La dimostrazione di Bernoulli della Legge Debole dei grandi Numeri si concentra su una sequenza di $n$ prove indipendenti di un evento $A$, dove la probabilità di successo è $p$ (e fallimento $q = 1-p$).
INDICE
1. Definizione dello Scostamento
Bernoulli voleva dimostrare che la frequenza relativa osservata delle prove riuscite, $\frac{k}{n}$, si avvicina alla probabilità teorica $p$ all’aumentare di $n$.
Lo scostamento è definito da:
$$\left| \frac{k}{n} – p \right|$$
In termini moderni, per ogni $\epsilon > 0$ (un errore arbitrariamente piccolo), si vuole dimostrare che:
$$\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{k}{n} – p \right| < \epsilon \right) = 1$$
2. L’Uso del “Principio di Čebyšëv”
Bernoulli riuscì a stabilire un limite superiore per la probabilità che la frequenza relativa si discostasse dal valore atteso.
Formalmente, applicando la Disuguaglianza di Čebyšëv alla media campionaria $\bar{X}_n = \frac{k}{n}$ (che ha media $\mu = p$ e varianza $\sigma^2 = \frac{p(1-p)}{n}$), si ottiene:
$$P\left( \left| \frac{k}{n} – p \right| \geq \epsilon \right) \leq \frac{p(1-p)}{n\epsilon^2}$$
3. La Convergenza al Limite
Man mano che il numero di prove $n$ tende all’infinito ($n \to \infty$), il denominatore $n\epsilon^2$ tende all’infinito, e quindi l’intera frazione tende a zero:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{p(1-p)}{n\epsilon^2} = 0$$
Conclusione di Bernoulli
Poiché la probabilità di un grande scostamento ($\left| \frac{k}{n} – p \right| \geq \epsilon$) tende a zero, ne consegue che la probabilità che la frequenza relativa sia vicina al valore atteso ($P\left( \left| \frac{k}{n} – p \right| < \epsilon \right)$) deve tendere a 1.
Il Creatore: Jakob Bernoulli e la Giustificazione dell’Induzione
Il genio dietro a questa dimostrazione fu Jakob Bernoulli (1654–1705), membro di spicco della rinomata famiglia svizzera di matematici.
Bernoulli non era mosso da un semplice interesse per il gioco d’azzardo, ma da un profondo desiderio filosofico e scientifico: egli voleva estendere l’uso della probabilità, appena formalizzata da Pascal e Fermat per i giochi, a questioni ben più ampie come l’economia morale e la politica.
Il grande problema era fornire una giustificazione matematica per l’inferenza induttiva: se si osservano molti eventi passati (ad esempio, le nascite, le morti, i tassi di interesse), si può davvero stabilire una probabilità futura con certezza?
La dimostrazione della Legge Debole dei Grandi Numeri, contenuta nella sua opera postuma Ars Conjectandi (1713), risponde affermativamente a questa domanda. Essa è stata la sua eredità più grande, poiché ha trasformato la probabilità da un passatempo matematico per risolvere enigmi sui dadi in un rigoroso strumento scientifico per affrontare l’incertezza del mondo reale.
In questo modo, Bernoulli ha di fatto aperto la strada a tutto il campo della statistica inferenziale, dimostrando matematicamente che l’osservazione del passato può informare le nostre previsioni future.
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