In questo articolo parliamo dei polinomi.
CHE COSA SONO I POLINOMI
I polinomi sono una somma algebrica di monomi non simili tra di loro.
Esempi di polinomi sono:
Ogni monomio all’interno del polinomio prende il nome di termine.
Ad esempio nel polinomio:
Il monomio evidenziato è il secondo termine del polinomio.
IDENTIFICARE UN POLINOMIO
Per identificare un polinomio possiamo usare una LETTERA MAIUSCOLA seguita da una parentesi () in cui all’interno mettiamo le lettere presenti nel polinomio:
Ad esempio per identificare un polinomio in x possiamo usare l’espressione:
Esempi di polinomi in x può essere:
Oppure un altro esempio di polinomio in x e y può essere:
Un polinomio in a,b e c può essere:
NOMI DEL POLINOMIO IN BASE AL NUMERO DI TERMINI
In base al numero di termini presenti nel polinomio possiamo dare un nome particolare al polinomio.
Quando sono presenti due termini(ovvero il minimo per avere un polinomio) parliamo di binomio.
Un esempio di binomio è:
Se abbiamo tre termini parliamo di trinomio:
Ne è un esempio:
Quando vi sono quattro termini parliamo di quadrinomio, ad esempio:
Con cinque termini ci riferiamo ad un pentanomio.
La presenza di sei termini definisce un esanomio.
E cos’ via…
GRADO DI UN POLINOMIO
Quando si parla del grado di un polinomio ci si può riferire al grado complessivo o al grado rispetto ad una singola lettera.
GRADO COMPLESSIVO
Il grado complessivo di un polinomio è identificato dal grado del termine con esponente maggiore.
Ad esempio il polinomio:
Presenta grado complessivo 1.
Infatti entrambi i termini (monomi) presenti hanno grado 1.
Mentre il polinomio:
presenta un grado pari a 2, identificato dal grado dei primi tre termini.
Come terzo esempio riportiamo
Il grado complessivo di questo polinomio è pari a 5, che corrisponde al grado del primo termine.
GRADO RISPETTO AD UNA SINGOLA LETTERA
Possiamo identificare il grado di un polinomio rispetto ad una singola lettera.
Questo grado corrisponde al grado del termine che presenta rispetto a quella lettera il più alto esponente.
Ad esempio il polinomio:
Presenta grado 1 rispetto alla lettera x e grado 1 rispetto alla lettera y.
Mentre il polinomio:
Presenta grado 2 rispetto alla x e grado 2 rispetto alla y:
Citiamo infine il grado delle lettere del polinomio:
che presenta grado 2 rispetto alla lettera a e grado 3 rispetto alla lettera b:
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POLINOMIO OMOGENEO
Si definisce polinomio omogeneo un polinomio in cui tutti i termini hanno lo stesso grado.
Ad esempio il polinomio:
È un polinomio omogeneo di primo grado.
Invece il polinomio:
È un polinomio omogeneo di secondo grado.
Un esempio di polinomio omogeneo di terzo grado può essere:
ORDINARE UN POLINOMIO
Per ordinare un polinomio si può utilizzare il grado complessivo oppure il grado rispetto alle singole lettere.
Nel caso di “pareggio” possiamo dare il secondo criterio.
In secondo luogo va indicato l’ordine crescente oppure decrescente del grado:
Consideriamo il seguente polinomio:
ORDINE DECRESCENTE RISPETTO AL GRADO COMPLESSIVO
Scegliamo di ordinarlo in maniera decrescente rispetto al grado complessivo e a parità di questo faremo prevalere il grado maggiore della lettera a:
Notiamo che il primo termine ha grado cinque, mentre il secondo ha grado 3.
Il terzo e il quarto termine hanno un grado pari a 2, ma poiché abbiamo stabilità la priorità della lettera a abbiamo inserito per primo 3/2ab
Se diversamente avessimo stabilito il primato della lettera b, a parità delle altre condizioni avremmo invertito i due termini.
Lo stesso ragionamento vale per gli ultimi due termini.
ORDINE RISPETTO AD UNA LETTERA
Stabiliamo ora di riordinare lo stesso polinomio sempre in maniera decrescente rispetto alla lettera a.
In caso di pareggio andiamo a parare sul grado complessivo.
Il polinomio diventa:
Notiamo che i primi due termini hanno grado 2 rispetto alla lettera a.
Ma il primo dei due ha un grado complessivo più alto.
Lo stesso ragionamento vale per il terzo e il quarto termine che hanno grado 1 rispetto alla a, ma il terzo termine ha un grado pari a 2.
Gli ultimi due termini del polinomio hanno un grado nullo rispetto alla a, ma il primo dei due ha grado complessivo più alto.
Se scegliamo come riferimento la lettera b, e a parità di questa il grado complessivo scriviamo:
Notiamo che il primo e il secondo termine sono rispettivamente di grado 3 e 2 rispetto alla lettera b.
Il terzo, il quarto e il quinto termine hanno tutti grado 1 rispetto alla b, ma hanno grado complessivo rispettivamente decrescente (3,2,1).
L’ultimo termine ha grado zero rispetto alla b.
ORDINE CRESCENTE
Chiaramente potevamo ordinare in maniera crescente il polinomio analizzato
Seguendo sia il criterio del grado complessivo oppure quello rispetto alla singola lettera.
Per farlo basta che riscriviamo i polinomi nell’esatto ordine contrario.
OPERAZIONI CON I POLINOMI
Le operazione che possiamo fare con i polinomi sono le classiche operazioni che abbiamo visto per i numeri ed i monomi: somma e differenza, moltiplicazione e divisioni, e potenze.
Tuttavia trattare questo argomento non è semplice in poche righe, dal momento che i polinomi sono strutture più complesse dei monomi.
Quindi riportiamo sotto un elenco che vi rimanderà alla parte che vi interessa trattare:
- Somme e differenze di polinomi
- Moltiplicazione
- Prodotti notevoli
- Divisioni polinomiali
- Divisione con Ruffini
- Scomposizioni di polinomi
- Potenza di un polinomio
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