Esercizi Svolti sul Trinomio Generico di Secondo Grado

La scomposizione del trinomio generico di secondo grado $ax^2+bx+c$ è un’estensione del metodo Somma-Prodotto. Non cerchiamo più due numeri la cui somma è $b$ e il prodotto è $c$.

La strategia è:

1. Trovare il Prodotto $a \cdot c$: Calcolare il prodotto tra il coefficiente di $x^2$ e il termine noto.
2. Cercare Somma e Prodotto: Trovare due numeri, $n_1$ e $n_2$, tali che:
   • La loro Somma sia $b$ (il coefficiente di $x$).
   • Il loro Prodotto sia $a \cdot c$ (il numero trovato al passo 1).
3. Dividere il Termine Centrale: Riscrivere il trinomio dividendo il termine $bx$ in $n_1x + n_2x$.
4. Raccoglimento Parziale: Il polinomio avrà ora 4 termini. Si procede con un raccoglimento a fattor parziale.

Vengono presentati 6 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base

Esercizio 1: Trinomio Generico di Secondo Grado – Caso Base (Positivo)

Domanda: Scomponi il trinomio $2x^2 + 7x + 3$.

Risposta Corretta: $(2x + 1)(x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Identifica a, b, c: $a=2$, $b=7$, $c=3$.
2. Calcola Prodotto (a·c): $2 \cdot 3 = 6$.
3. Cerca Somma/Prodotto: Cerchiamo due numeri con Somma = 7 e Prodotto = 6. I numeri sono +1 e +6.
4. Dividi il Termine Centrale: Riscriviamo $7x$ come $1x + 6x$.$$2x^2 + x + 6x + 3$$
5. Raccoglimento Parziale:
   • $(2x^2 + x) + (6x + 3)$
   • $x(2x + 1) + 3(2x + 1)$
6. Risultato Finale: $(2x + 1)(x + 3)$.

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Esercizio 2: Trinomio Generico di Secondo Grado – Caso Base (Segni Misti)

Domanda: Scomponi $3x^2 – 10x + 8$.

Risposta Corretta: $(3x – 4)(x – 2)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Identifica a, b, c: $a=3$, $b=-10$, $c=8$.
2. Calcola Prodotto (a·c): $3 \cdot 8 = 24$.
3. Cerca Somma/Prodotto: Somma = -10, Prodotto = 24. (Entrambi negativi). I numeri sono -4 e -6.
4. Dividi il Termine Centrale: Riscriviamo $-10x$ come $-4x – 6x$.$$3x^2 – 4x – 6x + 8$$
5. Raccoglimento Parziale:
   • $(3x^2 – 4x) + (-6x + 8)$
   • $x(3x – 4) – 2(3x – 4)$ (Attenzione a raccogliere -2 dal secondo gruppo).
6. Risultato Finale: $(3x – 4)(x – 2)$.

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Livello Intermedio

Esercizio 3: Trinomio Generico di Secondo Grado – Prodotto Negativo

Domanda: Scomponi $2a^2 – a – 6$.

Risposta Corretta: $(2a + 3)(a – 2)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Identifica a, b, c: $a=2$, $b=-1$, $c=-6$.
2. Calcola Prodotto (a·c): $2 \cdot (-6) = -12$.
3. Cerca Somma/Prodotto: Somma = -1, Prodotto = -12. (Un numero positivo e uno negativo). I numeri sono +3 e -4.
4. Dividi il Termine Centrale: Riscriviamo $-a$ come $+3a – 4a$.$$2a^2 + 3a – 4a – 6$$
5. Raccoglimento Parziale:
   • $(2a^2 + 3a) + (-4a – 6)$
   • $a(2a + 3) – 2(2a + 3)$
6. Risultato Finale: $(2a + 3)(a – 2)$.

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Esercizio 4: Numeri più Grandi

Domanda: Scomponi $6x^2 + 5x – 4$.

Risposta Corretta: $(3x + 4)(2x – 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Identifica a, b, c: $a=6$, $b=5$, $c=-4$.
2. Calcola Prodotto (a·c): $6 \cdot (-4) = -24$.
3. Cerca Somma/Prodotto: Somma = 5, Prodotto = -24. I numeri sono +8 e -3.
4. Dividi il Termine Centrale: Riscriviamo $5x$ come $+8x – 3x$.$$6x^2 + 8x – 3x – 4$$
5. Raccoglimento Parziale:
   • $(6x^2 + 8x) + (-3x – 4)$
   • $2x(3x + 4) – 1(3x + 4)$ (Raccogliamo -1)
6. Risultato Finale: $(3x + 4)(2x – 1)$.

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Livello Avanzato

Esercizio 5: Raccoglimento Totale Iniziale

Domanda: Scomponi $12x^2 + 14x – 6$.

Risposta Corretta: $2(3x – 1)(2x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Sempre primo passo: Raccoglimento Totale.

1. Raccoglimento Totale (MCD): L’MCD tra 12, 14 e -6 è 2.
2. Esegui Raccoglimento: $2(6x^2 + 7x – 3)$.
3. Analizza la Parentesi: Ora scomponiamo il trinomio generico $(6x^2 + 7x – 3)$.
   • $a=6$, $b=7$, $c=-3$.
   • Prodotto (a·c): $6 \cdot (-3) = -18$.
   • Somma = 7, Prodotto = -18. I numeri sono +9 e -2.
4. Dividi il Termine Centrale: $2[6x^2 + 9x – 2x – 3]$
5. Raccoglimento Parziale:
   • $2[ (6x^2 + 9x) + (-2x – 3) ]$
   • $2[ 3x(2x + 3) – 1(2x + 3) ]$
6. Scomposizione Parziale: $2[ (2x + 3)(3x – 1) ]$
7. Risultato Finale: $2(2x + 3)(3x – 1)$.

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Esercizio 6: Con Variabili Miste

Domanda: Scomponi $5x^2 + 8xy + 3y^2$.

Risposta Corretta: $(5x + 3y)(x + y)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Il metodo funziona anche con due variabili. Trattiamo la $y$ come parte dei coefficienti.

1. Identifica a, b, c: $a=5$, $b=8y$, $c=3y^2$.
2. Calcola Prodotto (a·c): $5 \cdot (3y^2) = 15y^2$.
3. Cerca Somma/Prodotto: Cerchiamo due termini la cui Somma è $8y$ e il Prodotto è $15y^2$. I termini sono $3y$ e $5y$.
4. Dividi il Termine Centrale: Riscriviamo $8xy$ come $3xy + 5xy$.$$5x^2 + 3xy + 5xy + 3y^2$$
5. Raccoglimento Parziale:
   • $(5x^2 + 3xy) + (5xy + 3y^2)$
   • $x(5x + 3y) + y(5x + 3y)$
6. Risultato Finale: $(5x + 3y)(x + y)$.

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