Rapporto Incrementale: Esercizi Svolti e Quiz Commentati

Il rapporto incrementale è il concetto base da cui nasce tutta l’analisi matematica moderna. Se devi affrontare una verifica sulle derivate, il primo passo è padroneggiare questa formula che misura la variazione media di una funzione. In questo articolo troverai 10 esercizi pratici, tratti da casi d’esame reali, con la soluzione commentata per ogni singolo passaggio.

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Che cos’è (in breve)

Il rapporto incrementale rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta secante che passa per due punti del grafico: $A(x_0, f(x_0))$ e $B(x_0+h, f(x_0+h))$.

La formula fondamentale è:

$$R_f(h) = \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}$$

Mettiti alla prova con i seguenti 10 quiz. Copri la soluzione, prova a risolverli e poi controlla lo svolgimento!

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1. Funzione Polinomiale (Livello Base)

Domanda: Data la funzione $f(x) = x^2 – 4x + 8$, qual è il rapporto incrementale nel punto $x_0 = -3$?

• A) $h + 10$
• B) $h – 10$
• C) $-10$
• D) $2h – 4$

✅ Risposta e Svolgimento: B

1. Calcoliamo $f(-3)$: $(-3)^2 – 4(-3) + 8 = 9 + 12 + 8 = 29$.
2. Calcoliamo $f(-3+h)$: $(-3+h)^2 – 4(-3+h) + 8 = (9 – 6h + h^2) + 12 – 4h + 8 = h^2 – 10h + 29$.
3. Facciamo la differenza: $(h^2 – 10h + 29) – 29 = h^2 – 10h$.
4. Dividiamo per $h$: $\frac{h(h-10)}{h} = h – 10$.

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2. Funzione Fratta Semplice

Domanda: Data la funzione $f(x) = \frac{x-5}{x}$, qual è il rapporto incrementale in $x_0 = 4$?

• A) $\frac{1}{4+h}$
• B) $\frac{5}{4(4+h)}$
• C) $-\frac{5}{16}$
• D) $\frac{5h}{4+h}$

✅ Risposta e Svolgimento: B

1. $f(4) = \frac{4-5}{4} = -\frac{1}{4}$.
2. $f(4+h) = \frac{(4+h)-5}{4+h} = \frac{h-1}{4+h}$.
3. Differenza: $\frac{h-1}{4+h} – (-\frac{1}{4}) = \frac{4(h-1) + (4+h)}{4(4+h)} = \frac{4h-4+4+h}{4(4+h)} = \frac{5h}{4(4+h)}$.
4. Dividendo per $h$ si semplifica la $h$ al numeratore: $\frac{5}{4(4+h)}$.

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3. Polinomio (Livello Medio)

Domanda: Calcola il rapporto incrementale della funzione $f(x) = 3x^2 – x – 2$ nel punto $x_0 = 2$.

• A) $3h + 11$
• B) $6h – 1$
• C) $3h – 11$
• D) $3h^2 + 11$

✅ Risposta e Svolgimento: A

1. $f(2) = 3(4) – 2 – 2 = 8$.
2. $f(2+h) = 3(2+h)^2 – (2+h) – 2 = 3(4+4h+h^2) – 2 – h – 2 = 12 + 12h + 3h^2 – 4 – h = 3h^2 + 11h + 8$.
3. Differenza: $(3h^2 + 11h + 8) – 8 = 3h^2 + 11h$.
4. Dividiamo per $h$: $3h + 11$.

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4. Funzione Irrazionale (Radice)

Domanda: Data la funzione $f(x) = \sqrt{x}$, quanto vale il rapporto incrementale partendo da $x_0 = 0$?

• A) $\sqrt{h}$
• B) $\frac{1}{h}$
• C) $\frac{1}{\sqrt{h}}$
• D) $0$

✅ Risposta e Svolgimento: C

1. $f(0) = 0$.
2. $f(0+h) = \sqrt{h}$.
3. Rapporto: $\frac{\sqrt{h} – 0}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h}$.
4. Razionalizzando o semplificando ($h = \sqrt{h} \cdot \sqrt{h}$), otteniamo $\frac{1}{\sqrt{h}}$.

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5. Funzione Logaritmica

Domanda: Considera la funzione $f(x) = 2 – \ln(x+1)$. Qual è il rapporto incrementale in $x_0 = 0$?

• A) $\frac{1}{1+h}$
• B) $-\frac{\ln(1+h)}{h}$
• C) $\frac{\ln(1+h)}{h}$
• D) $-\ln(1+h)$

✅ Risposta e Svolgimento: B

1. $f(0) = 2 – \ln(1) = 2 – 0 = 2$.
2. $f(0+h) = 2 – \ln(h+1)$.
3. Differenza: $2 – \ln(h+1) – 2 = -\ln(1+h)$.
4. Dividiamo per $h$: $-\frac{\ln(1+h)}{h}$.

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6. Funzione Fratta Complessa

Domanda: Data la funzione $f(x) = \frac{3x^2-1}{x}$, determina il rapporto incrementale in $x_0 = 1$.

• A) $3h + 4$
• B) $\frac{3h^2+4h}{h}$
• C) $\frac{3h+2}{1+h}$
• D) $\frac{3h+4}{1+h}$

✅ Risposta e Svolgimento: D

1. $f(1) = \frac{3-1}{1} = 2$.
2. $f(1+h) = \frac{3(1+h)^2-1}{1+h} = \frac{3(1+2h+h^2)-1}{1+h} = \frac{3h^2+6h+2}{1+h}$.
3. Differenza: $\frac{3h^2+6h+2}{1+h} – 2 = \frac{3h^2+6h+2 – 2(1+h)}{1+h} = \frac{3h^2+4h}{1+h}$.
4. Dividendo per $h$ (semplificando una $h$ al numeratore): $\frac{3h+4}{1+h}$.

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7. Funzione Esponenziale Composta

Domanda: Per la funzione $f(x) = e^{2x-1}$, calcola il rapporto incrementale in $x_0 = 1/2$.

• A) $\frac{e^{2h}-1}{h}$
• B) $\frac{e^{h}-1}{h}$
• C) $e^{2h}$
• D) $2e^{2h}$

✅ Risposta e Svolgimento: A

1. $f(1/2) = e^{2(0.5)-1} = e^0 = 1$.
2. $f(1/2+h) = e^{2(1/2+h)-1} = e^{1+2h-1} = e^{2h}$.
3. Differenza: $e^{2h} – 1$.
4. Rapporto finale: $\frac{e^{2h}-1}{h}$.

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8. Funzione Fratta (Segno)

Domanda: Data la funzione $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$, calcola il rapporto incrementale in $x_0 = 3$.

• A) $-\frac{2}{h+2}$
• B) $\frac{2}{h+2}$
• C) $-\frac{1}{h+2}$
• D) $-\frac{1}{2}$

✅ Risposta e Svolgimento: C

1. $f(3) = \frac{4}{2} = 2$.
2. $f(3+h) = \frac{3+h+1}{3+h-1} = \frac{h+4}{h+2}$.
3. Differenza: $\frac{h+4}{h+2} – 2 = \frac{h+4 – 2(h+2)}{h+2} = \frac{h+4-2h-4}{h+2} = \frac{-h}{h+2}$.
4. Dividendo per $h$: $-\frac{1}{h+2}$.

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9. Funzione Esponenziale Semplice

Domanda: Data la funzione $f(x) = e^x + 2$, trova il rapporto incrementale in $x_0 = 2$.

• A) $\frac{e^h-1}{h}$
• B) $e^2 \frac{e^h-1}{h}$
• C) $e^2(e^h-1)$
• D) $e^2 + \frac{e^h}{h}$

✅ Risposta e Svolgimento: B

1. $f(2) = e^2 + 2$.
2. $f(2+h) = e^{2+h} + 2 = e^2 \cdot e^h + 2$.
3. Differenza: $(e^2 \cdot e^h + 2) – (e^2 + 2) = e^2 \cdot e^h – e^2 = e^2(e^h – 1)$.
4. Dividendo per $h$: $e^2 \frac{e^h-1}{h}$.

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10. Polinomio Misto

Domanda: Calcola il rapporto incrementale della funzione $f(x) = x^2 + x$ nel punto $x_0 = 1$.

• A) $h + 2$
• B) $2h + 1$
• C) $h + 3$
• D) $h^2 + 3h$

✅ Risposta e Svolgimento: C

1. $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
2. $f(1+h) = (1+h)^2 + (1+h) = 1 + 2h + h^2 + 1 + h = h^2 + 3h + 2$.
3. Differenza: $(h^2 + 3h + 2) – 2 = h^2 + 3h$.
4. Dividendo per $h$: $h + 3$.

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