Quando all’esame ti trovi davanti all’integrale di una frazione, non farti prendere dal panico. Prima di pensare a calcoli lunghissimi, devi sempre fare un controllo fondamentale, che chiamo la “Regola d’Oro delle Fratte”: controlla se il numeratore è (o può diventare) la derivata del denominatore.
La formula magica che ti salva la vita è questa:
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + c$$
Se al piano di sopra hai esattamente la derivata di quello che sta al piano di sotto, l’integrale è semplicemente il logaritmo naturale del valore assoluto del denominatore!
E se manca un numero? Il Trucco della Costante
Molto spesso al denominatore avrai un polinomio di primo grado, come $ax + b$. La sua derivata è semplicemente $a$ (un numero). Se a numeratore hai 1, ti basta applicare il trucco della costante: moltiplichi sopra per $a$ e dividi fuori dall’integrale per $a$.
Esempio: $\int \frac{1}{2x+3} dx$. La derivata di $2x+3$ è $2$.
Moltiplico e divido per 2: $\frac{1}{2} \int \frac{2}{2x+3} dx = \frac{1}{2} \ln|2x+3| + c$.
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Cerca la derivata del denominatore, applica il trucco se serve, e non dimenticare il valore assoluto!
INDICE
I 15 Quiz: Fratte Immediate e Trucco della Costante
Livello Base: Denominatori di Grado 1 (Senza trucco) e Derivate Esatte
1. Calcola $\int \frac{1}{x+2} dx$
- A) $\ln(x+2) + c$
- B) $\ln|x+2| + c$
- C) $-\frac{1}{(x+2)^2} + c$
- D) $x + \ln|2| + c$
2. Calcola $\int \frac{1}{x-5} dx$
- A) $\ln|x-5| + c$
- B) $-\ln|x-5| + c$
- C) $\frac{1}{2}(x-5)^2 + c$
- D) $\ln|x| – 5x + c$
3. Calcola $\int \frac{2x}{x^2+3} dx$
- A) $\arctan(x^2+3) + c$
- B) $2\ln|x^2+3| + c$
- C) $\ln(x^2+3) + c$
- D) $\frac{1}{(x^2+3)^2} + c$
4. Calcola $\int \frac{3x^2}{x^3-1} dx$
- A) $\frac{x^3}{x^3-1} + c$
- B) $\ln|x^3-1| + c$
- C) $3\ln|x^3-1| + c$
- D) $-\frac{3}{x^3-1} + c$
5. Calcola $\int \frac{e^x}{e^x+4} dx$
- A) $\ln(e^x) + 4x + c$
- B) $e^x \ln(e^x+4) + c$
- C) $\frac{e^x}{(e^x+4)^2} + c$
- D) $\ln(e^x+4) + c$
Livello Intermedio: Il Trucco della Costante
6. Calcola $\int \frac{1}{2x+1} dx$
- A) $\ln|2x+1| + c$
- B) $2\ln|2x+1| + c$
- C) $\frac{1}{2}\ln|2x+1| + c$
- D) $\ln|x+\frac{1}{2}| + c$
7. Calcola $\int \frac{1}{3x-2} dx$
- A) $3\ln|3x-2| + c$
- B) $\frac{1}{3}\ln|3x-2| + c$
- C) $\ln|3x-2| + c$
- D) $-\frac{1}{3(3x-2)^2} + c$
8. Calcola $\int \frac{1}{5-x} dx$ (Attenzione al segno!)
- A) $\ln|5-x| + c$
- B) $-\ln|5-x| + c$
- C) $5x – \frac{x^2}{2} + c$
- D) $\ln|x-5| + c$
9. Calcola $\int \frac{x}{x^2+4} dx$
- A) $\ln(x^2+4) + c$
- B) $2\ln(x^2+4) + c$
- C) $\frac{1}{2}\ln(x^2+4) + c$
- D) $\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + c$
10. Calcola $\int \frac{x^2}{x^3+1} dx$
- A) $\frac{1}{3}\ln|x^3+1| + c$
- B) $3\ln|x^3+1| + c$
- C) $\ln|x^3+1| + c$
- D) $\frac{1}{2}\ln|x^3+1| + c$
Livello Avanzato: Costanti a Numeratore e Manipolazioni
11. Calcola $\int \frac{4}{2x+3} dx$ (Suggerimento: porta fuori il 4 o scomponilo)
- A) $\frac{1}{4}\ln|2x+3| + c$
- B) $2\ln|2x+3| + c$
- C) $4\ln|2x+3| + c$
- D) $8\ln|2x+3| + c$
12. Calcola $\int \frac{x-1}{x^2-2x+5} dx$
- A) $\ln|x^2-2x+5| + c$
- B) $\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+5) + c$
- C) $2\ln|x^2-2x+5| + c$
- D) $\arctan(x-1) + c$
13. Calcola $\int \frac{\cos x}{\sin x + 2} dx$
- A) $\ln(\sin x + 2) + c$
- B) $-\ln(\sin x + 2) + c$
- C) $\frac{1}{2}\ln|\sin x + 2| + c$
- D) $\sin x \ln(\sin x + 2) + c$
14. Calcola $\int \frac{5x}{3x^2-1} dx$
- A) $\frac{5}{3}\ln|3x^2-1| + c$
- B) $\frac{5}{6}\ln|3x^2-1| + c$
- C) $\frac{6}{5}\ln|3x^2-1| + c$
- D) $5\ln|3x^2-1| + c$
15. [LA FORMULA GENERALE] Calcola $\int \frac{1}{ax+b} dx$ (con $a \neq 0$)
- A) $\ln|ax+b| + c$
- B) $a\ln|ax+b| + c$
- C) $\frac{1}{a}\ln|ax+b| + c$
- D) $\frac{1}{b}\ln|ax+b| + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Hai gestito bene i coefficienti numerici? Controlla qui i tuoi calcoli!
1. Risposta B ($\ln|x+2| + c$)
Il denominatore è $x+2$. La sua derivata è $1$, che è esattamente il numeratore. Il modulo è obbligatorio per garantire che il logaritmo esista anche per valori che renderebbero $x+2$ negativo.
2. Risposta A ($\ln|x-5| + c$)
Come sopra: la derivata di $x-5$ è $1$. Applicazione diretta della regola.
3. Risposta C ($\ln(x^2+3) + c$)
Denominatore: $x^2+3$. Derivata: $2x$. Essendo perfettamente al numeratore, la soluzione è il logaritmo del denominatore. Nota: siccome $x^2+3$ è sempre rigorosamente positivo, il valore assoluto si può omettere (usando le parentesi tonde).
4. Risposta B ($\ln|x^3-1| + c$)
Denominatore: $x^3-1$. Derivata: $3x^2$. È già al numeratore, si applica il logaritmo direttamente.
5. Risposta D ($\ln(e^x+4) + c$)
Denominatore: $e^x+4$. Derivata: $e^x$. Anche qui, $e^x+4$ è sempre positivo, quindi le tonde bastano.
6. Risposta C ($\frac{1}{2}\ln|2x+1| + c$)
Denominatore: $2x+1$. Derivata: $2$. Al numeratore abbiamo solo $1$. Moltiplichiamo per 2 dentro e per $\frac{1}{2}$ fuori. Otteniamo $\frac{1}{2} \int \frac{2}{2x+1} dx$.
7. Risposta B ($\frac{1}{3}\ln|3x-2| + c$)
Denominatore: $3x-2$. Derivata: $3$. Serve il trucco della costante: $\frac{1}{3} \int \frac{3}{3x-2} dx$.
8. Risposta B ($-\ln|5-x| + c$)
Denominatore: $5-x$. La derivata è $-1$! Dobbiamo mettere un segno meno dentro e uno fuori: $-\int \frac{-1}{5-x} dx = -\ln|5-x| + c$.
9. Risposta C ($\frac{1}{2}\ln(x^2+4) + c$)
Derivata del denominatore: $2x$. A numeratore c’è solo $x$. Mettiamo un 2 dentro e un $\frac{1}{2}$ fuori.
10. Risposta A ($\frac{1}{3}\ln|x^3+1| + c$)
Derivata di $x^3+1$ è $3x^2$. A numeratore abbiamo $x^2$. Moltiplichiamo per 3 dentro e $\frac{1}{3}$ fuori.
11. Risposta B ($2\ln|2x+3| + c$)
Derivata del denominatore: $2$. Al numeratore c’è $4$. Possiamo spezzare il $4$ come $2 \cdot 2$, tirando fuori un 2: $2 \int \frac{2}{2x+3} dx = 2\ln|2x+3| + c$.
12. Risposta B ($\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+5) + c$)
Denominatore: $x^2-2x+5$. Derivata: $2x-2$.
Al numeratore abbiamo $x-1$. Se moltiplichiamo tutto il numeratore per 2, otteniamo proprio $2x-2$. Quindi: $\frac{1}{2} \int \frac{2(x-1)}{x^2-2x+5} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2-2x+5) + c$.
13. Risposta A ($\ln(\sin x + 2) + c$)
Denominatore: $\sin x + 2$. Derivata: $\cos x$. È già perfetta al numeratore!
14. Risposta B ($\frac{5}{6}\ln|3x^2-1| + c$)
Derivata di $3x^2-1$ è $6x$. Al numeratore c’è $5x$. Portiamo fuori il 5: $5 \int \frac{x}{3x^2-1} dx$.
Ora serve un 6, quindi dividiamo per 6 fuori: $\frac{5}{6} \int \frac{6x}{3x^2-1} dx = \frac{5}{6}\ln|3x^2-1| + c$.
15. Risposta C ($\frac{1}{a}\ln|ax+b| + c$)
Questa è la generalizzazione matematica del trucco visto fino ad ora. Se impari questa formula, risolverai gli integrali delle fratte di primo grado in un batter d’occhio!
💡 Padroneggia l’Integrazione e supera l’esame
La stragrande maggioranza degli studenti parte in quarta a usare metodi complicati quando vede una frazione. Saper riconoscere al volo un logaritmo “nascosto” dal trucco della costante ti fa risparmiare minuti preziosi (e azzera il rischio di errori algebrici). Ma cosa succede quando il denominatore è di grado 1 e il numeratore è uguale o maggiore? Entriamo nel vivo delle divisioni polinomiali. Nei miei corsi completi ti insegno una flowchart infallibile per classificare e risolvere ogni funzione razionale fratta.