EQUILIBRIO DEL CONSUMATORE

Il punto di equilibrio del consumatore individua il paniere che da al consumatore il massimo benessere o la massima utilità.

In corrispondenza di questo paniere egli spende tutto il proprio reddito nell’acquisto di un paniere di beni raggiungendo il massimo benessere possibile

Nella teoria microeconomica l’equilibrio del consumatore cade in corrispondenza del punto di intersezione del vincolo di bilancio con la più alta curva di utilità.

Nel caso di due beni per calcolare matematicamente questo punto di intersezione mettiamo a sistema l’equazione del vincolo di bilancio con l’eguaglianza del saggio marginale di sostituzione con il rapporto tra i prezzi.

In realtà scopriremo che questa teoria vale in particolare per i beni detti normali ma rappresenta comunque la maggior parte dei casi solitamente analizzati.

La procedura più generale consiste nel trovare i punti stazionari della funzione lagrangianaottenuta sommando linearmente funzione di utilità con il vincolo (o i vincoli).

Tale espediente presuppone l’introduzione di una variabile ausiliaria detta generalmente 𝜆.

Notiamo inoltre che nel caso di k vincoli di bilancio possiamo avere k valori di 𝜆 (𝜆1, 𝜆2, …, 𝜆k) 

EQUILIBRIO DEL CONSUMATORE IN CASO DI DUE BENI 

Nella teoria in cui il consumatore si trova a scegliere tra due beni X e Y il punto di equilibriodel consumatore detto anche punto di ottimo si trova mettendo a sistema il vincolo di bilancioe l’eguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione e il rapporto dei prezzi.

VINCOLO DI BILANCIO 

Supponiamo di trovarci in un’economia dove si possono consumare due soli beni. 

Sappiamo che i prezzi dei beni sono rispettivamente Px e Py ed il reddito a disposizione del consumatore è R.

L’equazione del vincolo di bilancio è dunque

$$V:\quad P_x\ x+P_y\ y=R$$

Tale equazione rappresenta tutti i panieri raggiungibili dal consumatore spendendo tutto il proprio reddito R.

Possiamo rappresentare questa retta sul sistema cartesiano determinando le intersezioni con gli assi.

Tali intersezioni rappresentano le quantità massime dei beni X e Y che il consumatore può ottenere spendendo tutto il reddito R.

In particolare per determinare tali intersezioni dividiamo il reddito R per il prezzo dei beni, in particolare

$$x_{MAX}=\frac{R}{P_x}\quad x_{MAX}=\frac{R}{P_y}$$

La pendenza del vincolo di bilancio è data dal rapporto (negativo) tra il prezzo del bene X e quello del bene y.

$$\text{pendenza}=-\frac{P_x}{P_y}$$

Tale rapporto identifica il costo opportunità del bene del bene Y in termini di bene X.

In altre parole esprime la quantità di beni y cui dobbiamo rinunciare per ottenere una unità aggiuntiva del bene X.

FUNZIONE DI UTILITA’ O DI BENESSERE

Le preferenze del consumatore in termini di consumo di bene X e bene y sono espressi dalla funzione di utilità.

Tale funzione è una relazione che associa ad ogni paniere del tipo (x,y) (che identifica le quantità consumate dei beni) un determinato livello di utilità.

Nel punto di equilibrio del consumatore questa funzione assume il valore massimo raggiungibile dal consumatore.

Una caratteristica peculiare di tale funzione è che deve essere strettamente crescente.

Nel senso che se fissiamo una determinata quantità di bene x la funzione cresce certamente al crescere della quantità y.

Lo stesso discorso deve ovviamente valere anche viceversa.

Generalmente troviamo tre tipologie molto diffuse di funzioni di utilità.

FUNZIONE DI COOB-DOUGLASS

La prima è detta funzione di Cobb-Douglass e si utilizza per i beni normali ovvero la maggior parte dei bini (esempio casa e cibo).

Tale funzione si presenta nella seguente forma:

$$U(x,y)=x^\alpha\ y^\beta$$

In questa relazione determiniamo il livello di utilità moltiplicando le quantità di beni che sono ponderate da esponenti 𝛼 e 𝛽 che esprimono le preferenze del consumatore in favore dell’uno oppure dell’altro bene.

FUNZIONE DI UTILITÀ PER BENI COMPLEMENTARI

La seconda forma tipica è quella per i beni complementari (esempio the e biscotti).

Tale funzione si esprime nella forma generale 

$$U(x,y)=\text{min}(\alpha x, \beta y)$$

In tale situazione i coefficienti 𝛼 e 𝛽 sono usati per esprimere rapporti di utilizzo fissi tra i due beni.

Per dirla meglio ogni 𝛼 unità di Y utilizzate si accoppiano sempre 𝛽 unità del bene X.

Per cui ogni eccesso di uno o dell’altro non produrrebbe alcuna utilità in più.

FUNZIONE DI UTILITÀ PER BENI PERFETTI SOSTITUTI

Il terzo caso tipico è la funzione di utilità per i beni perfetti sostituti (ad esempio burro e margarina) 

La funzione assume una tipica forma lineare

$$U(x,y)=\alpha x+\beta y$$

In questo caso i coefficienti ci dicono che per mantenere invariato il benessere ad ogni 𝛼 unità di rinuncia della Y ne servono 𝛽 unità del bene X.

CURVE DI LIVELLO E SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

Per comprendere le dinamiche dell’equilibrio del consumatore ovvero il paniere in cui egli trae il suo massimo benessere servono ancora due concetti.

Tali concetti sono le curve di livello e il saggio marginale di sostituzione.

CURVE DI LIVELLO DELLA FUNZIONE DI UTILITÀ 

Quando consideriamo una funzione di utilità U(x,y) e fissiamo un certo livello di utilità possiamo vedere in corrispondenza questo livello infiniti panieri.

Questi panieri sono disposti lungo una curva di indifferenza.

Proviamo a darne una interpretazione visiva molto semplice.

Consideriamo ad esempio la seguente  funzione di utilità dove il livello di utilità raggiunto in ogni panniere è semplicemente la radice della moltiplicazione tra le quantità consumate

$$U(x,y)=\sqrt{xy}$$

Dal punto di vista tridimensionale possiamo apprezzare la visione delle curve di indifferenza ad esempio ai livelli di utilità 

La curva di indifferenza rappresenta perciò 

Viste dall’alto quindi nel classico sistema cartesiano queste curve appaiono come un fascio di iperboli.

Nel caso particolare detto U un generico livello di utilità possiamo ricavare questo fascio di funzioni in questo modo

$$\sqrt{xy}=U\quad\to\quad xy=U^2\quad\to\quad y=\frac{U^2}{x}$$

SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

Possiamo notare come lungo ogni curva di utilità vari continuamente il saggio marinale di sostituzione.

Con questo termine intendiamo la quantità di beni y cui si è disposti a rinunciare per ottenere una quantità in più del bene y per lasciare inalterato il benessere.

Possiamo intendere dunque questo saggio marginale come il rapporto (negativo) tra la quantità di rinuncia al bene Y e la quantità acquisita del bene X.

Nella figura sotto abbiamo isolato la curva di indifferenza al livello 3 della funzione sopra citata per capire meglio questo meccanismo.

Nel punto A o paniere A della figura il consumatore dispone relativamente di una quantità maggiore del bene Y rispetto al bene X.

La quantità di beni Y cui è disposto a rinunciare per avere una unità in più del bene X è quindi percepita in modo più marcato.

In particolare definiamo questa quantità come il saggio marginale della curva nel paniere A e scritto in linguaggio matematica è:

$$\text{SMS}(A)=\frac{\Delta y_A}{\Delta x_A}$$

Detto in altre parole quando ci troviamo in prossimità del paniera A sia disposti a rinunciare alla quantità ∆y_A del bene Y in cambio di una quantità ∆x_A del bene X per fare in modo che il nostro benessere non cambi.

Nel paniere B il consumatore dispone di una quantità di bene Y relativamente uguale rispetto al valore di X.

In questo caso quindi la quantità ∆y_B cui è disposto a rinunciare per avere una quantità ∆x_B di modo da lasciare inalterato il benessere è relativamente minore rispetto al punto A.

Il rapporto di tali quantità (∆y rispetto a ∆x) viene definito saggio marginale di sostituzione nel punto B.

$$\text{SMS}(B)=\frac{\Delta y_B}{\Delta x_B}$$

Possiamo facilmente notare che il saggio marginale di sostituzione nel punto B (in valore assoluto) risulta inferiore al saggio marginale di sostituzione nel punto A.

$$|\text{SMS}(B)|<|\text{SMS}(A)|$$

Ancora più evidente è la situazione che incontriamo nel punto C.

In tale paniere di consumo indifferente in termini di utilità ai panieri A e B si dispone relativamente di una quantità minore del bene Y rispetto al bene X.

In questa situazione rapporto tra la quantità ∆y_C cui si è disposti a rinunciare per ottenere una quantità ∆x_Ctale da non alterare il benessere è ancora minore.

Tale rapporto prende il nome di saggio marginale di sostituzione nel punto C

$$\text{SMS}(C)=\frac{\Delta y_C}{\Delta x_C}$$

Possiamo quindi affermare che tale saggio marginale risulta inferiore rispetto ai precedenti 

$$|\text{SMS}(C)|<|\text{SMS}(B)|<|\text{SMS}(A)|$$

Osserviamo dunque che lungo una curva di indifferenza (scorrendo verso destra) vi è una tendenza alla riduzione del saggio marginale di sostituzione.

Questo in generale avviene nella maggior parte delle curve di utilità.

Da un punto di vista strettamente geometrico i saggi marginali di sostituzione indicano la pendenza ovvero il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di utilità in quel paniere

Si può dimostrare che tale valore è il rapporto tra le derivate parziali della funzione di utilità (x rispetto alla y) calcolate in quel punto.

Possiamo dunque identificare una funzione detta saggio marginale di sostituzione che è il rapporto tra la derivata parziale rispetto alla x della funzione di utilità rispetto alla derivata parziale rispetto alla y.

$$ \text{SMS}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}=\frac{U’_x}{U’_y}$$

Risulta quindi chiaro che per calcolare il saggio marginale di sostituzione dobbiamo conoscere le regole di derivazione per poter calcolare le derivate parziali di funzioni a due variabili.

Ad esempio se prendiamo in esame l’esempio tipico della funzione di Cobb-Douglass:

$$U(x,y)=x^\alpha y^\beta $$

La derivata parziale della funzione utilità rispetto alla x è:

$$\frac{\partial U}{\partial x}=U’_x= \alpha x^{\alpha-1}y^\beta$$

Mentre la derivata parziale rispetto alla y risulta

$$\frac{\partial U}{\partial y}=U’_y= \beta x^\alpha y^{\beta-1}$$

Dunque avremo che il saggio marginale di sostituzione della funzione è:

$$ \text{SMS}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}=\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{\alpha x^{\alpha-1}y^\beta}{\beta x^\alpha y^{\beta-1}}=\frac{\alpha y}{\beta y}$$

PUNTO DI EQUILIBRIO DEL CONSUMATORE

Il punto di equilibrio del consumatore cade in corrispondenza del paniere che garantisce al consumatore il massimo livello di benessere o di utilità.

In tale punto il consumatore spende dunque tutto il reddito a disposizione per acquistare un paniere di beni X e beni Y che gli conferisce il massimo grado di utilità.

Tale punto si trova mettendo a sistema l’equazione del vincolo di bilancio con l’eguaglianza del saggio marginale di sostituzione al rapporto tra i prezzi (x rispetto ad y) 

$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} P_x\ x+P_y\ y=R\\\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{P_x}{P_y}\end{cases}$$

Notiamo che la seconda equazione messa a sistema, ovvero quella in cui il saggio marginale di sostituzione eguaglia il rapporto dei prezzi

$$\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{P_x}{P_y}$$

Inca il fatto che nel punto di equilibrio la pendenza della curva di indifferenza eguaglia la pendenza del vincolo di bilancio.

Questo significa che la quantità di beni Y cui si deve rinunciare per ottenere una unità in più del bene X per lasciare inalterato il benessere è la stessa che permette di lasciare inalterata la spesa complessiva.

IMPARA LA MICROECONOMIA

Prepara al meglio il tuo esame di microeconomia, accedendo al corso.

Comincia un viaggio che parte dalle scelte dei consumatori e delle imprese fino ad arrivare alle forme di mercato come libera concorrenza perfetta e il monopolio.

ESEMPIO DI EQUILIBRIO DEL CONSUMATORE

Ipotizziamo che un consumatore possa spendere tutto il proprio reddito tra due beni: cibo (X) e vestiti (Y).

Il reddito settimanale a disposizione è pari a 300.

Sappiamo inoltre che il prezzo del cibo è 10 mentre quello dei vestiti è 20.

La funzione di utilità è data da U(x,y) = x·y²

SVOLGIMENTO 

Riportiamo sinteticamente i dati del problema

$$P_x=10\quad P_y=20\quad R=300\quad U(x,y)=xy^2$$

Scriviamo immediatamente l’equazione del vincolo di bilancio

$$V:\quad 10x+20y=300$$

Le intercette del vincolo sono 

$$x_{\text{MAX}}=\frac{300}{10}=30\quad y_{\text{\MAX}}=\frac{300}{20}=15$$

La pendenza del vincolo è il rapporto tra il prezzo di x e quello di y

$$\text{pendenza}=-\frac{P_x}{P_y}=-\frac{10}{20}=-\frac{1}{2}$$

Tale valore indica che per mantenere inalterata la spesa dobbiamo rinunciare ad un vestito (y) per avere in cambio 2 unità di cibo (x).

Da notare che possiamo riscrivere l’equazione del vincolo dividendo tutti i termini per 10

$$V:\quad x+2y=30$$

Passiamo ora al saggio marginale di sostituzione.

Dalla funzione di utilità:

$$U(x,y)=xy^2$$

Calcoliamo le derivate parziali rispetto alla x e alla y

$$U’_x=y^2\quad U’_y=2xy$$

Dunque il saggio marginale risulta pari al rapporto delle derivate

$$\text{SMS}=\frac{y^2}{2xy}=\frac{y}{2x}$$

Impostiamo dunque il sistema per determinare l’equilibrio 

$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases}x+2y=30\\\frac{y}{2x}=\frac{10}{20}\end{cases}$$

Dalla seconda equazione dei saggi marginali possiamo ricavare il valore di y in funzione della x

$$ \frac{y}{2x}=\frac{10}{20}\quad\to\quad \frac{y}{x}=1\quad\to\quad y=x$$

Sostituiamo questo risultato nella prima equazione del vincolo

$$x+2y=30\ \to\ x+2x=30\ \to\ 3x=30\ \to\ x=10$$

Da questo risultato risostituiamo ancora nella seconda equazione per ricavare la y e dunque determiniamo il paniere E di equilibrio del consumatore

$$x=10\ \to\ y=x=10\ \to\ E(10,\ 10)$$

Il consumatore tra il maggior benessere consumando 10 unità di cibo (x) e 10 unità di vestititi.

Possiamo inoltre misurare tale utilità o benessere inserendo le coordinate del paniere nella funzione di utilità

$$U(x,y)=xy^2\quad\to\quad U(10,\ 10)=10\cdot10^2=1.000$$

L’utilità complessiva in questo punto di ottimo ammonta a 1000.

Rappresentiamo graficamente la situazione.

IL METODO DELLA FUNZIONE LAGRANGIANA

La procedura dei saggio marginale di sostituzione per determinare l’equilibrio trova il suo fondamento in una procedura di carattere più generale: la funzione lagrangiana.

Questa procedura viene applicata certamente quando ci troviamo di fronte ad un problema di massimo o minimo in cui sono presenti vincoli di uguaglianza.

Questa funzione viene ottenuta sommando in maniera lineare la funzione di utilità con lo zero del vincolo di bilancio.

Dunque supponiamo di trovarci di fronte ad un consumatore che presenta la funzione di utilità U(x,y) e il seguente vincolo di bilancio 

$$V:\quad P_x\ x+P_y\ y=R$$

Lo zero del vincolo è dunque ottenuto spostando a sinistra R e lasciando lo zero a destra:

$$V:\quad P_x\ x+P_y\ y-R=0\quad\to\quad V_0(x,y)=0$$

La funzione lagrangiana risulta dunque:

$$L(x,y,\lambda)=U(x,y)-\lambda\ V_0(x,y)$$

Per creare questa nuova funzione serve dunque una variabile ausiliaria che possiamo chiamare 𝜆

Da notare inoltre che mettere +𝜆 o –𝜆 non cambia niente!

Il problema prosegue imponendo il gradiente della funzione lagrangiana uguale a zero.

$$\text{grad}(L)=\nabla(L)=0$$

Ricordiamo che il gradiente di una funzione è l’insieme delle derivate parziali.

Dunque in maniera equivalente possiamo costruire un sistema in cui imponiamo le derivate parziali rispetto a x,y,𝜆 uguali a zero

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}=0\\ \frac{\partial L}{\partial z}=0\end{cases}\quad\to\quad\begin{cases} L’_x=0\\L’_y=0\\L’_z=0\end{cases}$$

ESEMPIO DI LAGRANGIANA CON DUE BENI 

Senza inventare nuovi esempi prendiamo esattamente l’esempio che abbiamo svolto sopra riportando il vincolo di bilancio del consumatore e la sua funzione di utilità

$$V:\ 10x+20y=300\quad U(x,y)=xy^2$$

Creiamo ora la funzione lagrangiana

$$L(x,y,\lambda)=xy^2-\lambda(10x+20y-300)$$

Calcoliamo ora le tre derivate parziali rispetto ad x,y e 𝜆

$$\begin{aligned}&\frac{\partial L}{\partial x}=L’_x=y^2-10\lambda\\& \frac{\partial L}{\partial y}=L’_y=2xy-20\lambda\\& \frac{\partial L}{\partial \lambda}=L’_\lambda=-(10x+20y-300)\end{aligned}$$

Imponiamo il sistema con le tre derivate parziali uguali a zero 

$$\begin{cases} L’_x=0\\L’_y=0\\L’_z=0\end{cases}\quad\to\quad \begin{cases}y^2-10\lambda=0\\ 2xy-20\lambda=0\\ 10x+20y-300=0 \end{cases}$$

Notiamo che nell’ultima equazione abbiamo cambiato i segni e questa coincide con il vincolo di bilancio.

Riscriviamo ora le prime due equazioni isolando 𝜆 in funzione di x e y, dividiamo inoltre per 10 l’ultima equazione

$$\begin{cases}y^2=10\lambda\\ 2xy=20\lambda\\ 10x+20y-300=0 \end{cases}$$

Guardiamo cosa succede se dividiamo tra di loro le prime due equazioni 

$$\begin{cases} \frac{y^2}{2xy}=\frac{10}{20}\\ 10x+20y-300=0\end{cases}$$

Come possiamo notare abbiamo eliminato la variabile fittizia 𝜆 e abbiamo ottenuto lastessa identica equazione di quando abbiamo susato il metodo del saggio marginale di sostituzione.

La prima equazione del sistema infatti è: saggio marginale di sostituzione uguale al rapporto dei prezzi.

Seguendo quindi gli stessi passaggi dell’esercizio già svolto otteniamo il punto di equilibrio del consumatore (10,10).

APPREFONDISCI IL METODO LAGRANGIANO

La procedura della funzione lagrangiana è un metodo più generale rispetto a quello visto per il saggio marginale di sostituzione.

Il suo utilizzo per trovare l’equilibrio del consumatore si può espandere a più di due beni.

Per approfondire clicca il bottone qui sotto

HAI QUALCHE DOMANDA ?

Se questo articolo ti ha fatto venire qualche domanda scrivila nei commenti.

IMPARA LA MICROECONOMIA

Prepara al meglio il tuo esame di microeconomia, accedendo al corso.

Comincia un viaggio che parte dalle scelte dei consumatori e delle imprese fino ad arrivare alle forme di mercato come libera concorrenza perfetta e il monopolio.

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica

Visita il canale YouTube!