Esercizi Svolti sul Raccoglimento a Fattor Comune (MCD)

Il Raccoglimento a Fattor Comune Totale è la prima tecnica di scomposizione da tentare, sempre. Si basa sulla ricerca del Massimo Comun Divisore (MCD) tra tutti i monomi che compongono il polinomio.

La procedura è l’inverso della moltiplicazione di un monomio per un polinomio:

1. Trovare l’MCD (il monomio più grande che può dividere tutti i termini).
2. “Mettere in evidenza” l’MCD (scriverlo fuori da una parentesi).
3. Riempire la parentesi con i risultati della divisione di ogni termine originale per l’MCD.

Vengono presentati 5 esercizi che rappresentano le casistiche principali.

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Esercizio 1: (Raccoglimento a fattor comune) Caso Base

Domanda: Scomponi il polinomio $5a^2 + 10ab$.

Risposta Corretta: $5a(a + 2b)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. MCD Numeri: Tra 5 e 10, l’MCD è 5.
2. MCD Lettere: Tra $a^2$ e $a$, si prende l’esponente più basso: $a$. La ‘b’ non è in comune.
3. MCD Totale: $5a$.
4. Divisione:
   • $5a^2 \div (5a) = a$
   • $10ab \div (5a) = 2b$
5. Risultato Finale: $5a(a + 2b)$.

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Esercizio 2: (Raccoglimento a fattor comune) Più Lettere ed Esponenti

Domanda: Scomponi $6x^3y^2 – 9x^2y^3 + 3x^2y^2$.

Risposta Corretta: $3x^2y^2(2x – 3y + 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. MCD Numeri: Tra 6, 9 e 3, l’MCD è 3.
2. MCD Lettere (‘x’): Tra $x^3$ e $x^2$, si prende l’esponente più basso: $x^2$.
3. MCD Lettere (‘y’): Tra $y^2$ e $y^3$, si prende l’esponente più basso: $y^2$.
4. MCD Totale: $3x^2y^2$.
5. Divisione:
   • $6x^3y^2 \div (3x^2y^2) = 2x$
   • $-9x^2y^3 \div (3x^2y^2) = -3y$
   • $+3x^2y^2 \div (3x^2y^2) = +1$ (Attenzione: la divisione di un termine per se stesso fa 1, non 0).
6. Risultato Finale: $3x^2y^2(2x – 3y + 1)$.

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Esercizio 3: Raccoglimento di un Segno Negativo

Domanda: Scomponi $-a^3 – 2a^2 – a$.

Risposta Corretta: $-a(a^2 + 2a + 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Quando il termine di grado massimo è negativo, è prassi comune raccogliere anche il segno meno.

1. MCD Numeri: Tra -1, -2, -1, raccogliamo -1.
2. MCD Lettere: Tra $a^3$, $a^2$ e $a$, l’MCD è $a$.
3. MCD Totale: $-a$.
4. Divisione: Raccogliere un segno ‘meno’ inverte tutti i segni.
   • $-a^3 \div (-a) = +a^2$
   • $-2a^2 \div (-a) = +2a$
   • $-a \div (-a) = +1$
5. Risultato Finale: $-a(a^2 + 2a + 1)$. (Si noti che la parentesi è ora un quadrato di binomio, $(a+1)^2$, ma il raccoglimento totale si ferma qui).

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Esercizio 4: Raccoglimento di Frazioni

Domanda: Scomponi $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x$.

Risposta Corretta: $\frac{1}{2}x(x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Il raccoglimento funziona anche con le frazioni.

1. MCD Numeri: Tra $\frac{1}{2}$ e $\frac{3}{2}$, l’MCD è $\frac{1}{2}$.
2. MCD Lettere: Tra $x^2$ e $x$, l’MCD è $x$.
3. MCD Totale: $\frac{1}{2}x$.
4. Divisione:
   • $\frac{1}{2}x^2 \div (\frac{1}{2}x) = x$
   • $\frac{3}{2}x \div (\frac{1}{2}x) = (\frac{3}{2} \div \frac{1}{2}) = (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1}) = 3$
5. Risultato Finale: $\frac{1}{2}x(x + 3)$.

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Esercizio 5: Raccoglimento di un Binomio (Parentesi)

Domanda: Scomponi $5(a + b) + x(a + b)$.

Risposta Corretta: $(a + b)(5 + x)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Il fattore comune non deve essere per forza un monomio. Può essere un intero polinomio (in questo caso, il binomio $(a+b)$).

1. Identificazione: L’espressione ha due “super-termini”: $5(a + b)$ e $x(a + b)$.
2. MCD (Polinomiale): Il blocco in comune è la parentesi $(a + b)$.
3. Divisione:
   • $[5(a + b)] \div (a + b) = 5$
   • $[x(a + b)] \div (a + b) = x$
4. Risultato Finale: Mettiamo in evidenza il blocco $(a + b)$ e scriviamo i risultati nell’altra parentesi: $(a + b)(5 + x)$.

IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!

Le scomposizioni sono il vero “collo di bottiglia” dell’algebra: se non sai smontare un polinomio, ogni esercizio futuro si trasformerà in un muro invalicabile.

Raccoglimento totale, parziale, cubo di binomio, trinomio speciale o la temuta regola di Ruffini… Fissare il foglio sperando che la regola giusta ti appaia in mente è frustrante. E il rischio è altissimo: se non sai fattorizzare, non potrai risolvere le equazioni fratte, ti bloccherai sui limiti e sbaglierai gli studi di funzione.

Smetti di andare per tentativi e di cancellare all’infinito. Ho creato questo modulo sulle basi per installare nella tua mente un vero e proprio “radar” per i polinomi: