Se hai imparato a calcolare le derivate elementari e le regole di prodotto e quoziente, c’è solo un ultimo grande ostacolo tra te e la padronanza totale del calcolo differenziale: le funzioni composte.
Cosa succede quando non hai semplicemente $x^2$, ma $(3x+1)^2$? Oppure quando non hai $e^x$, ma $e^{x^2-3x}$?
In questi casi entra in gioco la Regola della Catena (o derivazione delle funzioni composte).
INDICE
La Regola della Catena: Il trucco della “Matrioska”
Il principio è semplice: devi immaginare la tua funzione come una bambola russa.
Si deriva prima la funzione più esterna $f$ (lasciando intatto il suo contenuto $g(x)$), e poi si moltiplica il tutto per la derivata della funzione interna $g'(x)$.
$$D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
Se le funzioni annidate sono tre, si continua a moltiplicare a catena!
In questo articolo ci alleneremo su Potenze, Radici, Esponenziali e Logaritmi. Mettiti alla prova con i seguenti 15 quiz, ordinati per difficoltà crescente.
I 15 Quiz: Calcola la Derivata Composta
Livello Base: Potenze di Polinomi
1. Calcola la derivata di $y = (2x – 3)^4$
- A) $4(2x – 3)^3$
- B) $8(2x – 3)^3$
- C) $8x(2x – 3)^3$
- D) $4(2x – 3)^4$
2. Calcola la derivata di $y = (x^2 + 1)^8$
- A) $8(x^2 + 1)^7$
- B) $16x(x^2 + 1)^7$
- C) $8x(x^2 + 1)^7$
- D) $16(x^2 + 1)^7$
3. Calcola la derivata di $y = (x^2 + x – 3)^4$
- A) $4(x^2 + x – 3)^3$
- B) $4(2x + 1)(x^2 + x – 3)^4$
- C) $4(x^2 + x – 3)^3 (2x + 1)$
- D) $(8x + 4)(x^2 + x – 3)^3$
Livello Intermedio: Radici, Esponenziali e Logaritmi semplici
4. Calcola la derivata di $y = \sqrt{x^2 – x}$
- A) $\frac{1}{2\sqrt{x^2 – x}}$
- B) $\frac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x}}$
- C) $\frac{2x}{\sqrt{x^2 – x}}$
- D) $\frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – x}}$
5. Calcola la derivata di $y = e^{4x}$
- A) $e^{4x}$
- B) $4e^x$
- C) $4xe^{4x}$
- D) $4e^{4x}$
6. Calcola la derivata di $y = e^{x^2 – 3x + 2}$
- A) $e^{x^2 – 3x + 2}$
- B) $(2x – 3) e^{x^2 – 3x + 2}$
- C) $2x e^{x^2 – 3x + 2}$
- D) $(x^2 – 3x + 2) e^{2x – 3}$
7. Calcola la derivata di $y = \ln(3x – 2)$
- A) $\frac{1}{3x – 2}$
- B) $\frac{3}{3x – 2}$
- C) $\frac{1}{3x}$
- D) $\ln(3)$
8. Calcola la derivata di $y = \ln(x^2 – 1)$
- A) $\frac{1}{x^2 – 1}$
- B) $\frac{2x}{x^2 – 1}$
- C) $\frac{x}{x^2 – 1}$
- D) $\frac{2x}{(x^2 – 1)^2}$
Livello Avanzato: Le Matrioske a tre strati (Composte di composte)
9. Calcola la derivata di $y = \sqrt[3]{(x^2-x)^2}$ (Suggerimento: trasformala in potenza frazionaria!)
- A) $\frac{2(2x-1)}{3\sqrt[3]{x^2-x}}$
- B) $\frac{2}{3}(x^2-x)$
- C) $\frac{2x-1}{3\sqrt[3]{(x^2-x)^2}}$
- D) $\frac{2(2x-1)}{3\sqrt[3]{(x^2-x)^2}}$
10. Calcola la derivata di $y = 5^{x^2+x}$
- A) $5^{x^2+x} (2x+1)$
- B) $(2x+1) 5^{x^2+x} \ln 5$
- C) $5^{x^2+x} \ln 5$
- D) $x \cdot 5^{x^2+x-1}$
11. Calcola la derivata di $y = e^{\sqrt{x}}$
- A) $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$
- B) $e^{\sqrt{x}}$
- C) $\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
- D) $e^{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
12. Calcola la derivata di $y = \ln^2(x^2 – 1)$ (Nota: significa $[\ln(x^2-1)]^2$)
- A) $\frac{2 \ln(x^2-1)}{x^2-1}$
- B) $\frac{2x \ln(x^2-1)}{x^2-1}$
- C) $\frac{4x \ln(x^2-1)}{x^2-1}$
- D) $2\ln(x^2-1)$
13. Calcola la derivata di $y = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ (Suggerimento: usa le proprietà dei logaritmi prima di derivare!)
- A) $\frac{x+1}{x-1}$
- B) $\frac{2}{x^2-1}$
- C) $\frac{1}{x^2-1}$
- D) $\frac{-2}{(x+1)^2}$
14. Calcola la derivata di $y = \sqrt{\ln(2-x^2)}$
- A) $\frac{-x}{(2-x^2)\sqrt{\ln(2-x^2)}}$
- B) $\frac{1}{2\sqrt{\ln(2-x^2)}}$
- C) $\frac{-2x}{(2-x^2)\sqrt{\ln(2-x^2)}}$
- D) $\frac{-x}{\sqrt{\ln(2-x^2)}}$
15. Calcola la derivata di $y = e^{\sqrt{x^2-1}}$
- A) $\frac{e^{\sqrt{x^2-1}}}{2\sqrt{x^2-1}}$
- B) $x e^{\sqrt{x^2-1}}$
- C) $\frac{x e^{\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1}}$
- D) $\frac{e^{\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1}}$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Hai finito? Controlla qui i passaggi per vedere dove hai “perso un pezzo” della catena!
1. Risposta B ($8(2x – 3)^3$)
Esterna: potenza alla 4. Interna: $(2x-3)$.
$y’ = 4(2x-3)^3 \cdot D[2x-3] = 4(2x-3)^3 \cdot 2 = 8(2x-3)^3$.
2. Risposta B ($16x(x^2 + 1)^7$)
$y’ = 8(x^2+1)^7 \cdot D[x^2+1] = 8(x^2+1)^7 \cdot 2x = 16x(x^2+1)^7$.
3. Risposta C ($4(x^2 + x – 3)^3 (2x + 1)$)
$y’ = 4(x^2+x-3)^3 \cdot D[x^2+x-3] = 4(x^2+x-3)^3 \cdot (2x+1)$. Entrambe le espressioni in C e D sono corrette matematicamente, ma la C è la forma fattorizzata standard.
4. Risposta B ($\frac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x}}$)
La derivata della radice è $\frac{1}{2\sqrt{\dots}}$.
$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x^2-x}} \cdot D[x^2-x] = \frac{1}{2\sqrt{x^2-x}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$.
5. Risposta D ($4e^{4x}$)
Esterna: $e^{\dots}$. Interna: $4x$.
$y’ = e^{4x} \cdot D[4x] = e^{4x} \cdot 4 = 4e^{4x}$.
6. Risposta B ($(2x – 3) e^{x^2 – 3x + 2}$)
$y’ = e^{x^2-3x+2} \cdot D[x^2-3x+2] = e^{x^2-3x+2} \cdot (2x-3)$.
7. Risposta B ($\frac{3}{3x – 2}$)
La derivata del logaritmo è $\frac{1}{\text{argomento}}$.
$y’ = \frac{1}{3x-2} \cdot D[3x-2] = \frac{1}{3x-2} \cdot 3 = \frac{3}{3x-2}$.
8. Risposta B ($\frac{2x}{x^2 – 1}$)
$y’ = \frac{1}{x^2-1} \cdot D[x^2-1] = \frac{1}{x^2-1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2-1}$.
9. Risposta A ($\frac{2(2x-1)}{3\sqrt[3]{x^2-x}}$)
Riscriviamo come potenza: $y = (x^2-x)^{2/3}$.
$y’ = \frac{2}{3}(x^2-x)^{-1/3} \cdot D[x^2-x] = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2-x}} \cdot (2x-1) = \frac{2(2x-1)}{3\sqrt[3]{x^2-x}}$.
10. Risposta B ($(2x+1) 5^{x^2+x} \ln 5$)
Attenzione: la base è 5, non $e$. Bisogna aggiungere $\ln 5$.
$y’ = 5^{x^2+x} \ln 5 \cdot D[x^2+x] = 5^{x^2+x} \ln 5 \cdot (2x+1)$.
11. Risposta A ($\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$)
$y’ = e^{\sqrt{x}} \cdot D[\sqrt{x}] = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
12. Risposta C ($\frac{4x \ln(x^2-1)}{x^2-1}$)
Tre strati! Esterno: potenza al quadrato. Mezzo: logaritmo. Interno: polinomio.
$y’ = 2\ln(x^2-1) \cdot D[\ln(x^2-1)] = 2\ln(x^2-1) \cdot \frac{2x}{x^2-1} = \frac{4x \ln(x^2-1)}{x^2-1}$.
13. Risposta B ($\frac{2}{x^2-1}$)
Metodo furbo: Usiamo la proprietà $\ln(A/B) = \ln A – \ln B$. La funzione diventa $y = \ln(x-1) – \ln(x+1)$.
$y’ = \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1}$. Facendo il mcm: $\frac{(x+1) – (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}$.
(Se provavi a derivarla con la regola del quoziente dentro al logaritmo, arrivavi allo stesso risultato con molta più fatica!)
14. Risposta A ($\frac{-x}{(2-x^2)\sqrt{\ln(2-x^2)}}$)
Tre strati: Radice $\to$ Logaritmo $\to$ Polinomio.
$y’ = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2-x^2)}} \cdot \frac{1}{2-x^2} \cdot (-2x)$.
Il $2$ al numeratore si semplifica con il $2$ al denominatore: $\frac{-x}{(2-x^2)\sqrt{\ln(2-x^2)}}$.
15. Risposta C ($\frac{x e^{\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1}}$)
Tre strati: Esponenziale $\to$ Radice $\to$ Polinomio.
$y’ = e^{\sqrt{x^2-1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x$.
Semplificando il $2$: $\frac{x e^{\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1}}$.
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