La Legge dei Grandi Numeri (LGN) è un pilastro della teoria della probabilità che descrive la sorprendente stabilità del caos. In sostanza, stabilisce che all’aumentare del numero di prove indipendenti, la media dei risultati osservati (frequenza relativa) converge al valore atteso teorico (probabilità teorica).
Nonostante l’imprevedibilità di un singolo evento, il comportamento collettivo di molti eventi casuali diventa prevedibile e stabile, permettendo di “domare” il caso sul lungo periodo.
Esempio Pratico: Il Lancio della Moneta 🪙
Consideriamo il lancio di una moneta perfettamente equa. La probabilità teorica di ottenere “Testa” (T) è P(T)=0.5 (o 50%).
La LGN prevede che, man mano che si effettuano più lanci, la percentuale di Teste uscite si avvicinerà sempre più al 50%.
Simulazione Storica
Per illustrare questo principio in modo autorevole, facciamo riferimento alle simulazioni storiche eseguite dai padri della statistica. I dati che seguono si basano sul famoso esperimento del naturalista inglese Karl Pearson (1857-1936), che lanciò una moneta 24.000 volte, e sull’esperimento di Georges-Louis Leclerc, Conte di Buffon (1707-1788).
| Numero di Lanci (N) | Numero di Teste Osservate (k) | Frequenza Relativa (k/N) | Autore dello Studio |
| 4.040 | 2.048 | 0.5069 | Conte di Buffon |
| 12.000 | 6.019 | 0.5016 | Karl Pearson |
| 24.000 | 12.012 | 0.5005 | Karl Pearson |
| 1.000.000.000 | ≈500.000.000 | →0.50000 | Simulazione teorica (LGN) |
Come si vede, all’aumentare del numero di lanci, la frequenza relativa si è avvicinata progressivamente al valore teorico di 0.5.
Utilizzi Pratici Elementari
La LGN non è solo un concetto teorico; è il fondamento matematico che consente a settori vitali di operare con precisione.
Le compagnie di assicurazione ne sono l’esempio più lampante. Esse non possono prevedere chi, tra i loro assicurati, avrà un incidente o subirà un danno (un evento singolo è puramente casuale), ma grazie alla Legge dei Grandi Numeri, possono prevedere con grande accuratezza quanti sinistri avverranno su 100.000 polizze. Questa previsione di massa, che si stabilizza sulla probabilità storica, permette ai periti attuari di calcolare il premio in modo equo e, soprattutto, sostenibile per l’azienda.
Anche l’operatività delle case da gioco si basa interamente su questo principio. Sebbene la singola scommessa sia imprevedibile, l’architettura dei casinò è costruita per garantire un piccolo vantaggio matematico del banco (il house edge). Su migliaia di giocate, la LGN assicura che questo margine, anche se minuscolo (ad esempio il 2% alla roulette), si traduca inevitabilmente in un guadagno certo per la struttura, poiché la media delle vincite si stabilizza sul valore teorico atteso.
Infine, la statistica e i sondaggi d’opinione devono la loro validità alla LGN. Quando un sondaggista intervista un campione relativamente piccolo, ad esempio 1.000 persone, per stimare l’opinione di milioni, fa affidamento sul fatto che il campione sia sufficientemente grande affinché la media dei risultati campionari sia un buon stimatore, quasi certo, della media dell’intera popolazione.
Le Due Forme della Legge: Un Approfondimento
La Legge dei Grandi Numeri si articola in due teoremi distinti che definiscono diversi tipi di convergenza, entrambi essenziali per la teoria moderna della probabilità.
La Legge Debole dei Grandi Numeri (LWLLN), dimostrata da Jakob Bernoulli, è meno restrittiva. Essa si concentra sulla probabilità che la media campionaria si avvicini al valore atteso. In pratica, afferma che, all’aumentare del numero di prove (N), la probabilità che la media campionaria si discosti dal valore teorico per una quantità anche piccolissima (ϵ) tende a zero. Ci dice che è improbabile che la media osservata sia significativamente lontana dalla media vera quando N è grande.
La Legge Forte dei Grandi Numeri (SLLN), dimostrata successivamente da matematici come Émile Borel e Andrey Kolmogorov, è una versione più stringente. Essa afferma che la media campionaria converge quasi certamente (o “con probabilità 1”) al valore atteso. La SLLN non si limita a dire che la media ha un’alta probabilità di essere vicina, ma garantisce che, se potessimo estendere la sequenza di prove indefinitamente, la media finale sarebbe il valore atteso. Essa esclude che la media possa “oscillare” lontano dal valore teorico infinite volte, confermando una convergenza molto più robusta nel lungo termine.
L’Inventore: Jakob Bernoulli
La Legge dei Grandi Numeri fu formalizzata dal matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654–1705), membro della celebre famiglia di matematici.
Jakob Bernoulli visse in un’epoca di grande fermento scientifico, immediatamente successiva ai lavori pionieristici di Pascal e Fermat. Egli si mosse con l’obiettivo ambizioso di elevare la teoria della probabilità da una serie di soluzioni a specifici problemi di gioco a una vera e propria scienza matematica applicabile a problemi più ampi, come la demografia o l’economia. La sua ricerca culminò nell’opera Ars Conjectandi (L’Arte di Congetturare), pubblicata postuma nel 1713.
Bernoulli fu profondamente ispirato dalla dottrina del “valore atteso” sviluppata da Christiaan Huygens. Il suo lavoro non fu solo una dimostrazione, ma un tentativo filosofico di colmare il divario tra la probabilità teorica (a priori) e l’esperienza pratica (a posteriori). La sua Legge Debole ha fornito al mondo la prima giustificazione matematica rigorosa per l’uso dell’inferenza statistica, stabilendo che le nostre osservazioni empiriche, se sufficientemente numerose, possono davvero guidarci verso la conoscenza della verità probabilistica.
SCOPRI IL MONDO DELLE PROBABILITÀ
Comincia un fantastico viaggio alla scoperta della probabilità
Accedi ai corsi di statistica e impara a destreggiarti nei labirinti dei calcoli della statistica probabilistica.
2 risposte
Nel gioco del lotto che significato assume “grandi numeri “ . In un anno vi sono 208 estrazioni ( 4 settimanali) . La probabilità di un evento è sempre calcolato con la definizione “ numero eventi favorevoli diviso numeri eventi possibili”. Ad ogni estrazione sono associati 10 ambi. Mettendo in gioco ,ad esempio ,sempre gli stessi 15 numeri e calcolando la probabilità che ne escano due di essi, ha senso aspettarsi che in un anno la frequenza dell’evento si avvicini alla probabilità? O 208 estrazioni ( cui corrispondono 2080 ambi ) e’ da considerarsi non un grande numero e , quindi, in questo caso quando si può parlare di grandi numeri?
Ciao Francesco!
La tua è un’ottima domanda, ma nasconde una piccola, e comunissima, insidia statistica. Innanzitutto, sfatiamo un mito: non possiamo considerare 2080 ambi. I 10 ambi che si formano in una singola estrazione su una ruota derivano tutti dalla stessa cinquina estratta, quindi non sono eventi “indipendenti” tra loro.
Le prove reali da considerare per la statistica restano il numero delle estrazioni, ovvero 208.
La Legge dei Grandi Numeri ci assicura che, a lungo andare, la frequenza si avvicinerà alla probabilità, ma 208 estrazioni in un gioco come il Lotto non sono un grande numero. Per fenomeni con probabilità relativamente basse, la fluttuazione del caso (quella che in statistica chiamiamo varianza) è altissima.
Giocando sempre 15 numeri, hai circa il 19,25% di probabilità di fare almeno un ambo (cioè indovinare 2 o più numeri) a ogni estrazione. In un anno ti aspetteresti matematicamente circa 40 vincite. Tuttavia, la statistica ci dice che a causa del basso numero di estrazioni ($N=208$), per il semplice effetto del caso potresti tranquillamente vincerne 29 in un anno sfortunato o 51 in uno molto fortunato. La frequenza in un singolo anno oscillerà in modo troppo marcato per avvicinarsi con precisione alla probabilità teorica.
Per vedere la frequenza ‘incollarsi’ in modo stabile alla probabilità nel Lotto servirebbero migliaia di estrazioni, non centinaia!
Approfondimento Matematico e Tecnico
Se vogliamo scendere nel dettaglio tecnico, dobbiamo dimostrare matematicamente perché 208 estrazioni non soddisfano i requisiti di “grande numero” e calcolare esattamente cosa possiamo aspettarci.
1. Il calcolo della probabilità teorica ($p$)
Per calcolare la probabilità esatta di ottenere almeno un ambo giocando 15 numeri su una singola ruota, utilizziamo il calcolo combinatorio (la distribuzione ipergeometrica). Lo spazio campionario, ovvero tutti i casi possibili (le cinquine estraibili da 90 numeri), è dato dal coefficiente binomiale:
$$\Omega = \binom{90}{5} = \frac{90!}{5!(90-5)!} = 43.949.268$$
L’evento “fare ambo” significa estrarre 2, 3, 4 o 5 numeri tra i 15 scelti. È molto più semplice calcolare la probabilità dell’evento complementare, ovvero la probabilità di estrarre 0 o 1 numero, e sottrarla a 1.
La probabilità di NON estrarre nessuno dei nostri 15 numeri (estrarne 5 dai 75 non giocati):
$$P(0) = \frac{\binom{75}{5} \cdot \binom{15}{0}}{\binom{90}{5}} = \frac{17.259.390}{43.949.268} \approx 0,3927$$
La probabilità di estrarre esattamente 1 dei nostri numeri:
$$P(1) = \frac{\binom{75}{4} \cdot \binom{15}{1}}{\binom{90}{5}} = \frac{1.215.450 \cdot 15}{43.949.268} = \frac{18.231.750}{43.949.268} \approx 0,4148$$
La probabilità $p$ di vincere (almeno un ambo) è:
$$p = 1 – (P(0) + P(1)) = 1 – (0,3927 + 0,4148) = 0,1925$$
Quindi, la probabilità teorica di successo ad ogni estrazione è del 19,25%.
2. Valore Atteso e Varianza in 208 estrazioni
Le 208 estrazioni annuali sono prove bernoulliane indipendenti. Possiamo modellarle con una variabile aleatoria Binomiale $X \sim B(N, p)$ con $N = 208$ e $p = 0,1925$.
Il numero atteso di vincite in un anno (Valore Atteso) è:
$$E[X] = N \cdot p = 208 \cdot 0,1925 \approx 40,04$$
Ma quanto oscillerà questo valore? Lo scopriamo calcolando la deviazione standard ($\sigma$):
$$\sigma = \sqrt{N \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{208 \cdot 0,1925 \cdot 0,8075} \approx 5,68$$
In una distribuzione normale (che approssima bene la binomiale), il 95% dei risultati cade nell’intervallo $E[X] \pm 2\sigma$. Questo significa che in un anno solare, il numero di estrazioni vincenti oscillerà quasi sempre nel range:
$$[40 – 2(5,68) \; ; \; 40 + 2(5,68)] \implies [28,6 \; ; \; 51,4]$$
Avere uno scarto potenziale di $\pm 11$ estrazioni vincenti su 40 attese rappresenta un errore relativo enorme (quasi del 30%). Ecco perché 208 estrazioni non mostrano la convergenza attesa.
3. Quando inizia il “Grande Numero”?
La Legge dei Grandi Numeri (Teorema di Bernoulli) ci dice che la frequenza relativa $f_N = \frac{X}{N}$ converge in probabilità a $p$:
$$\lim_{N \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{N} – p\right| < \epsilon\right) = 1$$ Per capire quando $N$ è “grande”, guardiamo la deviazione standard della frequenza relativa:
$$\sigma_{f} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}$$
Come si vede dalla formula, l’errore diminuisce con la radice quadrata di $N$. Se volessimo che la nostra frequenza osservata si discostasse dalla probabilità teorica per non più dell’1% (con il 95% di confidenza), dovremmo risolvere questa disequazione:
$$1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,1925 \cdot 0,8075}{N}} < 0,01$$ Risolvendo per $N$, scopriamo che ci servirebbero circa 5.968 estrazioni (più di 28 anni di gioco ininterrotto) per poter finalmente chiamare in causa i “grandi numeri” e vedere la frequenza allinearsi fedelmente alla teoria statistica.