OPERAZIONE FINANZIARIA EQUA NEI TRE REGIMI

In questo articolo vediamo quando le operazioni finanziarie sono eque nei tre regimi finanziari.

PREMESSA

Prima di leggere questo articolo vi consiglio di dare un’occhiata ai seguenti du e articoli

• Valore di un’operazione finanziaria nel regime semplice
• Valore di un’operazione finanziaria nel regime composto

DEFINIZIONE

Un’operazione finanziaria si definisce equa in un determinato tempo se il suo valore vale zero.

Questo significa che in quel tempo in quel determinato regime i flussi di cassa in uscita si equivalgono ai flussi in entrata.

Vediamo meglio di chiarire questo concetto con un esempio.

ESEMPIO

Data l’operazione finanziaria (O.F.)  di finanziamento caratterizzata dai seguenti importi X ai tempi T:

$$ X = \begin{bmatrix} +100 & -30 & X & -50 \end{bmatrix} $$

$$ T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $$

 con importi in euro e tempi in anni.

Determina nel regime semplice e nel regime composto l’importo X che rende l’O.F. equa al tempo 1, quando il tasso di interesse è pari al 5%.

REGIME SEMPLICE

Partiamo rappresentando graficamente questa operazione finanziaria.

Affinché l’O.F. risulti equa al tempo 1 dovrà essere soddisfatta la seguente condizione:

$$ V_{X,T} (1)= 0 $$

Ovvero che il valore dell’operazione finanziaria calcolata al tempo 1 deve valere 0.

Ricordando che nel regime a interesse semplice il fattore di montante m(t) e il fattore di attualizzazione v(t) sono rispettivamente:

$$ m(t) = 1 + i \cdot t \quad v(t) = \frac{1}{1 + i \cdot t} $$

Calcoliamo il valore al tempo 1 imponendola uguale a zero.

$$ +100 \cdot (1 + 0,05 \cdot 1) -30 +\frac{x}{ 1+0,05 \cdot 1} – \frac{50}{1+0,05 \cdot 2} =0 $$

Se spostiamo tutti i numeri sul lato destro cambiando di segno e moltiplichiamo per il fattore che divide la X, otterremo proprio il valore della X.

$$ x = \left( -100 \cdot (1+0,05 \cdot 1) + 30 +\frac{50}{1+0,05 \cdot 2} \right) \cdot (1 + 0,05 \cdot 1) = -31,02 $$

Al tempo 2 bisognerà versare una rata di 31,02 euro affinché il finanziamento risulti equo al tempo 1.

REGIME COPOSTO

Partiamo rappresentando graficamente questa operazione finanziaria.

Affinché l’O.F. risulti equa al tempo 1 dovrà essere soddisfatta la seguente condizione:

$$ V_{X,T} (1)= 0 $$

Ovvero che il valore dell’operazione finanziaria calcolata al tempo 1 deve valere 0.

Ricordando che nel regime a interesse composto il fattore di montante m(t) e quello di attualizzazione v(t) sono rispettivamente:

$$ m(t) = (1+i)^t \quad v(t) = (1+i)^{-t} $$

Calcoliamo il valore al tempo 1 imponendola uguale a zero.

$$ +100 \cdot {1,05}^{1} – 30 + x \cdot {1,05}^{-1} – 50 \cdot {1,05}^{-2} =0 $$

Se spostiamo tutti i numeri sul lato destro cambiando di segno e dividiamo per il fattore che divide la X, otterremo proprio il valore della x.

$$ x = \frac{-100 \cdot {1,05}^{1} + 30 + 50 \cdot {1,05}^{-2}}{{1,05}^{-1}} = -28,75 $$

Al tempo 2 bisognerà versare una rata di 28,75 euro affinché il finanziamento risulti equo al tempo 1.

PARTICOLARITA’ DEL REGIME COMPOSTO

Il regime composto gode della proprietà della scindibilità.

Questa proprietà garantisce che l’importo di 28,75 euro calcolato nell’esempio precedente renda equa l’O.F. in tutti i punti temporali.

Questo significa che se avessimo dovuto calcolare l’importo X che rende equivalente l’operazione finanziaria al tempo 0, oppure al tempo 3 avremmo proprio trovato 28,75.

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