Formule di Addizione e Sottrazione: Formule, Mnemonica e Dimostrazione

Questo articolo è dedicato alla dimostrazione delle formule di addizione per il seno ( e coseno).

Premessa

C’è un errore gravissimo, da matita rossa, che ogni anno miete vittime nei compiti di matematica. Di fronte all’espressione $\sin(\alpha + \beta)$, l’istinto dello studente è scrivere:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta \quad \text{(ERRORE!)}$$

Questa uguaglianza è FALSA!!! Il seno non è un’operazione lineare come la moltiplicazione.

Se fosse vera, $\sin(60^\circ)$ dovrebbe essere il doppio di $\sin(30^\circ)$. Ma $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,86$ non è il doppio di $0,5$.

Per gestire la somma di angoli, abbiamo bisogno delle Formule di Addizione e Sottrazione. Queste quattro formule sono i “mattoni” fondamentali della goniometria: da esse derivano le formule di duplicazione, bisezione, parametriche e di prostaferesi. Se impari queste, puoi ricavare tutte le altre.

Le 4 Formule Fondamentali

Ecco le armi che devi avere nel tuo arsenale:

1. Seno della Somma:$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$$
2. Seno della Differenza:$$\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha \cos\beta – \cos\alpha \sin\beta$$
3. Coseno della Somma:$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta$$
4. Coseno della Differenza:$$\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$

Come Memorizzarle (Trucchi Mnemonici)

Impararle a memoria è difficile perché si assomigliano tutte. Ecco come non confondersi:

• Il SENO è “Socievole” e “Solidale”:
  • Socievole: Mischia le funzioni (Seno con Coseno).
  • Solidale: Mantiene il segno (se c’è $+$, resta $+$).
• Il COSENO è “Asociale” e “Bastian Contrario”:
  • Asociale: Sta con i suoi simili (Coseno con Coseno, Seno con Seno).
  • Bastian Contrario: Cambia il segno (se c’è $+$, diventa $-$; se c’è $-$, diventa $+$).

La Dimostrazione (Il Cuore Geometrico)

Tutte queste formule nascono dalla dimostrazione di una sola: il Coseno della Differenza. Le altre si ottengono per semplice deduzione algebrica.

Dimostriamo quindi che: $\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Passo 1: Disegno sulla Circonferenza

Prendiamo una circonferenza goniometrica.

• Punto $P$ associato all’angolo $\alpha$: coordinate $(\cos\alpha, \sin\alpha)$.
• Punto $Q$ associato all’angolo $\beta$: coordinate $(\cos\beta, \sin\beta)$.
• L’angolo tra i raggi $OP$ e $OQ$ è esattamente $\alpha – \beta$.

Passo 2: Calcolo della Corda PQ

Calcoliamo la distanza al quadrato tra $P$ e $Q$ usando la geometria analitica:

$$PQ^2 = (x_P – x_Q)^2 + (y_P – y_Q)^2$$

$$PQ^2 = (\cos\alpha – \cos\beta)^2 + (\sin\alpha – \sin\beta)^2$$

Svolgendo i quadrati:

$$= \cos^2\alpha – 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha – 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta$$

Ricordando che $\cos^2 + \sin^2 = 1$ (sia per $\alpha$ che per $\beta$):

$$PQ^2 = 1 + 1 – 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$$

$PQ^2 = 2 – 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

Passo 3: Rotazione del Sistema

Ora immaginiamo di ruotare il triangolo $POQ$ in modo che il punto $Q$ vada a finire nel punto $(1,0)$ sull’asse $x$.

Il punto $P$ si sposterà in una nuova posizione $P’$ che corrisponde all’angolo $\alpha – \beta$.

Le coordinate di $P’$ saranno $(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta))$.

La coordinata di $Q’$ è $(1, 0)$.

Ricalcoliamo la distanza al quadrato $P’Q’$ (che deve essere identica a $PQ$ perché la corda non cambia lunghezza ruotando):

$$P’Q’^2 = (\cos(\alpha-\beta) – 1)^2 + (\sin(\alpha-\beta) – 0)^2$$

Svolgendo i quadrati:

$$= \cos^2(\alpha-\beta) – 2\cos(\alpha-\beta) + 1 + \sin^2(\alpha-\beta)$$

Poiché $\cos^2(\dots) + \sin^2(\dots) = 1$:

$$= 1 + 1 – 2\cos(\alpha-\beta)$$

$P’Q’^2 = 2 – 2\cos(\alpha-\beta)$

Passo 4: Il Confronto Finale

Uguagliamo le due espressioni trovate (passo 2 e passo 3):

$$2 – 2\cos(\alpha-\beta) = 2 – 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$$

Semplificando i 2 e dividendo per -2:

$$\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$

C.V.D.

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Trafiletto Storico

Queste formule erano note già a Tolomeo (II sec. d.C.), che le espresse nel suo Almagesto usando le “corde” invece dei seni. La sua formula per la corda della differenza ($\text{crd}(\alpha-\beta)$) è geometricamente equivalente alla nostra. Servivano agli astronomi per calcolare la posizione dei pianeti interpolando i valori tra un’osservazione e l’altra.

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Scopri i segreti della Trigonometria

Impara ad utilizzare le formule di addizione e sottrazione per il seno e il coseno!