Cerchiamo di vedere i passaggi chiave che hanno portato il matematico Andrew Wiles a dimostrare l’ultimo teorema di Wiles.
L’Ultimo Teorema di Fermat, una delle congetture più famose della storia della matematica, ha resistito per oltre 350 anni a ogni tentativo di dimostrazione. Afferma che non esistono soluzioni intere positive all’equazione
$a^n + b^n = c^n$
per ogni intero $n$ maggiore di 2.
La sua soluzione, trovata da Andrew Wiles nel 1994, non è una semplice formula, ma un capolavoro di ragionamento per assurdo che ha unito tre campi matematici apparentemente separati: l’aritmetica di base, la teoria delle curve ellittiche e quella delle forme modulari.
INDICE
- 1 La Contradizione e la Conclusione Finale: Una Sintesi
- 2 La Curva di Frey: La Creazione di un’Anomalia
- 3 Il Conduttore e il Radicale: L’Impronta Digitale della Curva
- 4 Il Primo Conflitto: La Curva di Frey Non Può Essere Modulare
- 5 Il Ponte di Wiles: Il Teorema di Modularità
- 6 Rappresentazioni di Galois e Isomorfismo: Il Cuore della Dimostrazione
- 7 La Catena Logica si Completa: L’Isomorfismo di Wiles
- 8 RISCOPRI LA MATEMATICA PARTENDO DA ZERO
La Contradizione e la Conclusione Finale: Una Sintesi
La prova di Andrew Wiles è un’elegante argomentazione per assurdo. Il suo ragionamento centrale si basa su una contraddizione logica che ha messo fine a un mistero secolare. Mettiamo in fila i punti:
Ipotesi (Fermat): La dimostrazione parte dall’assunto che esista una soluzione a $a^n+b^n=c^n$.
Conseguenza 1 (Frey-Ribet): Si costruisce un oggetto matematico, la curva di Frey, che non dovrebbe esistere. Questa curva, se la soluzione di Fermat fosse vera, non è modulare.
Conseguenza 2 (Wiles): Il Teorema di Modularità di Wiles afferma invece che quella stessa curva (appartenente a una classe specifica) deve essere modulare.
Questo paradosso logico ha un’unica soluzione: l’assunto iniziale, ovvero l’esistenza di una soluzione all’equazione di Fermat, deve essere falso. Pertanto, l’Ultimo Teorema di Fermat è vero.
Ora che abbiamo compreso la logica complessiva della dimostrazione, possiamo scendere nei dettagli di ciascuna fase, esplorando i concetti matematici che hanno reso possibile questo risultato rivoluzionario.
Entreremo nella fase più tecnica del ragionamento, analizzando come Frey abbia scelto la sua curva, cosa sia un conduttore e perché una curva con un conduttore così semplice non può essere modulare.
La Curva di Frey: La Creazione di un’Anomalia
Il primo passo fu un’idea brillante di Gerhard Frey. Egli propose un’ipotesi audace: supponiamo per assurdo che esista una soluzione intera e non banale all’equazione di Fermat, $a^n + b^n = c^n$, per un numero primo $n>2$. A partire da questa ipotetica soluzione, Frey ha costruito una curva ellittica molto speciale, nota come la curva di Frey. La sua equazione è:
$$y^2 = x(x – a^n)(x + b^n)$$
Questa non è stata una scelta casuale. Frey scelse questa forma specifica perché sapeva che avrebbe generato un’anomalia. L’intuizione profonda era che, se una soluzione di Fermat esistesse, i numeri $a^n$, $b^n$ e $c^n$ avrebbero delle proprietà molto particolari.
Inserendoli in questa curva, Frey ha creato un oggetto con una “firma” matematica che non si adattava a nessuna delle teorie esistenti. In particolare, il suo \textbf{discriminante} $\Delta$, che fornisce informazioni sulla struttura della curva, aveva una forma estremamente insolita. Per una curva della forma $y^2 = x(x – A)(x + B)$, il discriminante è $\Delta = 16(AB(A+B))^2$. Sostituendo $A=a^n$ e $B=b^n$, e usando l’ipotesi $a^n+b^n=c^n$, si ottiene:
$$\Delta = 16(a^n b^n (a^n+b^n))^2 = 16(a^n b^n c^n)^2$$
Questo discriminante è un quadrato perfetto moltiplicato per 16, una proprietà che è stata la chiave di volta per il ragionamento che è seguito.
Il Conduttore e il Radicale: L’Impronta Digitale della Curva
Per comprendere perché la curva di Frey è un’anomalia, dobbiamo introdurre il concetto di conduttore di una curva ellittica, indicato con $N$. Il conduttore è un numero intero positivo che codifica le informazioni sui numeri primi per i quali la curva ha una riduzione cattiva.
Il conduttore è il prodotto di tutti questi numeri primi. La genialità della costruzione di Frey sta nel fatto che, per la sua curva, il conduttore è un numero eccezionalmente semplice. È uguale al radicale dei numeri $a,b,c$.
Per capire cosa sia il radicale, dobbiamo prima definire il termine $\text{rad}$. Il radicale di un numero intero $k$, indicato come $\text{rad}(k)$, è il prodotto di tutti i suoi fattori primi distinti. Non tiene conto della loro molteplicità.
Ecco alcuni esempi pratici per chiarire il concetto: Il radicale di 12 è $\text{rad}(12)$. La scomposizione in fattori primi di 12 è $2^2 \cdot 3$. I fattori primi distinti sono 2 e 3. Quindi, $\text{rad}(12)=2 \cdot 3 = 6$.
Il radicale di 18 è $\text{rad}(18)$. La scomposizione in fattori primi di 18 è $2 \cdot 3^2$. I fattori primi distinti sono 2 e 3. Quindi, $\text{rad}(18)=2 \cdot 3 = 6$.
Il radicale di un numero elevato a una potenza è lo stesso radicale del numero stesso. Ad esempio, $\text{rad}(7^5) = 7$.
Consideriamo l’espressione che abbiamo incontrato nella dimostrazione del discriminante: $\text{rad}(a^2 b^2 c^2)$. Poiché i fattori primi di $a^2 b^2 c^2$ sono esattamente gli stessi di $abc$, il radicale è $\text{rad}(a^2 b^2 c^2) = \text{rad}(abc)$.
Infine, calcoliamo il radicale di un’espressione complessa come $2^3 \cdot 5^3 \cdot 7^4 \cdot 6^{1000}$. Prima scomponiamo il 6 in fattori primi: $6=2 \cdot 3$. L’espressione diventa $2^3 \cdot 5^3 \cdot 7^4 \cdot (2 \cdot 3)^{1000} = 2^{1003} \cdot 3^{1000} \cdot 5^3 \cdot 7^4$. I fattori primi distinti sono 2,3,5,7. Il radicale è il loro prodotto: $\text{rad}(2^{1003} \cdot 3^{1000} \cdot 5^3 \cdot 7^4) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
La curva di Frey, se esistesse, avrebbe un conduttore eccezionalmente semplice:
$$N=\text{rad}(abc)$$
Questa proprietà la rende priva di quadrati (square-free), un tipo di numero estremamente semplice in termini di fattori primi.
Il Primo Conflitto: La Curva di Frey Non Può Essere Modulare
A questo punto si inserisce il lavoro di Jean-Pierre Serre e Ken Ribet. Frey aveva già intuito che una curva con un conduttore così semplice fosse un’anomalia. Il motivo è che la teoria delle forme modulari, un altro campo della matematica che studia funzioni complesse con particolari proprietà di simmetria, non aveva “posto” per un oggetto così semplice.
La congettura epsilon di Serre (ora noto come Teorema di Ribet), dimostrata nel 1986 da Ken Ribet, affermava che una curva ellittica con un conduttore privo di quadrati non poteva essere modulare.
In breve, il ragionamento di Frey e Ribet ci porta a una prima conclusione: se l’Ultimo Teorema di Fermat ha una soluzione, allora esiste una curva ellittica (la curva di Frey) che non può essere collegata a una forma modulare. In altre parole, è un oggetto che, pur essendo matematicamente definibile, non si adatta a una delle più importanti famiglie di oggetti matematici.
Il Ponte di Wiles: Il Teorema di Modularità
Il Ponte di Wiles: Il Teorema di Modularità
Mentre Frey e Ribet lavoravano sul loro versante, Andrew Wiles, in totale segretezza per sette anni, si concentrava su una congettura molto più grande e fondamentale: la congettura di Taniyama-Shimura-Weil, oggi nota come Teorema di Modularità.
Questo teorema afferma che ogni curva ellittica semi-stabile razionale può essere associata a una forma modulare. Per comprendere questo, pensiamo a due mondi separati:
- Il mondo delle curve ellittiche (oggetti geometrici con punti).
- Il mondo delle forme modulari (funzioni analitiche complesse).
Il Teorema di Modularità è il ponte che unisce questi due mondi, affermando che sono, in un certo senso, la stessa cosa. Per ogni curva ellittica ben definita, esiste una forma modulare corrispondente che ne descrive in modo completo le proprietà. L’idea è che la “firma” di una curva ellittica (la sequenza di numeri $a_p=p-N_p$ che abbiamo discusso) è esattamente la stessa della “firma” di una forma modulare (i suoi coefficienti di Fourier).
Rappresentazioni di Galois e Isomorfismo: Il Cuore della Dimostrazione
Per stabilire questo legame profondo tra curve ellittiche e forme modulari, Andrew Wiles si è basato su un concetto matematico avanzato: le rappresentazioni di Galois.
Cosa sono le Rappresentazioni di Galois?
Un’analogia utile è quella dell’impronta digitale. Ogni oggetto matematico, come una curva, ha il suo DNA unico. Una rappresentazione di Galois è una funzione che associa le simmetrie di un’equazione a dei numeri o a delle matrici, permettendo di studiare la sua struttura in modo più concreto.
Per comprendere la differenza tra il Gruppo di Galois e le simmetrie di Galois, pensiamo a loro in questo modo: le simmetrie sono le singole operazioni che lasciano una struttura invariata, mentre il Gruppo di Galois è l’insieme di tutte queste operazioni. Una rappresentazione di Galois è la “traduzione” di questo gruppo astratto in un formato numerico che può essere facilmente studiato.
Ecco tre esempi in ordine crescente di difficoltà:
Esempio 1: Equazione Semplice (Difficoltà Bassa)
Consideriamo l’equazione semplice $x^2 – 2 = 0$.
Le soluzioni sono $x_1 = \sqrt{2}$ e $x_2 = -\sqrt{2}$.
Il Gruppo di Galois di questa equazione ha solo due elementi, o simmetrie: l’identità (che non fa nulla) e lo scambio delle due soluzioni.
Esempio 2: Equazione Cubica (Difficoltà Media)
Consideriamo l’equazione cubica $x^3 – 2 = 0$.
Le soluzioni sono una reale e due complesse. Il Gruppo di Galois, in questo caso, ha sei simmetrie, che includono rotazioni e scambi delle soluzioni. Queste sei operazioni formano un gruppo più complesso (il gruppo simmetrico $S_3$).
Esempio 3: Curve Ellittiche (Difficoltà Elevata)
Le simmetrie delle curve ellittiche sono molto più astratte.
Per studiare il comportamento di questi punti, i matematici usano un’operazione chiamata Frobenius che, per ogni numero primo $p$, riorganizza i punti in un modo specifico. La rappresentazione di Galois della curva associa a ogni operazione di Frobenius una matrice $2 \times 2$.
La traccia (la somma degli elementi sulla diagonale) di questa matrice è legata al numero di punti $N_p$ della curva in modulo $p$. La relazione è:
$$\text{Traccia}(A_p) = a_p = p+1 – N_p$$
Per capire come si calcola $N_p$, consideriamo la curva ellittica $y^2 = x^3 – 2x$ e un primo $p=3$.
Dobbiamo contare quante coppie $(x,y)$ di numeri interi da 0 a 2 soddisfano l’equazione, e poi aggiungere 1 (il “punto all’infinito”).
Calcoliamo il lato destro, $x^3 – 2x$, per ogni $x \in {0,1,2}$:
Per $x=0: 0^3 – 2(0) = 0$.
Per $x=1: 1^3 – 2(1) = 1-2 = -1 \equiv 2 \pmod{3}$.
Per $x=2: 2^3 – 2(2) = 8-4 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Ora calcoliamo il lato sinistro, $y^2$, per ogni $y \in {0,1,2}$:
Per $y=0: y^2 = 0^2 = 0$.
Per $y=1: y^2 = 1^2 = 1$.
Per $y=2: y^2 = 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Confrontiamo i risultati per trovare le coppie $(x,y)$ valide: Se $x^3-2x=0$, $y^2$ deve essere 0. Troviamo 1 punto: $(0,0)$. Se $x^3-2x=2$, $y^2$ deve essere 2. Non ci sono punti. Se $x^3-2x=1$, $y^2$ deve essere 1. Troviamo 2 punti: $(2,1)$ e $(2,2)$.
Contiamo i punti e aggiungiamo il punto all’infinito: abbiamo trovato 3 punti. Aggiungendo il punto all’infinito, otteniamo un totale di $N_3=3+1=4$.
È importante notare che il numero 4 non compare direttamente nella matrice, ma è il valore di $N_3$, il numero totale di punti. Questo valore viene utilizzato per calcolare la traccia della matrice ($a_3=p+1-N_3$), che è una delle sue proprietà fondamentali.
Il determinante della matrice è $p$. Per la curva $y^2=x^3-2x$ e il primo $p=3$, il numero di punti è $N_3=4$. La traccia è $a_3=3+1-4=0$. Dunque, la matrice che rappresenta questa simmetria deve avere la traccia uguale a 0 e il determinante uguale a 3. Ad esempio, una possibile matrice è:
$$A_3 = \begin{pmatrix} 0 & -3 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Questa matrice, a un livello profondo, “simula” l’azione delle simmetrie di Galois della curva per il primo $p=3$. È corretto. Il numero 4 non fa parte della matrice $A_3$ perché non è un valore diretto della teoria delle rappresentazioni di Galois, ma è il risultato del conteggio dei punti sulla curva ellittica, noto come $N_p$.
La matrice $A_p$ viene costruita in modo che il suo determinante e la sua traccia abbiano proprietà specifiche che riflettono le caratteristiche della curva. In particolare, la traccia della matrice è legata al numero di punti $N_p$ dalla formula:
$$\text{Traccia}(A_p) = a_p = p+1 – N_p$$
Nel nostro esempio con $p=3$ e $N_3=4$, la traccia della matrice deve essere $3+1-4=0$. Il numero 4 ($N_3$) è usato per calcolare il valore della traccia ($a_3=0$), che a sua volta è usato per costruire la matrice, ma il 4 non compare direttamente al suo interno.
La Catena Logica si Completa: L’Isomorfismo di Wiles
Wiles non ha dimostrato che la matrice della rappresentazione di Galois di una curva ellittica è uguale a quella di una forma modulare. Ha dimostrato che le due rappresentazioni sono isomorfe, ovvero strutturalmente equivalenti. La loro “impronta digitale” (i loro coefficienti) è la stessa.
Il passo geniale e rivoluzionario fu dimostrare che queste due “famiglie di impronte digitali” sono le stesse. Utilizzando una tecnica complessa e originale, Wiles ha dimostrato che c’è un isomorfismo tra l’anello che descrive le deformazioni delle rappresentazioni di Galois delle curve ellittiche e l’anello che descrive quelle delle forme modulari.
In sostanza, ha dimostrato che le due teorie sono due facce della stessa medaglia. Questo ha permesso a Wiles di concludere che ogni curva ellittica semi-stabile (la classe a cui appartiene la curva di Frey) deve avere una forma modulare corrispondente.
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4 risposte
A proposito di UTF, ho provato ad indagare partendo dai pochi indizi a disposizione; in particolare sul libro che Fermat stava leggendo quando vi scrisse a margine di aver trovato una soluzione. Poi mi sono messo a giocare con quello che potrebbe avere avuto sottomano Fermat in quel libro e, incredibilmente, quasi senza volerlo, credo di aver trovato la dimostrazione. Anche a me sembra troppo bello per essere vero, perciò chiedo una verifica.
Inutile dire che non sono stato preso sul serio da coloro a cui l’ho richiesta (e che, per la verità, penso non abbiano nemmeno dato un’occhiata); per questo sto cercando sul web un minimo di disponibilità ad un esame obiettivo.
Se volete darmi credito, ed avete un po’ di curiosità, posso inviarvi la dimostrazione (algebrica, semplicissima). Datemi per favore il vostro indirizzo email, dato che, per quanto breve, non riesco a scriverla in questo spazio.
Grazie.
Il vostro spazio è più grande dei margini del libro di Fermat. Ecco la dimostrazione (gli esponenti non sono indicati correttamente ma si possono intuire).
Ultimo Teorema di Fermat, una dimostrazione semplice.
L’Ultimo Teorema di Fermat (UTF) afferma che l’equazione:
XN + YN = ZN – con X, Y, Z ed N interi – non è vera per N > 2.
Fermat sosteneva di aver trovato una dimostrazione a questa congettura (che così divenne un teorema tout-court), ma che non era possibile scriverla a margine di una pagina del libro che stava leggendo.
Questo libro era “l’Arithmetica” di Diofanto e la dimostrazione era evidentemente troppo lunga per il poco spazio disponibile.
Tuttavia, un indizio importante è costituito dal fatto che ciò che Fermat stava leggendo su quel libro fosse probabilmente la formula per il calcolo delle terne pitagoriche.
Ora si tratta di provare a ricostruire il ragionamento di Fermat basandosi non propriamente sul metodo del calcolo delle terne pitagoriche ma su qualcosa di simile, cercando di dimostrare in modo logicamente corretto che:
“non è invece possibile dividere un cubo in due cubi. Un quadrato-quadrato in due quadrato-quadrati, e in genere nessuna potenza maggiore di due in due potenze dello stesso ordine”.
Va tuttavia precisato che, come si vedrà più avanti, m ed n devono essere per forza diversi; per tale motivo si considerino due interi: n ed m (con m < n). Perciò si prenda un qualsiasi intero n e gli si sottragga 1 o 2 o 3, ecc. ottenendo così una coppia di interi. La dimostrazione proverà che qualsiasi coppia di interi (diversi fra loro) implica una soluzione che non può essere intera.
Allora, in modo analogo a quanto probabilmente descritto (a margine) ne “l'Arithmetica”,
si considerino perciò i due cubi:
X3 = (n – m)3
e
Z3 = (n + m)3
dove X3 + Y3 = Z3
cercando quindi un'opportuna formulazione di Y3 tale da soddisfare l'equazione di cui sopra – e dove anche n ed m sono numeri interi con m < n.
Sviluppando i cubi di questi due binomi si ottengono:
X3 = (n – m)3 = n3 – 3n2m + 3nm2 – m3
e
Z3 = (n + m)3 = n3 + 3n2m + 3nm2 + m3
Quindi la formulazione di Y3 necessaria a soddisfare X3 + Y3 = Z3 è la seguente:
Y3 = 6n2m + 2m3
Ora bisogna stabilire se 6n2m + 2m3 sia effettivamente un cubo.
Scrivendo 6n2m + 2m3 come 2(3n2m + m3) si vede che a tale espressione corrisponde il doppio di una parte di un cubo; tuttavia occorre ricordare che m < n, mentre l'espressione di cui sopra sarebbe effettivamente un cubo solo nel caso in cui m = n.
Si avrebbe infatti:
2(3n2n + n3)
il che dà:
2(3n3 + n3), ovvero 8n3
che è il prodotto di due cubi e, quindi, a sua volta è un cubo poiché
8n3 = 23n3
che equivale al cubo di 2n.
Invece, con m m) tale che 2(3n2m + m3) sia esattamente un cubo.
Per superare l’ostacolo si può cercare di valutare in modo più preciso cosa significhi affermare che 2(3n2m + m3) corrisponda al “doppio di una parte di un cubo”.
In realtà il cubo completo (più esattamente il cubo di n + m) è:
n3 + 3n2m + 3nm2 + m3 che, diviso in due parti, si può scrivere come la somma di
(n3 + 3nm2) e (3n2m + m3);
il che permette di stabilire che (n3 + 3nm2) > (3n2m + m3)
ed è possibile dimostrarlo*; in particolare la differenza tra (n3 + 3nm2) e
(3n2m + m3) è pari al cubo di n – m.
Questo equivale ad affermare che, per qualunque valore intero di m ed n, 2(3n2m + m3) è pari al doppio di meno della metà di un cubo, ossia meno di un qualsiasi cubo.
In modo del tutto analogo si considerino le quarte potenze (quadrati-quadrati):
X4 = (n – m)4
e
Z4 = (n + m)4
dove X4 + Y4 = Z4
cercando quindi un’opportuna formulazione di Y4 tale da soddisfare l’equazione di cui sopra – e dove anche n ed m sono numeri interi con m < n.
Sviluppando le quarte potenze di questi due binomi si ottengono:
X4 = (n – m)4 = n4 – 4n3m + 6n2m2 – 4nm3 + m4
e
Z4 = (n + m)4 = n4 + 4n3m + 6n2m2 + 4nm3 + m4
Quindi la formulazione di Y3 necessaria a soddisfare X3 + Y3 = Z3 è la seguente:
Y3 = 8n3m + 8nm3
Ora bisogna stabilire se 8n3m + 8nm3 sia effettivamente una quarta potenza.
Scrivendo 8n3m + 8nm3 come 2(4n3m + 4nm3) si vede che a tale espressione corrisponde il doppio di una parte di una quarta potenza; tuttavia occorre ricordare che m < n, mentre l'espressione di cui sopra sarebbe effettivamente una quarta potenza solo nel caso in cui m = n.
Si avrebbe infatti:
2(4n3n + 4nn3)
il che dà:
2(4n4 + 4n4), ovvero 16n4
che è il prodotto di due quarte potenze e, quindi, a sua volta è una quarta potenza poiché
16n4 = 24n4
che equivale alla quarta potenza di 2n.
Invece, con m m) tale che 2(4n3m + 4nm3) sia esattamente una quarta potenza.
Per superare l’ostacolo si può cercare di valutare in modo più preciso cosa significhi affermare che 2(4n3m + 4nm3) corrisponda al “doppio di una parte di una quarta potenza”.
In realtà la quarta potenza completa (più esattamente la quarta potenza di n + m) è:
n4 + 4n3m + 6n2m2 + 4nm3 + m4 che, divisa in due parti, si può scrivere come la somma di
(n4 + 6n2m2 + m4 ) e (4n3m + 4nm3);
il che permette di stabilire che (n4 + 6n2m2 + m4 ) > (4n3m + 4nm3);
ed è possibile dimostrarlo in modo analogo a quanto già visto nel caso precedente; in particolare la differenza tra (n4 + 6n2m2 + m4 ) e (4n3m + 4nm3) è pari alla quarta potenza di n – m.
Questo equivale ad affermare che, per qualsiasi valore intero di m ed n, 2(4n3m + 4nm3) è il doppio di meno della metà di una quarta potenza, ossia meno di una quarta potenza. E così via…
Una semplice considerazione: se quanto affermato fosse corretto, sarebbe di una semplicità disarmante in confronto al poderoso lavoro di Andrew Wiles che, nel 1994, diede una dimostrazione di UTF universalmente ritenuta valida ma utilizzando strumenti matematici estremamente sofisticati.
Inoltre ciò rende inverosimile come alcuni secoli di lavoro matematico effettuato sia da dilettanti che da professionisti (incluso Eulero), non abbiano portato a nulla.
*
Dimostrazione che (n3 + 3nm2) > (3n2m + m3).
Si ponga d = n – m, da cui si ricava che m = n – d
e si indichino (n3 + 3nm2) come A e (3n2m + m3) come B.
Per quanto riguarda A si avrà:
n3 + 3nm2 = n3 + 3n(n – d)2 = n3 + 3n(n2 – 2nd + d2) = n3 + 3n3 – 6n2d + 3nd2 = 4n3 – 6n2d + 3nd2
mentre per quanto riguarda B si avrà:
3n2m + m3 = 3n2(n – d) + (n – d)3 = 3n3 – 3n2d + n3 – 3n2d + 3nd2 – d3 = 4n3 – 6n2d + 3nd2 – d3
quindi A = B + d3 perciò (n3 + 3nm2) > (3n2m + m3) e la loro differenza è pari al cubo di n – m.
Mario Cerri, 12 giugno 2024
(Sono quasi 2 anni che cerco inutilmente un confronto…)
Grazie per l’attenzione
“Gentile Mario,Innanzitutto, la ringrazio di cuore per aver condiviso il suo lavoro sul mio blog. Apprezzo moltissimo la passione, il tempo e l’impegno che ha dedicato a questo affascinante problema.
Due anni di riflessione solitaria meritano assolutamente un confronto serio e rigoroso, ed è un piacere per me poterle rispondere.
Ho analizzato attentamente i suoi passaggi.
La buona notizia è che tutta la sua algebra è corretta.
Lo sviluppo dei cubi, le scomposizioni e la dimostrazione finale che
$(n^3 + 3nm^2) > (3n^2m + m^3)$
sono passaggi algebrici ineccepibili.
Tuttavia, c’è un salto logico fondamentale nel momento in cui trae la conclusione, che purtroppo invalida la dimostrazione.
Le spiego esattamente dove si trova.
Lei arriva a stabilire che $Y^3 = 2(3n^2m + m^3)$.
Poi, dimostra (correttamente) che questo valore è inferiore al cubo completo $Z^3 = (n+m)^3$.
Da qui, lei deduce: “Questo equivale ad affermare che… è pari al doppio di meno della metà di un cubo, ossia meno di un qualsiasi cubo.”
È qui che risiede l’errore logico!
Il fatto che $Y^3$ sia una “parte” dello sviluppo del cubo di $(n+m)$ e che sia strettamente minore di $Z^3$, non impedisce in alcun modo che $Y^3$ possa essere un altro cubo perfetto più piccolo.
Dimostrare che $Y^3 < Z^3$ è una banalità intrinseca all'equazione di partenza: se $X^3 + Y^3 = Z^3$ (con numeri interi positivi), è ovvio che $Y$ debba essere minore di $Z$. Ma dimostrare che un numero è più piccolo di un cubo specifico (in questo caso $Z^3$) non significa dimostrare che non possa essere un cubo esso stesso!
La prova definitiva dell’errore (Il test con N=2)
Per convincersi di questo errore logico, proviamo ad applicare il suo esatto e identico ragionamento ai quadrati ($N=2$),
dove sappiamo con certezza che il Teorema di Fermat NON vale (esistono le terne pitagoriche).
Prendiamo:$X^2 = (n – m)^2$$Z^2 = (n + m)^2$
Vogliamo trovare $Y^2$ tale che $X^2 + Y^2 = Z^2$.
Facciamo i suoi stessi passaggi:$Y^2 = Z^2 – X^2 = (n^2 + 2nm + m^2) – (n^2 – 2nm + m^2)$
Otteniamo: $Y^2 = 4nm$Ora applichiamo la sua logica: il quadrato completo $Z^2$ è diviso nelle parti $(n^2 + m^2)$ e $(2nm)$.
Sappiamo (e si può dimostrare) che $(n^2 + m^2) > 2nm$ (per $n \neq m$).
Quindi, $Y^2 = 4nm$ è “il doppio di una parte di un quadrato” (usando le sue parole), ed è strettamente minore del quadrato completo $(n+m)^2$.
Se la sua logica fosse corretta, dovremmo concludere che $Y^2 = 4nm$ non può mai essere un quadrato perfetto, perché è solo un “frammento” del quadrato originale.
Eppure, sappiamo che questo è falso!!
Basta scegliere $n = 9$ ed $m = 4$.$Y^2 = 4(9)(4) = 144$, che è un quadrato perfetto esatto (è il quadrato di $12$).E infatti, sostituendo:$X = 9 – 4 = 5$$Z = 9 + 4 = 13$Otteniamo $5^2 + 12^2 = 13^2$.
La terna pitagorica perfetta.
Conclusione:Il suo ragionamento algebrico prova semplicemente che $Y < Z$. Ma non dimostra in alcun modo l'impossibilità che l'espressione $2(3n^2m + m^3)$ possa, per una specifica combinazione magica di $n$ ed $m$, generare un cubo perfetto isolato. Il fatto che un numero sia generato da una "frazione" di un binomio non gli impedisce di essere una potenza perfetta. (Inoltre, porre $X = n-m$ e $Z = n+m$ obbliga $X$ e $Z$ ad avere la stessa parità, il che fa perdere di generalità alla dimostrazione sin dall'inizio). Spero che questo esempio con $N=2$ chiarisca il motivo per cui i matematici, incluso Eulero, non hanno potuto usare questo approccio, rendendo necessari gli strumenti sofisticati di Andrew Wiles. . La ringrazio ancora per l'audacia e la passione. La matematica progredisce esattamente in questo modo: proponendo idee, testandole e cercando i punti di rottura logici. Un cordiale saluto!"
A proposito di UTF, ho provato ad indagare partendo dai pochi indizi a disposizione; in particolare sul libro che Fermat stava leggendo quando vi scrisse a margine di aver trovato una soluzione. Poi mi sono messo a giocare con quello che potrebbe avere avuto sottomano Fermat in quel libro e, incredibilmente, quasi senza volerlo, credo di aver trovato la dimostrazione. Anche a me sembra troppo bello per essere vero, perciò chiedo una verifica.
Inutile dire che non sono stato preso sul serio da coloro a cui l’ho richiesta (e che, per la verità, penso non abbiano nemmeno dato un’occhiata); per questo sto cercando sul web un minimo di disponibilità ad un esame obiettivo.
Se volete darmi credito, ed avete un po’ di curiosità, posso inviarvi la dimostrazione (algebrica, semplicissima). Datemi per favore il vostro indirizzo email, dato che, per quanto breve, non riesco a scriverla in questo spazio.
Grazie.
Mario Cerri