Se fino ad ora abbiamo visto come trasformare un angolo in un numero, oggi parleremo delle funzioni goniometriche inverse. In matematica, infatti, per ogni strada di andata deve esistere una strada di ritorno.
Se so che $\sin(x) = 0,5$, come faccio a tornare indietro e scoprire quanto vale l’angolo $x$?
Qui entrano in gioco le Funzioni Goniometriche Inverse: Arcoseno ($\arcsin$), Arcocoseno ($\arccos$) e Arcotangente ($\arctan$).
Attenzione però: questo non è un semplice calcolo inverso. C’è un problema teorico enorme da risolvere prima: le funzioni goniometriche sono periodiche, quindi non sono invertibili.
Come ne usciamo? Con un’operazione di “chirurgia matematica” chiamata restrizione del dominio.
INDICE
Il Problema dell’Invertibilità (La trappola della Periodicità)
Una funzione, per essere invertibile, deve essere biunivoca (o almeno iniettiva).
In parole povere: a ogni valore $y$ deve corrispondere uno e un solo valore $x$.
Prendiamo il seno: $y = \sin x$.
Se chiedo: “Qual è l’angolo il cui seno è 0?”, la risposta non è unica.
È $0$, ma anche $\pi$, $2\pi$, $3\pi$, $-\pi$… ci sono infinite risposte!
Se la calcolatrice dovesse darti infiniti risultati, esploderebbe. Dobbiamo fare una scelta e stabilire una convenzione internazionale per limitare il campo di gioco.
La Funzione Arcoseno ($y = \arcsin x$)
Per invertire il seno, dobbiamo “tagliare” il suo grafico prendendo solo un pezzo in cui la funzione è strettamente crescente e copre tutti i valori possibili (da -1 a 1).
L’intervallo scelto per convenzione è $[-\pi/2, \pi/2]$.
- Definizione: L’arcoseno di $x$ è quell’unico angolo $\alpha$ compreso tra $-\pi/2$ e $\pi/2$ tale che $\sin \alpha = x$.
- Dominio (Input): $[-1, 1]$. (Non puoi fare l’arcoseno di 2!).
- Codominio (Output): $[-\pi/2, \pi/2]$ (I e IV quadrante).
Grafico: È simmetrico a quello del seno rispetto alla bisettrice $y=x$, ma è limitato. Non è un’onda infinita, è un segmento curvo.
La Funzione Arcocoseno ($y = \arccos x$)
Per il coseno, non possiamo usare lo stesso intervallo del seno (tra $-\pi/2$ e $\pi/2$ il coseno va su e giù, non è monotono). Dobbiamo scegliere un altro intervallo.
La convenzione sceglie $[0, \pi]$.
- Definizione: L’arcocoseno di $x$ è quell’unico angolo $\alpha$ compreso tra $0$ e $\pi$ tale che $\cos \alpha = x$.
- Dominio (Input): $[-1, 1]$.
- Codominio (Output): $[0, \pi]$ (I e II quadrante).
Nota Bene: La calcolatrice ti darà sempre un angolo positivo (o zero). Se cerchi un angolo negativo, devi ragionare sulla simmetria.
La Funzione Arcotangente ($y = \arctan x$)
Questa è la regina dell’Analisi 1, fondamentale per il calcolo degli integrali e dei limiti.
La tangente ha asintoti verticali a $-\pi/2$ e $\pi/2$. Per invertirla, prendiamo proprio l’intervallo aperto tra questi due asintoti.
- Definizione: L’arcotangente di $x$ è quell’unico angolo $\alpha$ compreso tra $-\pi/2$ e $\pi/2$ tale che $\tan \alpha = x$.
- Dominio (Input): $\mathbb{R}$ (Tutto l’asse reale!). Puoi fare l’arcotangente di un miliardo.
- Codominio (Output): $(-\pi/2, \pi/2)$.
Grafico e Limiti:
La funzione arcotangente è “schiacciata” tra due asintoti orizzontali:
- $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \pi/2$
- $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\pi/2$Questa proprietà la rende utilissima per “addomesticare” l’infinito.
Attenzione alla Notazione!
Sulle calcolatrici americane (e su Excel), spesso trovi scritto $\sin^{-1}$.
Questo simbolo è il male assoluto per uno studente alle prime armi.
$$\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}$$
- $\sin^{-1}(x)$ è la funzione inversa (l’Arcoseno).
- $(\sin x)^{-1}$ o $\frac{1}{\sin x}$ è il reciproco (la Cosecante).Non confonderli mai!
Trafiletto Storico
Il prefisso “Arc” (Arcoseno, Arcocoseno) deriva dal latino arcus. Significa letteralmente “L’arco il cui seno è…”.
Nell’antica visualizzazione geometrica, se consideriamo una circonferenza unitaria, il valore dell’angolo in radianti corrispondeva esattamente alla lunghezza dell’arco di circonferenza. Quindi cercare l’angolo equivaleva a cercare l’arco.
Scopri i segreti della Trigonometria
Capire i grafici di queste funzioni è il prerequisito numero uno per passare l’esame di Analisi. Nel corso analizziamo ogni singola proprietà analitica: