Esercizi Svolti: Riepilogo Avanzato Scomposizioni

Per scomporre un polinomio complesso, è fondamentale seguire una gerarchia di passaggi. L’ordine corretto da seguire è:

1. Raccoglimento a Fattor Comune Totale (MCD): Sempre il primo passo.
2. Riconoscimento Prodotti Notevoli: Cercare quadrati, cubi o differenze di quadrati.
3. Raccoglimento Parziale: Se ci sono 4, 6 o 8 termini.
4. Trinomio Speciale/Generico: Se è un trinomio di 2° grado.
5. Regola di Ruffini: Come ultima risorsa, se il polinomio ha grado 3 o superiore.

Vengono presentati 10 esercizi complessi in ordine di difficoltà.

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Livello Base :Esercizi sulle Scomposizioni (Doppio Metodo)

Esercizio 1: Totale + Differenza di Quadrati

Domanda: Scomponi $5x^3 – 5x$.

Risposta Corretta: $5x(x – 1)(x + 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Totale (MCD): Raccogliamo $5x \rightarrow 5x(x^2 – 1)$.
2. Prod. Notevole: La parentesi è una Differenza di Quadrati $\rightarrow (x – 1)(x + 1)$.
3. Risultato: $5x(x – 1)(x + 1)$.

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Esercizio 2 :Esercizi sulle Scomposizioni Totale + Quadrato di Binomio

Domanda: Scomponi $2a^3 + 4a^2b + 2ab^2$.

Risposta Corretta: $2a(a + b)^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Totale (MCD): Raccogliamo $2a \rightarrow 2a(a^2 + 2ab + b^2)$.
2. Prod. Notevole: La parentesi è un Quadrato di Binomio.
3. Risultato: $2a(a + b)^2$.

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Esercizio 3 :Esercizi sulle Scomposizioni Totale + Trinomio Speciale

Domanda: Scomponi $3x^2 + 9x – 30$.

Risposta Corretta: $3(x + 5)(x – 2)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Totale (MCD): Raccogliamo $3 \rightarrow 3(x^2 + 3x – 10)$.
2. Trinomio Speciale: Scomponiamo $(x^2 + 3x – 10)$. (Somma +3, Prodotto -10 $\rightarrow$ Numeri: +5, -2).
3. Risultato: $3(x + 5)(x – 2)$.

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Livello Intermedio :Esercizi sulle Scomposizioni (Metodi Combinati)

Esercizio 4: Parziale + Differenza di Quadrati

Domanda: Scomponi $x^3 – 2x^2 – 9x + 18$.

Risposta Corretta: $(x – 2)(x – 3)(x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Parziale (a gruppi): $(x^3 – 2x^2) + (-9x + 18) \rightarrow x^2(x – 2) – 9(x – 2)$.
2. Raccoglimento Finale: $(x – 2)(x^2 – 9)$.
3. Prod. Notevole: Il secondo fattore $(x^2 – 9)$ è una Differenza di Quadrati $\rightarrow (x – 3)(x + 3)$.
4. Risultato: $(x – 2)(x – 3)(x + 3)$.

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Esercizio 5: Riconoscimento + Differenza di Quadrati (di Blocchi)

Domanda: Scomponi $a^2 – 2ab + b^2 – 4c^2$.

Risposta Corretta: $(a – b – 2c)(a – b + 2c)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Parziale (a gruppi 3+1): Riconosciamo i primi 3 termini $\rightarrow (a^2 – 2ab + b^2) – 4c^2$.
2. Prod. Notevole (Quadrato Binomio): Il primo blocco è $(a – b)^2$.
3. Riscrivi: L’espressione diventa $(a – b)^2 – (2c)^2$.
4. Prod. Notevole (Diff. Quadrati): Questa è una Differenza di Quadrati $A^2 – B^2$ dove $A=(a-b)$ e $B=2c$.
5. Risultato: $(A – B)(A + B) \rightarrow ( (a-b) – 2c )( (a-b) + 2c )$.

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Esercizio 6: Triplo Metodo (Totale + Diff. Quadrati + Somma/Diff Cubi)

Domanda: Scomponi $y^7 – y$.

Risposta Corretta: $y(y – 1)(y^2 + y + 1)(y + 1)(y^2 – y + 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Totale (MCD): Raccogliamo $y \rightarrow y(y^6 – 1)$.
2. Prod. Notevole (Diff. Quadrati): Scomponiamo $y^6 – 1$ come $(y^3)^2 – 1^2 \rightarrow y(y^3 – 1)(y^3 + 1)$.
3. Prod. Notevole (Cubi): Scomponiamo entrambi i fattori:
   • $(y^3 – 1) = (y – 1)(y^2 + y + 1)$
   • $(y^3 + 1) = (y + 1)(y^2 – y + 1)$
4. Risultato Finale: $y(y – 1)(y^2 + y + 1)(y + 1)(y^2 – y + 1)$.

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Livello Avanzato (Focus su Ruffini)

Esercizio 7: Ruffini Semplice

Domanda: Scomponi $x^3 – 2x^2 – 5x + 6$.

Risposta Corretta: $(x – 1)(x + 2)(x – 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Ruffini (P(1)): Proviamo $x=1 \rightarrow (1)^3 – 2(1)^2 – 5(1) + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0$. Trovato.
2. Divisione: Dividiamo $(x^3 – 2x^2 – 5x + 6)$ per $(x – 1)$ con la tabella di Ruffini.
3. Quoziente: Otteniamo $x^2 – x – 6$.
4. Trinomio Speciale: Scomponiamo $x^2 – x – 6$. (Somma -1, Prodotto -6 $\rightarrow$ Numeri: +2, -3).
5. Risultato Finale: $(x – 1)(x + 2)(x – 3)$.

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Esercizio 8: Totale + Ruffini + Trinomio

Domanda: Scomponi $2x^4 + 2x^3 – 10x^2 + 6x$.

Risposta Corretta: $2x(x – 1)^2(x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Totale (MCD): Raccogliamo $2x \rightarrow 2x(x^3 + x^2 – 5x + 3)$.
2. Ruffini (P(1)): Analizziamo $P(x) = x^3 + x^2 – 5x + 3$. Proviamo $x=1 \rightarrow 1+1-5+3 = 0$. Trovato.
3. Divisione: Dividiamo $P(x)$ per $(x – 1)$.
4. Quoziente: Otteniamo $x^2 + 2x – 3$.
5. Trinomio Speciale: Scomponiamo $x^2 + 2x – 3$. (Somma +2, Prodotto -3 $\rightarrow$ Numeri: +3, -1).
6. Risultato Finale: $2x \cdot (x – 1) \cdot (x + 3)(x – 1) = 2x(x – 1)^2(x + 3)$.

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Esercizio 9: Ruffini Doppio + Prodotti Notevoli

Domanda: Scomponi $x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 4x + 4$.

Risposta Corretta: $(x + 1)^2(x – 2)^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Ruffini (P(-1)): $P(-1) = (-1)^4 – 2(-1)^3 – 3(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 1 + 2 – 3 – 4 + 4 = 0$.
2. Divisione 1: Dividiamo $P(x)$ per $(x + 1)$. Otteniamo $x^3 – 3x^2 + 0x + 4$.
3. Ruffini 2 (P(-1)): Proviamo di nuovo $x=-1$ sul quoziente: $(-1)^3 – 3(-1)^2 + 4 = -1 – 3 + 4 = 0$. Trovato (radice doppia).
4. Divisione 2: Dividiamo $(x^3 – 3x^2 + 4)$ per $(x + 1)$.
5. Quoziente 2: Otteniamo $x^2 – 4x + 4$.
6. Prod. Notevole: Riconosciamo $x^2 – 4x + 4$ come $(x – 2)^2$.
7. Risultato Finale: $(x + 1)(x + 1)(x – 2)^2 = (x + 1)^2(x – 2)^2$.

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Livello Molto Difficile

Esercizio 10: Totale + Trinomio (in $x^2$) + Doppia Diff. Quadrati

Domanda: Scomponi $x^5 – 5x^3 + 4x$.

Risposta Corretta: $x(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Totale (MCD): Raccogliamo $x \rightarrow x(x^4 – 5x^2 + 4)$.
2. Trinomio Speciale (in $x^2$): Guardiamo la parentesi come se fosse $y^2 – 5y + 4$ (con $y=x^2$).
   • Somma = -5, Prodotto = 4. I numeri sono -1 e -4.
   • La scomposizione è $x(x^2 – 1)(x^2 – 4)$.
3. Prod. Notevole 1 (Diff. Quadrati): Scomponiamo $(x^2 – 1) \rightarrow (x – 1)(x + 1)$.
4. Prod. Notevole 2 (Diff. Quadrati): Scomponiamo $(x^2 – 4) \rightarrow (x – 2)(x + 2)$.
5. Risultato Finale: Uniamo tutti i 5 fattori: $x(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)$.

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