Ci sono integrali che non si lasciano risolvere né con le formule immediate né con il trucco della costante. Quando hai una funzione “incastrata” dentro un’altra (magari sotto una radice, o all’esponente) accompagnata da altri termini che disturbano, la soluzione migliore è un cambio d’abito: il metodo di sostituzione.
L’idea è semplice: chiamiamo una parte complicata della nostra funzione con una nuova lettera (di solito $t$), in modo da far sparire il problema. I passaggi da seguire rigorosamente sono 4:
- Scegli cosa chiamare $t$: Di solito si sceglie l’esponente più strano, il radicando (ciò che sta sotto la radice) o l’argomento di un logaritmo/goniometrica.
- Calcola il differenziale $dt$: Deriva la tua scelta rispetto a $x$ e aggiungi “$dx$”. (Es. se $t = x^2$, allora $dt = 2x \, dx$). Da qui, ricava il $dx$.
- Sostituisci TUTTO: Riscrivi l’integrale facendo sparire completamente la $x$ e il $dx$. Deve rimanere solo la $t$ e il $dt$. Se l’integrale si è semplificato, hai scelto la $t$ giusta!
- Integra e torna indietro: Risolvi l’integrale in $t$, poi alla fine rimetti al posto di $t$ la tua funzione in $x$ originaria.
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Nelle soluzioni troverai i passaggi completi per ogni singola sostituzione!
INDICE
I 15 Quiz: Risolvi per Sostituzione
Livello Base: Sostituzioni Guidate
1. Vogliamo risolvere $\int 2x \cos(x^2) dx$ con la sostituzione $t = x^2$. Quanto vale il differenziale $dt$?
- A) $dt = x dx$
- B) $dt = 2x dx$
- C) $dt = \cos(x^2) dx$
- D) $dt = 2 dx$
2. Risolvi $\int \frac{\ln x}{x} dx$ usando la sostituzione $t = \ln x$
- A) $\frac{\ln^2 x}{2} + c$
- B) $\ln(\ln x) + c$
- C) $x \ln x + c$
- D) $\ln^2 x + c$
3. Risolvi $\int e^{\sin x} \cos x dx$ usando la sostituzione $t = \sin x$
- A) $-e^{\sin x} + c$
- B) $e^{\cos x} + c$
- C) $e^{\sin x} + c$
- D) $e^{\sin x} \cos x + c$
4. Risolvi $\int \frac{e^x}{e^x + 5} dx$ usando la sostituzione $t = e^x + 5$
- A) $e^x + 5 + c$
- B) $\ln(e^x + 5) + c$
- C) $\frac{1}{(e^x+5)^2} + c$
- D) $\ln(e^x) + 5 + c$
5. Risolvi $\int \sin^3 x \cos x dx$ ponendo $t = \sin x$
- A) $\frac{\sin^4 x}{4} + c$
- B) $\frac{\cos^4 x}{4} + c$
- C) $3\sin^2 x + c$
- D) $-\frac{\sin^4 x}{4} + c$
Livello Intermedio: Scegli la Sostituzione Giusta
6. Qual è la sostituzione migliore per risolvere $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 – 1}} dx$?
- A) $t = x$
- B) $t = \sqrt{x^2-1}$
- C) $t = x^2 – 1$
- D) $t = \frac{1}{x}$
7. Risolvi l’integrale $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 – 1}} dx$
- A) $\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} + c$
- B) $\sqrt{x^2-1} + c$
- C) $2\sqrt{x^2-1} + c$
- D) $\ln|\sqrt{x^2-1}| + c$
8. Risolvi $\int \frac{1}{x \ln^2 x} dx$
- A) $\frac{1}{\ln x} + c$
- B) $-\frac{1}{\ln x} + c$
- C) $\ln|\ln x| + c$
- D) $-\ln x + c$
9. Risolvi $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$ (Suggerimento: poni $t = \sqrt{x}$)
- A) $e^{\sqrt{x}} + c$
- B) $\frac{1}{2} e^{\sqrt{x}} + c$
- C) $2 e^{\sqrt{x}} + c$
- D) $e^x + c$
10. Risolvi $\int \frac{\sin(\ln x)}{x} dx$
- A) $-\cos(\ln x) + c$
- B) $\cos(\ln x) + c$
- C) $\sin(\ln x) + c$
- D) $-\cos x + \ln x + c$
Livello Avanzato: Manipolazioni e Sostituzioni Particolari
11. Risolvi $\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} dx$ (Attenzione: poni $t = e^x$ e spezza la frazione)
- A) $e^x – \ln(e^x + 1) + c$
- B) $\ln(e^x + 1) + c$
- C) $e^x + \ln(e^x + 1) + c$
- D) $\frac{e^{2x}}{2} + c$
12. Risolvi il classico $\int x \sqrt{x – 1} dx$ (Poni $t = x – 1$ e ricava $x$)
- A) $\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + c$
- B) $\frac{2}{3}x^{3/2} – x + c$
- C) $\frac{2}{5}x(x-1)^{5/2} + c$
- D) $\frac{1}{2}(x-1)^{2} + c$
13. Risolvi $\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$
- A) $\ln(1+\cos^2 x) + c$
- B) $\arctan(\cos x) + c$
- C) $-\arctan(\cos x) + c$
- D) $-\arcsin(\cos x) + c$
14. Risolvi $\int \frac{x}{\sqrt{1 – x^4}} dx$ (Suggerimento: poni $t = x^2$)
- A) $\arcsin(x^2) + c$
- B) $\frac{1}{2}\arcsin(x^2) + c$
- C) $\ln|\sqrt{1-x^4}| + c$
- D) $-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^4} + c$
15. [SFIDA] Risolvi $\int \frac{1}{1 + e^x} dx$ (Suggerimento: puoi porre $t = e^x$, poi aggiungi e togli 1 a numeratore)
- A) $\ln(1+e^x) + c$
- B) $x – \ln(1+e^x) + c$
- C) $-e^{-x} + c$
- D) $x + \ln(1+e^x) + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Hai seguito le 4 regole d’oro della sostituzione? Verifica i tuoi calcoli!
1. Risposta B ($dt = 2x dx$)
Il differenziale si calcola facendo la derivata della variabile scelta moltiplicata per $dx$. Se $t = x^2$, allora la derivata è $2x$, quindi $dt = 2x dx$.
2. Risposta A ($\frac{\ln^2 x}{2} + c$)
Sostituzione: $t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx$.
L’integrale $\int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx$ diventa magicamente $\int t dt$.
Integrando otteniamo $\frac{t^2}{2}$. Sostituendo indietro $t = \ln x$ otteniamo $\frac{\ln^2 x}{2}$.
3. Risposta C ($e^{\sin x} + c$)
Ponendo $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x dx$.
L’integrale diventa $\int e^t dt = e^t + c$. Sostituendo indietro: $e^{\sin x} + c$.
4. Risposta B ($\ln(e^x + 5) + c$)
$t = e^x + 5 \Rightarrow dt = e^x dx$.
L’integrale diventa $\int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + c$. Dato che l’esponenziale è sempre positivo, il modulo non serve: $\ln(e^x + 5) + c$.
5. Risposta A ($\frac{\sin^4 x}{4} + c$)
$t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x dx$.
L’integrale diventa $\int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + c$. Tornando alla x: $\frac{\sin^4 x}{4} + c$.
6. Risposta C ($t = x^2 – 1$)
Per eliminare il fastidio della radice al denominatore e assorbire la $x$ a numeratore, la scelta migliore è chiamare $t$ l’intero radicando.
7. Risposta B ($\sqrt{x^2-1} + c$)
Ponendo $t = x^2 – 1 \Rightarrow dt = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{dt}{2}$.
Sostituendo: $\int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^2-1}$.
8. Risposta B ($-\frac{1}{\ln x} + c$)
$t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx$.
L’integrale è $\int \frac{1}{t^2} dt = \int t^{-2} dt = -t^{-1} = -\frac{1}{t}$.
Tornando in x: $-\frac{1}{\ln x} + c$.
9. Risposta C ($2 e^{\sqrt{x}} + c$)
$t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
L’integrale diventa $\int e^t (2 dt) = 2 \int e^t dt = 2e^t = 2e^{\sqrt{x}} + c$.
10. Risposta A ($-\cos(\ln x) + c$)
$t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx$.
L’integrale diventa $\int \sin t dt = -\cos t = -\cos(\ln x) + c$.
11. Risposta A ($e^x – \ln(e^x + 1) + c$)
$t = e^x \Rightarrow dt = e^x dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$.
$\int \frac{t^2}{t+1} \frac{dt}{t} = \int \frac{t}{t+1} dt$.
Trucco: aggiungo e tolgo 1 a numeratore: $\int \frac{t+1-1}{t+1} dt = \int (1 – \frac{1}{t+1}) dt = t – \ln|t+1|$. Tornando a x: $e^x – \ln(e^x+1)$.
12. Risposta A ($\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + c$)
$t = x – 1 \Rightarrow x = t + 1 \Rightarrow dx = dt$.
Sostituendo: $\int (t+1)\sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} + t^{1/2}) dt$.
Integriamo: $\frac{t^{5/2}}{5/2} + \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{5}t^{5/2} + \frac{2}{3}t^{3/2}$. Rimettendo $t=x-1$ abbiamo la risposta.
13. Risposta C ($-\arctan(\cos x) + c$)
$t = \cos x \Rightarrow dt = -\sin x dx \Rightarrow \sin x dx = -dt$.
$\int \frac{-dt}{1+t^2} = -\arctan(t) = -\arctan(\cos x) + c$.
14. Risposta B ($\frac{1}{2}\arcsin(x^2) + c$)
Per far apparire la derivata $x$, poniamo $t = x^2 \Rightarrow dt = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{dt}{2}$.
Inoltre, al denominatore $x^4$ diventa $(x^2)^2 = t^2$.
L’integrale è $\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \frac{1}{2}\arcsin(t) = \frac{1}{2}\arcsin(x^2) + c$.
15. Risposta B ($x – \ln(1+e^x) + c$)
$t = e^x \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$.
$\int \frac{1}{1+t} \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t(t+1)} dt$.
Aggiungo e tolgo $t$ a numeratore: $\int \frac{1+t-t}{t(t+1)} dt = \int (\frac{1+t}{t(1+t)} – \frac{t}{t(t+1)}) dt = \int (\frac{1}{t} – \frac{1}{t+1}) dt$.
Risultato: $\ln|t| – \ln|t+1| = \ln(e^x) – \ln(e^x+1) = x – \ln(1+e^x) + c$.
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