Dopo aver affrontato potenze, logaritmi ed esponenziali, è il momento di applicare la Regola della Catena (o derivazione delle funzioni composte) all’ultimo grande scoglio dell’Analisi: le funzioni goniometriche.
Cosa succede quando non dobbiamo derivare semplicemente $\sin x$, ma $\sin(3x^2)$? Oppure quando ci troviamo davanti a un $\cos^3(x)$? La regola della “matrioska” vale anche qui: si deriva prima la funzione più esterna e si moltiplica per la derivata di quella interna.
Ecco le formule fondamentali da tenere a mente per le funzioni composte:
- $D[\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$
- $D[\cos(f(x))] = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$
- $D[\tan(f(x))] = \frac{1}{\cos^2(f(x))} \cdot f'(x)$
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Fai molta attenzione a distinguere l’argomento della funzione goniometrica dalle potenze esterne!
INDICE
I 15 Quiz: Calcola la Derivata Goniometrica Composta
Livello Base: Argomenti Lineari e Polinomiali
1. Calcola la derivata di $y = \sin(2x)$
- A) $\cos(2x)$
- B) $2\cos(2x)$
- C) $-2\cos(2x)$
- D) $2\sin(2x)$
2. Calcola la derivata di $y = \cos(3x + 1)$
- A) $3\sin(3x + 1)$
- B) $-3\cos(3x + 1)$
- C) $-\sin(3x + 1)$
- D) $-3\sin(3x + 1)$
3. Calcola la derivata di $y = \sin(x^2)$
- A) $2x\cos(x^2)$
- B) $\cos(2x)$
- C) $2x\sin(x^2)$
- D) $\cos(x^2)$
4. Calcola la derivata di $y = \tan(4x)$
- A) $\frac{1}{\cos^2(4x)}$
- B) $\frac{4}{\sin^2(4x)}$
- C) $\frac{4}{\cos^2(4x)}$
- D) $4\cot(4x)$
5. Calcola la derivata di $y = \cos(e^x)$
- A) $-e^x\sin(e^x)$
- B) $-\sin(e^x)$
- C) $e^x\sin(e^x)$
- D) $-e^x\cos(e^x)$
Livello Intermedio: Potenze Esterne e Logaritmi
6. Calcola la derivata di $y = \sin^2(x)$ (Nota: significa $[\sin x]^2$)
- A) $\cos^2(x)$
- B) $2\sin(x)$
- C) $2\sin(x)\cos(x)$
- D) $-\cos(2x)$
7. Calcola la derivata di $y = \cos^3(2x)$
- A) $-3\cos^2(2x)\sin(2x)$
- B) $-6\cos^2(2x)\sin(2x)$
- C) $6\cos^2(2x)\sin(2x)$
- D) $-3\sin^3(2x)$
8. Calcola la derivata di $y = e^{\sin x}$
- A) $e^{\cos x}$
- B) $e^{\sin x}\cos x$
- C) $-e^{\sin x}\cos x$
- D) $e^{\sin x}\sin x$
9. Calcola la derivata di $y = \ln(\cos x)$
- A) $\frac{1}{\cos x}$
- B) $\tan x$
- C) $-\tan x$
- D) $-\frac{1}{\sin x}$
10. Calcola la derivata di $y = \sin(\ln x)$
- A) $\frac{\cos(\ln x)}{x}$
- B) $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$
- C) $-\frac{\cos(\ln x)}{x}$
- D) $x\cos(\ln x)$
Livello Avanzato: Tre Strati e Argomenti Misti
11. Calcola la derivata di $y = \sqrt{\sin(3x)}$
- A) $\frac{3\cos(3x)}{2\sqrt{\sin(3x)}}$
- B) $\frac{\cos(3x)}{2\sqrt{\sin(3x)}}$
- C) $\frac{3\cos(3x)}{\sqrt{\sin(3x)}}$
- D) $\frac{-3\cos(3x)}{2\sqrt{\sin(3x)}}$
12. Calcola la derivata di $y = \sin(x e^x)$ (Attenzione: l’argomento è un prodotto!)
- A) $\cos(x e^x)$
- B) $e^x(x+1)\cos(x e^x)$
- C) $e^x \cos(x e^x)$
- D) $(e^x+x)\cos(x e^x)$
13. Calcola la derivata di $y = \cos^2(e^x)$
- A) $-2e^x\cos(e^x)\sin(e^x)$
- B) $2e^x\cos(e^x)\sin(e^x)$
- C) $-2\cos(e^x)\sin(e^x)$
- D) $-e^x\sin^2(e^x)$
14. Calcola la derivata di $y = \sin(\cos(x^2))$
- A) $-\cos(\cos(x^2))\sin(x^2)$
- B) $-2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$
- C) $2x\sin(\sin(x^2))$
- D) $-2x\cos(\sin(x^2))$
15. Calcola la derivata di $y = \tan(\sqrt{x^2+1})$
- A) $\frac{x}{\cos^2(\sqrt{x^2+1})}$
- B) $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}\cos^2(\sqrt{x^2+1})}$
- C) $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}\cos^2(\sqrt{x^2+1})}$
- D) $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}\cos^2(\sqrt{x^2+1})}$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
1. Risposta B ($2\cos(2x)$)
Derivata del seno (esterna) moltiplicata per la derivata di $2x$ (interna).
$y’ = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.
2. Risposta D ($-3\sin(3x + 1)$)
La derivata del coseno è il meno seno.
$y’ = -\sin(3x+1) \cdot D[3x+1] = -\sin(3x+1) \cdot 3 = -3\sin(3x+1)$.
3. Risposta A ($2x\cos(x^2)$)
$y’ = \cos(x^2) \cdot D[x^2] = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.
4. Risposta C ($\frac{4}{\cos^2(4x)}$)
La derivata della tangente di $f(x)$ è $\frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}$.
$y’ = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot D[4x] = \frac{4}{\cos^2(4x)}$.
5. Risposta A ($-e^x\sin(e^x)$)
$y’ = -\sin(e^x) \cdot D[e^x] = -\sin(e^x) \cdot e^x = -e^x\sin(e^x)$.
6. Risposta C ($2\sin(x)\cos(x)$)
Qui la funzione più esterna è la potenza (il quadrato). La funzione interna è il seno.
$y’ = 2\sin(x) \cdot D[\sin x] = 2\sin(x)\cos(x)$. (Ricorda: questo equivale anche a $\sin(2x)$ per le formule di duplicazione).
7. Risposta B ($-6\cos^2(2x)\sin(2x)$)
Tre strati! Esterna: potenza al cubo. Mezzo: coseno. Interna: $2x$.
$y’ = 3\cos^2(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -6\cos^2(2x)\sin(2x)$.
8. Risposta B ($e^{\sin x}\cos x$)
$y’ = e^{\sin x} \cdot D[\sin x] = e^{\sin x}\cos x$.
9. Risposta C ($-\tan x$)
$y’ = \frac{1}{\cos x} \cdot D[\cos x] = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
10. Risposta A ($\frac{\cos(\ln x)}{x}$)
$y’ = \cos(\ln x) \cdot D[\ln x] = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\ln x)}{x}$.
11. Risposta A ($\frac{3\cos(3x)}{2\sqrt{\sin(3x)}}$)
Tre strati. Esterna: radice. Mezzo: seno. Interna: $3x$.
$y’ = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x)}} \cdot \cos(3x) \cdot 3 = \frac{3\cos(3x)}{2\sqrt{\sin(3x)}}$.
12. Risposta B ($e^x(x+1)\cos(x e^x)$)
Derivata del seno è il coseno. L’argomento interna va derivato con la regola del prodotto: $D[x e^x] = (1)e^x + x(e^x) = e^x(x+1)$.
$y’ = \cos(x e^x) \cdot e^x(x+1)$.
13. Risposta A ($-2e^x\cos(e^x)\sin(e^x)$)
Tre strati: Quadrato $\to$ Coseno $\to$ Esponenziale.
$y’ = 2\cos(e^x) \cdot (-\sin(e^x)) \cdot e^x = -2e^x\cos(e^x)\sin(e^x)$.
14. Risposta B ($-2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$)
Tre strati: Seno $\to$ Coseno $\to$ Polinomio.
$y’ = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.
15. Risposta B ($\frac{x}{\sqrt{x^2+1}\cos^2(\sqrt{x^2+1})}$)
Tre strati: Tangente $\to$ Radice $\to$ Polinomio.
$y’ = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{x^2+1})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x$.
Il $2$ si semplifica, lasciando al numeratore solo la $x$. Risultato: $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}\cos^2(\sqrt{x^2+1})}$.
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