INDICE
Introduzione: Cos’è la Capitalizzazione
La capitalizzazione è l’operazione finanziaria che consente di determinare il Montante ($M$) che un dato Capitale iniziale ($C$) produce al termine di un certo periodo di tempo ($t$), in base a un determinato tasso di interesse. È il processo di portare un valore attuale nel futuro, considerando l’effetto del guadagno generato dal tempo (gli interessi).
La capitalizzazione è fondamentale in tutti i contesti finanziari che prevedono l’accrescimento del denaro nel tempo, quali: Investimenti e Depositi Bancari, Pianificazione Pensionistica, e Valutazione dei Flussi di Cassa.
Capitalizzazione con la Situazione Finanziaria Elementare (SFE)
La Situazione Finanziaria Elementare (SFE) coinvolge un capitale $C$ all’istante $t=0$ che si trasforma in un Montante $M$ all’istante $t$.
Interesse ($I$)
L’interesse è la remunerazione del capitale:
$$I = M – C$$
Tasso di Interesse (Complessivo) ($i$)
Il fattore di montante $i$ è il rapporto tra l’Interesse e il Capitale iniziale:
$$m = \frac{I}{C}$$
Intensità di Interesse ($\gamma$)
L’intensità di interesse è il rapporto tra il tasso di interesse e il tempo trascorso:
$$\gamma = \frac{I}{t}$$
Fattore di Montante ($m$)
Il fattore di montante $m$ è il rapporto tra il Montante e il Capitale iniziale:
$$m = \frac{M}{C}$$
Esempio di Calcolo dei Concetti SFE
Dato un Capitale $C=5.000€$ che dopo $t=2$ anni diventa un Montante $M=5.600€$:
- Interesse ($I$):
$$I = 5.600 – 5.000 = 600€$$ - Tasso di Interesse (Complessivo) ($i$):
$$i = \frac{600}{5.000} = 0,12$$ - Intensità di Interesse ($\gamma$):
$$\gamma = \frac{0,12}{2 \text{ anni}} = 0,06=6\%\ \text{annuo}$$ - Fattore di Montante ($m(t)$):
$$m = \frac{5.600}{5.000} = 1,12$$
Il Fattore di Montante ($m(t)$)
Il Fattore di Montante, $m(t)$, è il moltiplicatore che lega $C$ a $M$ in qualsiasi regime finanziario.
I Fattori di Montante nei Tre Regimi
| Regime Finanziario | Fattore di Montante $m(t)$ | Esempio ($i=0,05$, $t=2$ anni) |
|---|---|---|
| Interesse Semplice | $m(t) = 1 + i \cdot t$ | $1 + 0,05 \cdot 2 = 1,10$ |
| Interesse Composto | $m(t) = (1 + i)^t$ | $(1 + 0,05)^2 = 1,1025$ |
| Sconto Commerciale (Anticipato) | $m(t) = \frac{1}{1 – d \cdot t}$ | $d \approx 0,0476$; $m(2) \approx 1,1048$ |
L’Intensità Istantanea di Interesse
L’Intensità Istantanea di Interesse ($\delta(t)$) è il limite per l’intervallo di tempo $\Delta t$ che tende a zero dell’intensità di interesse generata in quell’intervallo:
$$\delta(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{I(t, t+\Delta t)}{\Delta t}$$
Matematicamente, è la derivata logaritmica del fattore di montante:
$$\delta(t) = \frac{m'(t)}{m(t)} = \frac{d}{dt} [\ln(m(t))]$$
Esempio di Calcolo dell’Intensità Istantanea
Consideriamo un fattore di montante generico dato da $m(t) = 1 + 0,02t^2$.
- Derivata del fattore di montante $m'(t)$:
$$m'(t) = 0,04t$$ - Funzione dell’Intensità Istantanea $\delta(t)$:
$$\delta(t) = \frac{0,04t}{1 + 0,02t^2}$$
L’Intensità Istantanea nei Tre Regimi
| Regime Finanziario | Intensità Istantanea $\delta(t)$ | Caratteristica |
|---|---|---|
| Interesse Semplice | $\delta(t) = \frac{i}{1 + i \cdot t}$ | Decrescente |
| Interesse Composto | $\delta(t) = \ln(1 + i)$ | Costante |
| Sconto Commerciale | $\delta(t) = \frac{d}{1 – d \cdot t}$ | Crescente |
La Capitalizzazione nelle Rendite
La capitalizzazione si applica anche a una sequenza di flussi di cassa (rendite). Si calcola il montante di ciascun flusso fino a una data futura stabilita ($T$) e si sommano i risultati.
Esempio di Capitalizzazione con Flussi Multipli
Dato un tasso annuo di interesse $i=0,05$. Calcoliamo il montante totale $M_{tot}$ all’istante $T=4$ anni per i flussi: $R_1 = 100€$ (al tempo $t=1$), $R_2 = 200€$ (al tempo $t=2$), $R_3 = 300€$ (al tempo $t=3$). $M_t = R_t \cdot m(T-t)$.
1. Regime a Interesse Semplice ($i=0,05$)
$$M_{tot} = \sum_{t=1}^{3} R_t \cdot (1 + i \cdot (4-t))$$
- $R_1$: $100 \cdot (1 + 0,05 \cdot 3) = 115,00€$
- $R_2$: $200 \cdot (1 + 0,05 \cdot 2) = 220,00€$
- $R_3$: $300 \cdot (1 + 0,05 \cdot 1) = 315,00€$
$$\mathbf{M_{tot}} = 115,00 + 220,00 + 315,00 = \mathbf{650,00€}$$
2. Regime a Interesse Composto ($i=0,05$)
$$M_{tot} = \sum_{t=1}^{3} R_t \cdot (1 + i)^{4-t}$$
- $R_1$: $100 \cdot (1,05)^3 \approx 115,76€$
- $R_2$: $200 \cdot (1,05)^2 = 220,50€$
- $R_3$: $300 \cdot (1,05)^1 = 315,00€$
$$\mathbf{M_{tot}} = 115,76 + 220,50 + 315,00 = \mathbf{651,26€}$$
3. Regime a Sconto Commerciale (Anticipato)
Convertiamo $i=0,05$ nel tasso di sconto equivalente $d$:
$$d = \frac{i}{1+i} = \frac{0,05}{1,05} \approx 0,047619$$
Il montante di ciascun flusso è $M_t = R_t \cdot \frac{1}{1 – d \cdot (4-t)}$.
$$M_{tot} = \sum_{t=1}^{3} R_t \cdot \frac{1}{1 – d \cdot (4-t)}$$
- $R_1$: $100 \cdot \frac{1}{1 – 0,047619 \cdot 3} \approx 116,67€$
- $R_2$: $200 \cdot \frac{1}{1 – 0,047619 \cdot 2} \approx 220,00€$
- $R_3$: $300 \cdot \frac{1}{1 – 0,047619 \cdot 1} \approx 315,00€$
$$\mathbf{M_{tot}} = 116,67 + 220,00 + 315,00 = \mathbf{651,67€}$$
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Un percorso che parte dall’attualizzazione e la capitalizzazione nei regimi finanziari. Passando per le le rendite, le operazioni finanziarie, i piani di ammortamento e i criteri di scelta dei progetti. Per fine nella matematica attuariale delle assicurazioni.