore keynesiano ci permette di stimare quanta variazione subisce il reddito (∆Y) ad opera di una certa variazione della spesa autonoma (∆SA).

In particolare possiamo dimostrare che la variazione del reddito (∆Y) è pari al prodotto tra la variazione della spesa autonoma (∆SA) per il moltiplicatore keynesiano 

$$\Delta Y = m \cdot \Delta SA$$

Per giungere a questa conclusione seguiamo questi semplici passaggi.

Ipotizziamo che la spesa autonoma iniziale sia ad un certo livello iniziale SA₁.

Date le propensioni marginali ai consumi (c ), agli investimenti (d), alla spesa pubblica (g) e alla tassazione (t) possiamo determinare il moltiplicatore keynesiano della spesa

$$m = \frac{1}{1 – p} = \frac{1}{1 – (c(1 – t) + d + g)}$$

In tal modo possiamo determinare i primo reddito di equilibrio Y₁ come il prodotto tra il moltiplicatore m per la prima spesa autonoma SA₁

Supponiamo ora che la spesa autonoma subisca una certa variazione ∆SA positiva tale da portare la spesa autonoma ad un nuovo livello SA2

$$SA_2 = SA_1 + \Delta SA$$

Il nuovo livello di reddito Y2 sarà dunque

$$Y_2 = m SA_2$$

Possiamo quindi affermare che la variazione di reddito (∆Y) risulta essere pari a 

$$\Delta Y = Y_2 – Y_1$$

Sostituiamo dunque i valori dei due redditi in funzione della spesa autonoma

$$\Delta Y = Y_2 – Y_1 = m SA_2 – m SA_1$$

Raccogliamo a fattor comune il moltiplicatore m

$$\Delta Y = Y_2 – Y_1 = m SA_2 – m SA_1 = m(SA_2 – SA_1) = m \Delta SA$$

In definitiva possiamo dunque rileggere la variazione del reddito come il prodotto del moltiplicatore m per la variazione della spesa ∆SA

$$Y_2 = Y_1 + \Delta Y$$

Dal punto di vista grafico possiamo vedere la variazione della spesa autonoma come una traslazione verso l’alto della curva di domanda aggregata di un ammontare pari alla variazione della spesa autonoma ∆SA

Il punto di intersezione con la retta inclinata a 45 gradi si sposta dunque più a destra di un ammontare ∆Y che coincide con la variazione del reddito.

Il nuovo reddito di equilibrio Y2 risulta quindi pari al primo reddito Y1 somma alla variazione del reddito ∆Y

$$Y_2 = Y_1 + \Delta Y$$

VARIAZIONE DELLE PROPENSIONI MARGINALI

Andiamo ora a vedere come varia il reddito di equilibrio ad opera della variazione delle diverse propensioni marginali: consumi (c ), investimenti (d), spesa pubblica (g) e tassazione (t).

VARIAZIONE DELLA PROPENSIONE MARGINALE AI CONSUMI

Partiamo dalla variazione della propensione marginale ai consumi.

Un aumento della propensione marginale ai consumi 

• impatta negativamente sulla spesa autonoma
• Aumenta la propensione generale alla spesa p
• Incrementa il reddito di equilibrio del paese

Ricordiamo infatti che ella formula della spesa autonoma

$$SA = C_0 – cT + I + G$$

 vi è una relazione negativa tra i coefficiente c e la spesa autonoma (SA).

Per cui un aumento di questo coefficiente fa diminuire la spesa autonoma 

Per quel che riguarda la propensione generale alla spesa p

$$p = c(1 – t) + d + g$$

 individuiamo una relazione positiva tra la propensione ai consumi c e la propensione generale p.

Per cui all’aumentare della c ne deriva un incremento (anche se meno che proporzionale di p.

La situazione è mostrata nel grafico sotto nella parte di sinistra.

Un aumento della prepensione ai consumi c sposta leggermente in basso l’intercetta dall’ordine SA della domanda aggregata ma aumenta l’inclinazione della retta.

Il nuovo reddito di equilibrio cade ad un livello maggiore rispetto al precedente.

Possiamo quindi ragionare in maniera speculare per analizzare gli effetti di un calo della propensione marginale ai consumi da parte dei cittadini.

Gli effetti generati dalla diminuzione di c sono:

• impatta negativamente sulla spesa autonoma
• Aumenta la propensione generale alla spesa p
• Incrementa il reddito di equilibrio del paese

Dal punto di vista grafico  (destra) osserviamo:

• Uno spostamento verso l’alto (leggero) della spesa autonoma
• Una diminuzione della pendenza della domanda aggregata
• Un reddito di equilibrio che cade a sinistra (minore) rispetto al precedente

CAMBIAMENTI NELLE ALTRE PROPENSIONI MARGINALI

Vediamo ora cosa accade quando cambiano le altre propensioni marginali: investimenti (d), spesa pubblica (g) e tassazione (t).

I ragionamenti sono simili (se non identici) rispetto a quanto visto per la propensione marginale ai consumi.

L’unica differenza consiste nel fatto che queste altre propensioni impattano solamente sulla propensione p generale alla spesa mentre non vanno a toccare la spesa autonoma.

Cominciamo dunque ad identificare tutte le variabili che vanno ad aumentare la propensione alla spesa p:

•  aumento della propensione marginale agli investimenti (d)
•  incremento della propensione marginale alla spesa pubblica (g)
•  diminuzione dell’aliquota fiscale (t)

In tutti questi e tri i casi vediamo un incremento della propensione generale alla spesa p che ricordiamo essere:

$$p = c(1 – t) + d + g$$

 tale propensione p infatti dipende positivamente dalle componenti agli investimenti (d) e alla spesa pubblica (g) e negativamente dalla tassazione (t).

Ricordiamo che p indica la punto di vista grafico la pendenza della retta di domanda aggregata.

Quando si verifica dunque una di queste tre situazioni aumenta la pendenza della retta e dunque aumenta anche il reddito di equilibrio della nazione.

Abbiamo una situazione esattamente opposta quando:

•  diminuisce la propensione marginale agli investimenti (d)
•  decrementa la propensione marginale alla spesa pubblica (g)
•  aumenta la pressione fiscale (t)

L’effetto di queste situazioni sono una diminuzione della propensione p, che diminuisce la pendenza della retta e fa calare il reddito di equilibrio del paese.

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