Nel precedente articolo abbiamo esplorato la magia delle Terne Pitagoriche, quei gruppi di tre numeri interi $(a, b, c)$ che soddisfano $a^2 + b^2 = c^2$.
Abbiamo visto le più famose: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$.
Ma immagina di voler trovare una terna nuova, mai vista, magari con numeri enormi. Come fai? Vai a tentativi? Assolutamente no.
Esiste una “macchina matematica” perfetta, scoperta oltre 2000 anni fa, che prende in input due numeri interi qualsiasi e restituisce in output una terna pitagorica garantita. Questa macchina è la Formula di Euclide.
INDICE
La Formula Generatrice
Il meccanismo è semplice ed elegante.
Scegliamo due numeri naturali interi positivi, che chiameremo $m$ e $n$, tali che $m > n$.
Possiamo generare i lati di un triangolo rettangolo $(a, b, c)$ usando queste tre equazioni:
- Cateto 1: $a = m^2 – n^2$
- Cateto 2: $b = 2mn$
- Ipotenusa: $c = m^2 + n^2$
Qualsiasi coppia di numeri $(m, n)$ tu scelga, il triangolo risultante sarà rettangolo. Sempre.
La Dimostrazione (Perché funziona?)
Non c’è bisogno di fidarsi sulla parola. Facciamo la prova algebrica verificando se il Teorema di Pitagora ($a^2 + b^2 = c^2$) regge con queste sostituzioni.
Calcoliamo la somma dei quadrati dei cateti:
$$a^2 + b^2 = (m^2 – n^2)^2 + (2mn)^2$$
Svolgiamo i quadrati:
$$= (m^4 – 2m^2n^2 + n^4) + 4m^2n^2$$
Sommiamo i termini simili ($-2m^2n^2 + 4m^2n^2 = +2m^2n^2$):
$$= m^4 + 2m^2n^2 + n^4$$
Riconosciamo il prodotto notevole:
L’espressione ottenuta è esattamente il quadrato di un binomio:
$$= (m^2 + n^2)^2$$
Ma $m^2 + n^2$ è proprio la nostra ipotenusa $c$!
Quindi abbiamo dimostrato che:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
La formula è infallibile.
Esempi Pratici: Costruiamo Triangoli
Proviamo a inserire dei valori nella “macchina di Euclide”.
Caso 1: I numeri più piccoli possibili ($m=2, n=1$)
- $a = 2^2 – 1^2 = 4 – 1 = 3$
- $b = 2(2)(1) = 4$
- $c = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$Risultato: La terna classica (3, 4, 5).
Caso. 2: ($m=3, n=2$)
- $a = 3^2 – 2^2 = 9 – 4 = 5$
- $b = 2(3)(2) = 12$
- $c = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$Risultato: La terna (5, 12, 13).
Caso 3: ($m=4, n=1$)
- $a = 4^2 – 1^2 = 16 – 1 = 15$
- $b = 2(4)(1) = 8$
- $c = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$Risultato: La terna (8, 15, 17).
Come ottenere Terne “Primitive”?
C’è un trucco nel trucco. Se scegliamo $m$ e $n$ a caso, potremmo ottenere terne che sono semplici multipli di altre (es. 6-8-10 invece di 3-4-5).
Per generare Terne Primitive (cioè con numeri primi tra loro, che non si possono semplificare), bisogna rispettare due regole aggiuntive nella scelta di $m$ e $n$:
- Coprimità: $m$ e $n$ non devono avere divisori comuni (es. non scegliere 4 e 2).
- Parità opposta: Uno deve essere pari e l’altro dispari (es. 2 e 1, oppure 4 e 3).
Se rispetti queste regole, genererai ogni singola terna primitiva esistente nell’universo dei numeri.
Trafiletto Storico
Questa formula compare per la prima volta nel Libro X degli Elementi di Euclide (circa 300 a.C.), proposizione 29. Tuttavia, l’idea era nota già molto prima. La tavoletta babilonese Plimpton 322, vecchia di quasi 4000 anni, contiene una lista di 15 terne pitagoriche, alcune delle quali gigantesche (come 12709, 13500, 18541). È matematicamente impossibile che le abbiano trovate per caso: conoscevano già una variante di questa formula generatrice!
Scopri i segreti della Trigonometria
La formula di Euclide per trovare le terne Pitagoriche è un punto di ingresso favorevole a una teora matematica più vasta , quella della trigonometria.